☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實驗中學　楊　洪

設(shè)置分級例題，提升教學成效
——以“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”為例

☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實驗中學楊洪

一、寫在前面

復習課因沒有現(xiàn)成的教材，給了教師很大的自主設(shè)計教學的空間.一線老師往往會打破復習課的章節(jié)限制，重新整合教學內(nèi)容，并對教學方法和教學流程進行相應調(diào)整.復習課的設(shè)計，既要完成前一階段知識的“繼承”，又要為下一階段的學習鋪墊.因此，很多老師特別重視復習載體——例題的教學設(shè)計，想著法子提高例題的教學效益.近期，筆者就復習課的例題設(shè)計也進行了一番嘗試，用分級設(shè)置的例題引導學生展開復習，取得了較好的成效.現(xiàn)結(jié)合“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”專題復習的例題及教學設(shè)計談一些個人的感悟，希望能給您的教學帶來一些啟示.

二、例題設(shè)計及分析

1.背景分析

“銳角三角函數(shù)”主要涉及三個函數(shù)：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）.這三個函數(shù)的定義是本章教學的重點，我們不僅要讓學生學會求直角三角形中某一銳角的這三個函數(shù)值，還要讓他們學會建構(gòu)直角三角形求函數(shù)值.這節(jié)課的設(shè)計正是基于這樣的教學需求，通過一組以“網(wǎng)格”背景的函數(shù)求值題，將所學的銳角三角函數(shù)作為解題目標蘊含其中，力求在學生解答中滲透轉(zhuǎn)化思想和模型思想.

2.例題解析

例1（A級題）如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA= _________.

解析：在圖1中，△ABC的三個頂點均在格點上，所以∠ABC=90°.所以.根據(jù)小正方形的邊長為1，可得AB=3，BC=4，所以tan

圖1

圖2

例2（B級題）如圖2，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.△ABC的頂點都在方格的格點上，則cosA=______.

解析：如圖2，作CD⊥直線AB，D為垂足（說明：原圖中沒有輔助線和點D，下同）.所以，AD=4，CD=2，由勾股定理得

圖3

例3（C級題）如圖3，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則sinA= _______.

解析：如圖3，作AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，由勾股定理得.根據(jù)“面積法”易得BC·AD=AB·CE.所以

簡析：本節(jié)課的復習主題是“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”，這是近幾年中考中常見的試題.為了幫助學生形成解題策略，教者圍繞這一主題，共設(shè)計了三道例題.例1是一道“看看就能給出答案”的題目，難度較小，適合所有同學解答，所以設(shè)為“A級題”；例2，需要建構(gòu)直角三角形，為了求∠A的余弦，還需先應用勾股定理求出AC的長，難度較例1有所增加，適合班級中等及以上學生解答，所以設(shè)為“B級題”；例3的考點明顯增加，在正確添加輔助線后，解題還要用到勾股定理和三角形的面積公式等知識，難度較大，適合班級中學有余力的同學解答，設(shè)為“C級題”.這三道例題，梯度清晰，不同的難度適合不同的學生解答.教師設(shè)計例題時，不僅按照難度遞增呈現(xiàn)例題，還將適做人群在題號后的括號內(nèi)進行了標注，這樣的設(shè)計是人性化的，給學生的自主選擇提供了極大的便利.

3.教學設(shè)計

學生通讀三道例題，在理清題目條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，按照“就高不就低”的原則（“高”指難度較大的例題，下同）從中選擇一道解答，完成后分別到課前已經(jīng)劃定的A級題、B級題和C級題交流區(qū)域交流，要求不僅要交流解題的結(jié)果，還要交流解題思路獲得的過程，以及用到的數(shù)學知識和思想方法.在完成同級交流后，再回到原來的學習小組進行“異級交流”，主要是由解答“高位題”的同學進行“低位題”的思路分析及過程指導.最后，教師組織全班交流，主要交流“建構(gòu)（應用）直角三角形求解”的共性解法和B、C級題求解時用到的轉(zhuǎn)化思想.

