葉 倩

（無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 214121）

0 引言

控制系統(tǒng)中不可避免地存在誤差或不確定性，一方面由于被控對象難以用精確的數(shù)學(xué)模型進行描述而導(dǎo)致的模型誤差或不確定性，另一方面由于控制過程的進行，被控對象本身的特性發(fā)生變化而導(dǎo)致的不確定性。經(jīng)典控制理論雖然在一定程度上能處理相關(guān)單變量控制系統(tǒng)的不確定性問題，但存在明顯的湊試性，且僅限于系統(tǒng)存在微小攝動的不確定性情況；狀態(tài)空間方法能較好地解決多變量控制系統(tǒng)的分析和綜合問題[1]，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器可獲得較好的穩(wěn)定裕度，但對于攝動的魯棒性不夠理想[2]。Zames于1981年首次提出了利用控制系統(tǒng)內(nèi)某些信號間的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)的設(shè)計思想[3]。本世紀(jì)初，美國弗吉尼亞大學(xué)Iwasaki等[4,5]將H∞控制問題歸結(jié)為求解線性矩陣不等式問題，提出了廣義Kalman-Yakubovic-Popov（KYP）引理，從而將H∞控制問題轉(zhuǎn)化為一個凸優(yōu)化問題來處理。文獻[6]提出了窗口H∞范數(shù)概念，給出了低頻段PID控制器設(shè)計方法。

本文將從中頻段角度考慮連續(xù)線性系統(tǒng)的新型PID控制器設(shè)計問題，利用廣義KYP引理將頻域進行分段，并基于模型匹配原則將PID控制器設(shè)計轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)區(qū)域內(nèi)H∞范數(shù)構(gòu)成的不等式最優(yōu)解問題，進一步地將問題轉(zhuǎn)化為求解與系統(tǒng)狀態(tài)空間參數(shù)相關(guān)的線性矩陣不等式可行解問題，最后給出一個數(shù)值例子來驗證所提控制設(shè)計方法的有效性。

1 預(yù)備知識

1.1 近似模型匹配

圖1 典型線性控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

考慮圖1所示控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。其中，z表示PID控制器；G(s)表示被控對象傳遞函數(shù)。根據(jù)模型匹配原則[7]，選擇一個參考模型，其開環(huán)傳遞函數(shù)記作Gε(s)，則控制器D(s)的設(shè)計可通過求解下述不等式得到：

其中，ε是一給定的正實數(shù)。ε取值越小，模型匹配的效果越好。

1.2 KYP引理

對于矩陣M，其轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置分別記作MT和M*。M是Hermitian矩陣, 即滿足M=M*。對于矩陣Φ和P，它們的Kronecker乘積記作PΦ?。將2×2的Hermitian矩陣集記作?。定義函數(shù):σ×→???為：

引理1（KYP引理, [5]）給定復(fù)矩陣A,B, Π= Π*和(Φ, Ψ)∈Ω，其中：

設(shè)(A,B)是能控的，并且A不含特征值λ使得σ( λ, Φ ) = 0 成立。那么以下陳述等價：

1）對于A的所有特征值λ∈Λ，下述不等式成立：

2）存在Hermitian矩陣P和Q，滿足Q>0，且：

由引理1可知，通過選擇合適的矩陣Φ和Ψ，Λ可表示頻域范圍內(nèi)的某一特定區(qū)段。對于連續(xù)控制系統(tǒng)，可取，則，其中F是實數(shù)域的子集，其具體表示的頻域范圍可由Ψ的選取唯一確定。

2 控制器設(shè)計

下面將給出本文在不同頻段控制器設(shè)計的主要結(jié)果。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q>0，使得：

利用實矩陣M滿足M*=MT的事實，將上式展開得：

其對應(yīng)矩陣形式為：

令：

則根據(jù)引理1可得, 其成立的充要條件是存在P和Q，滿足Q>0，使得：

成立。 證畢。

定理1的對偶形式由如下推論給出。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q0＞，使得：

注意到定理1中矩陣不等式在仿真和實際應(yīng)用中不方便求解，下面給出簡便求解線性矩陣不等式的結(jié)果。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q＞0，使得：

整理得：

將上面不等式左邊第一項進一步矩陣相乘合并得：

3 數(shù)值仿真

我們需要設(shè)計PID控制器D(s)使得系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出響應(yīng)的中頻段沒有靜態(tài)誤差?？刂破鞯膫鬟f函數(shù)和狀態(tài)空間表達式的各項系數(shù)為：

根據(jù)傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：

相應(yīng)地，匹配模型的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：

圖2 階躍響應(yīng)曲線

圖3 伯德圖

4 結(jié)束語

本文提出了基于模型匹配原則的PID控制器新方法，文獻[6]給出了低頻段的設(shè)計方法，本文針對線性控制系統(tǒng)的中頻段提出了普適性的定理和推論，應(yīng)用這些定理及推論便可將PID控制器的優(yōu)化設(shè)計轉(zhuǎn)化為與系統(tǒng)狀態(tài)空間參數(shù)相關(guān)的線性矩陣不等式可行解的求解問題，數(shù)值仿真例子驗證了所設(shè)計方法在保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的情況下，能提高相應(yīng)頻段的性能，滿足設(shè)計要求。

[1] 王娟,張秀華.基于LMI的一類不確定奇異系統(tǒng)的魯棒控制[J].控制工程,2013,20(4):691-693+698.

[2] 褚健,俞立,蘇宏業(yè).魯棒控制理論及應(yīng)用[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2000.

[3] Zames G.Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms and approximation inverses[J].IEEE Trans. Automatic Control,1981,26(2):301-320.

[4] Iwasaki T, Hara S.Generalized KYP lemma: unified frequency domain inequalities with design applications[J].IEEE Trans.Automatic Control,2005,50(1):41-59.

[5] Iwasaki T,Hara S.Generalization of Kalman-Yakubovic-Popov lemma for restricted frequency inequalities[C].Proc.of American Control Conference 2003,Denver,Colorado,June 4-6,2003,pp. 3828-3833.

[6] Ma G L, Chen Q, Hu W.Optimal design of PID controller based on window H∞ norm[J].Acta Automatica Sinica,2007,33(9):1000-1003.

[7] Dehghani A,Lanzon A, Anderson B D O. A two-degree-of-freedom H-in fi nity control design method for robust model matching[C].Int J of Robust and Nonlinear Control,2006,16(10):467-483.