簡析：教者設(shè)計的教學流程，緊貼學生的認知需求，在個性學習上做足了文章.首先是審題，這是學生解題的基本能力，我們平常教學就應該高度重視.在這節(jié)復習課上，給學生一段時間單獨審題，既符合常態(tài)教學需求，也是教者后續(xù)教學活動的基礎(chǔ).在這一時段內(nèi)，學生可以詳細解讀每一題的條件與結(jié)論，并努力在腦海中初步搭建條件與結(jié)論關(guān)聯(lián)的通道，形成預估“解題報告”，為下面的選題提供“理論支撐”.這種多道同類題的同步解讀，不僅訓練了學生的審題技能，還培養(yǎng)了學生分析問題的能力.接下來就是選題，教者預設(shè)了“就高不就低”的選題原則，意在逼著學生選擇難度較大的例題解答.我們相信，每一名學生都會站在自己所能達到的高度上認真審視給出的這幾道例題，理性地做出選擇.事實上，學生最終做出的選擇是“正態(tài)”分布的，絕大多數(shù)同學會選擇B級題，選擇A級題的是班級中數(shù)學基礎(chǔ)薄弱的學生，而選擇C級題的正是班級中那些“高手”.有了這種選題的經(jīng)歷，很多學生都能較為順利地給出問題的答案，所以，接下來的自主解答顯得十分順利，耗時很少.在學生解題結(jié)束后，教者通過互動交流的方式讓學生展示了自己的結(jié)果和獲得結(jié)果的過程.整個交流分三個層次，“同級交流”是第一層次，重在結(jié)果與思路的交流；“異級交流”是第二層次，意在釋疑解惑和共同進步；最后是教師引導下的“全班交流”，突出了例題的共性解法的建構(gòu)和數(shù)學思想方法的提取.就整個教學設(shè)計來看，學生始終是教學的主體，教師幾乎沒有一絲干擾，預設(shè)的例題和流程很好地引導學生展開了課堂學習，知識的獲得與應用在這樣一種極其自然的狀態(tài)下進行，取得較好的教學效果也就在情理之中了.

三、幾點感悟

1.以考點整合為抓手，實現(xiàn)教學例題真分級

例題的分層、分級設(shè)置是一件好事，很多老師都想去做，而且一直在努力找到例題設(shè)置的一些策略.在對例題分級進行了一段時間的嘗試后，筆者發(fā)現(xiàn)知識點的適度增減，可以調(diào)整例題的難度.據(jù)此，在例題分級的過程中，我們可以以考點整合為抓手，實現(xiàn)教學例題真分級.具體做法是先選擇一道較為成熟的試題作為分級例題的“原型”，然后深入剖析“原型”所涉及的知識點，這里所說的知識點既包含一些顯性知識，如解題所需要的數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能，也包括隱含在題目或解題過程中的隱性知識，如滲透于題目中的數(shù)學思想和解題所必備的基本活動經(jīng)驗.通過對這些知識點的適度增減形成新的選題目標或改題方向，最終形成以“原型”為中心（即B級題）的三級題目.要說明的是，知識點的增減不應是數(shù)學上的加減，應是在原有知識點基礎(chǔ)上的有效滲透或適度刪除，要讓學生審題與解題看不出人為設(shè)置的痕跡.以本文中的三道題目為例，例2是筆者進行分級的“原型”，網(wǎng)格中的三角形是一個普通三角形，其中一條邊恰好是網(wǎng)格中水平方向的“格點線段”（說明：在教學中，我們把以格點為端點與網(wǎng)格水平線平行或垂直的線段叫做格點線段），另兩條邊則不是“格點線段”，所以本題不僅要建構(gòu)直角三角形，還要用勾股定理求出直角三角形的邊長，以上是對原型的分析，既包含了知識點的分析，也包含了解題思路和解題方法的分析.接下來，我們可以通過增加或減少“格點線段”來調(diào)整題目的難度，從而讓例題自然分級.比如，例1中“格點線段”有兩條，所求的正切值只與這兩條線段有關(guān)，所以難度降了下來；例3中沒有了“格點線段”，不僅要建構(gòu)直角三角形，還要想辦法求出與所要求的正弦值有關(guān)的兩條線段的長度，三角形面積公式的引入讓題目難度增加了不少，將這道題編排為C級題是合乎情理的.

2.以分級例題為載體，推進分層教學輕著陸

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：數(shù)學課程“要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展”，這就要求我們的教學不僅要讓每一名學生都學有所獲，還要讓“不同的人在數(shù)學上得到不同發(fā)展”.因此，我們的課堂教學不僅要“求同”，還要“存異”.當所有學生“齊步走”的時候，我們還應關(guān)注那些學有余力的同學，要為他們準備一些難度稍大的學習資料，讓他們既能“吃得了”，又能“吃得飽”.分層教學，正是基于這樣的教學主張之上生成的教學方式，本文所述的例題分級及教學應用，恰到好處地將分層教學的理念轉(zhuǎn)化成了教學行為.因此，課前，我們要圍繞教學主線設(shè)計好分級例題，將課時核心有機滲透到題組中；課上，我們可以通過學生的自主選擇與解答這些分級例題，讓教學自然分層；課后，我們還可以為學生設(shè)計分層練習，讓分級例題的教學效應進一步延續(xù).通過分級例題的有效應用，分層教學也就會“落地生根”，真正落在實處.在筆者設(shè)計的“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”專題復習課上，正是有了課前的精心設(shè)計和課上的精準實施，加之與例題配套的練習的設(shè)置，學生真正開展了“有差異地學習”，幾乎每一名學生的學習積極性都被調(diào)動起來，學習成效十分顯著，他們在課上能自主選擇并進行解答，交流氣氛熱烈，交流成果豐碩，在課后能準確地選擇自己能夠解答的“高”級練習，作業(yè)的正確率很高.

3.以教學適用為目標，確保分層設(shè)例不偏向

分層教學，分層是教學的一種輔助形式，我們最終實施的是教學內(nèi)容和教學對象適度分級的教學.所以，設(shè)計的例題都應以教學適用為前提.例題的分級設(shè)置，應遵循人人受益的原則.我們的分級絕不是建立在“盲目地選擇高難度的題目，或者是無休止地降低例題的難度”基礎(chǔ)之上的.分級例題的設(shè)置，不僅要保證不同級別之間例題的梯度，還要保證選出的或者改編的例題緊扣本節(jié)課的課堂教學主線，切實為教師的教和學生的學服務.為了能讓學生“有差異地學習”，我們設(shè)計的例題必須是難易適中，能讓學生開展數(shù)學學習.難度過大的例題，不僅基礎(chǔ)薄弱的同學不能解答，有時甚至連成績優(yōu)秀的同學同樣不能求解，這樣的例題編排使得每一名學生都沒有收獲，顯然是不適宜的；例題過于容易，也是不妥的，三級例題之間差距不大，一方面學生選擇困難，不利于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的自信心，另一方面，題目過于容易，不太容易調(diào)動優(yōu)秀學生學習的積極性，不利于培養(yǎng)其思維的深刻性.因此，想要讓分級例題適用于教學，我們就應充分關(guān)注學情，將學情分析與目標設(shè)定和例題設(shè)計同步，力求例題設(shè)計符合學情，符合目標要求.以本文中的三道例題為例，在設(shè)計之初，筆者詳細分析了近幾年的中考現(xiàn)狀和本單元的教學目標制定了教學目標，與此同步，筆者還對本班學生這一版塊知識的掌握與應用情況進行了分析，摸清了基礎(chǔ)薄弱學生和優(yōu)秀學生的認知現(xiàn)狀.有了這樣的基礎(chǔ)，筆者選擇了一道中等難度的試題作為例題原型，通過疊加和刪減知識點，在教學主線之上合理地滲透進一些與本單元關(guān)聯(lián)較大的知識，讓例題的難度有效增減，實現(xiàn)了緊貼教學目標和學情的有效分層.接下來的教學應用中，教者更是以適用為目標，對學生中出現(xiàn)的符合本課教學目標的生成進行了積極處理，而那些與本節(jié)課關(guān)聯(lián)不大的問題則淡化處理，關(guān)注的是課時核心，成就的是方法積累和素養(yǎng)提升！

1.陳開金.網(wǎng)格上的問題［J］.上海中學數(shù)學，2007（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.