王利清

（包頭鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，包頭 014040）

0 引言

兩輪移動機器人（又稱輪式倒立擺）結(jié)構(gòu)簡單、體積較小，可在狹小、危險等環(huán)境中運動，故兩輪移動機器人在軍工、民用、航空航天等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。但是兩輪移動機器人是一種欠驅(qū)動系統(tǒng)，其動力學(xué)模型具有不穩(wěn)定、多變量、強耦合、非線性等特點，因此如何解決兩輪移動機器人的控制問題至關(guān)重要[2,3]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制作為一種特殊的非線性控制策略，其滑動模態(tài)的設(shè)計與對象參數(shù)及系統(tǒng)擾動無關(guān)，因此滑?？刂破黜憫?yīng)速度快，系統(tǒng)無需在線辨識，具有較強的魯棒性[4,5]。與普通的滑模控制相比，終端滑模控制的瞬態(tài)性能大幅提高，動態(tài)響應(yīng)速度、跟蹤精度、收斂速度均獲得了一定程度的改善[6]，因此本文在分析兩輪移動機器人動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，基于終端滑?？刂茖崿F(xiàn)兩輪移動機器人的自平衡控制，并進行相關(guān)仿真研究。

1 兩輪移動機器人動力學(xué)模型

一般情況下，兩輪移動機器人的運動過程比較復(fù)雜，很難確定其精確動力學(xué)模型，為便于分析，可建立如圖1所示的兩輪移動機器人簡化模型。假設(shè)機器人的重心為P點，機器人兩側(cè)驅(qū)動輪的重心在輪中心?？山T性坐標(biāo)系OX0Y0Z0，以兩驅(qū)動輪重心連線的中點作為坐標(biāo)原點；x軸與移動機器人的移動方向重合；y軸與驅(qū)動輪軸線方向重合；z軸與豎直方向重合。若忽略機器人側(cè)翻等情況，可建立兩個輔助坐標(biāo)系：偏航坐標(biāo)系OX1Y1Z1、俯仰坐標(biāo)系OX2Y2Z2，定義偏航角為α、俯仰角為θ。機器人轉(zhuǎn)向的過程中，左右兩輪的旋轉(zhuǎn)角分別用lψ、rψ表示。

圖1中相關(guān)符號說明如下：1l表示機器人重心與驅(qū)動輪中心之間的距離；b表示Ow和O之間的距離；rw表示驅(qū)動輪的半徑；m1表示機器人質(zhì)量；mw表示驅(qū)動輪質(zhì)量；Dw表示地面粘滯阻力；D1表示機器人粘滯阻力；lψ、rψ分別表示左右驅(qū)動輪的旋轉(zhuǎn)角；Iwa表示驅(qū)動輪對軸的慣性矩；Iwd表示驅(qū)動輪對直徑的慣性矩。

基于拉格朗日運動方程[7]，運動過程中，兩輪移動機器人的位置和速度方程可表示為：

兩輪移動機器人的平動動能表達式為：

其中，Tw、Tl分別為驅(qū)動輪和機器人本體（不含驅(qū)動輪）的動能：

兩輪移動機器人的旋轉(zhuǎn)動能表達式為：

其中：

選取移動機器人的驅(qū)動輪中心所在平面為零勢能面，那么移動機器人的勢能可表示為：

運動過程中，摩擦等因素將導(dǎo)致移動機器人系統(tǒng)本身能量的耗散，移動機器人的耗散能可表示為：

根據(jù)拉格朗日動力學(xué)方程可得兩輪移動機器人的動力學(xué)方程為：

假定移動機器人運動過程中不會出現(xiàn)“打滑”的情況，那么系統(tǒng)約束方程可表示為：

由式(10)可得矩陣A(q)為：

另外，矩陣A(q)的零空間可表示為：

向量q依賴于零空間矩陣S(q)而且滿足：

式(13)中，v為移動機器人運動的線速度。

等式(9)兩邊同時乘以ST，由于STA=0，所以：

將式(14)代入式(13)可得兩輪移動機器人的動力學(xué)方程為：

由式(15)可知，移動機器人的動力學(xué)方程包含兩個驅(qū)動力矩和三個自由度，所以該動力學(xué)模型為二階欠驅(qū)動系統(tǒng)。

2 兩輪機器人終端滑模控制

2.1 終端滑?？刂破髟O(shè)計

兩輪移動機器人系統(tǒng)的驅(qū)動方程為：

考慮到非線性因素，對應(yīng)的估計系統(tǒng)為：

可設(shè)計滑模平面[8]：

可設(shè)計滑?？刂破鱗9]：

式(21)中：

由滑模控制器設(shè)計原理可知，滑模控制器(21)可以保證兩輪移動機器人系統(tǒng)(16)在滑模面(20)上穩(wěn)定。

2.2 穩(wěn)定性分析

定義一個新的矩陣V：

兩輪移動機器人動力學(xué)方程兩端左乘矩陣V可得：

其中：

式(22)中的第一項和第三項為驅(qū)動方程，第二項為欠驅(qū)動方程[10]，可表示為：

當(dāng)兩輪移動機器人在滑模面上運動時，由式(20)可得：

上式中v1、v2表達式已知。設(shè)定初始條件的具體數(shù)值，即可由式(25)求出和。那么就可以得到關(guān)于v的一階線性微分方程：

其中P(t)為有界函數(shù)。式(26)的穩(wěn)定性與P(t)無關(guān)，僅由下式?jīng)Q定：

3 仿真實驗

為驗證本文所述兩輪移動機器人動力學(xué)模型的正確性以及終端滑模控制方法的有效性，采用MATLAB仿真驗證理論分析結(jié)果，兩輪移動機器人的主要參數(shù)如表1所示。

表1 兩輪移動機器人主要參數(shù)

根據(jù)上述分析，滑模平面中的增益方程vi(t)可設(shè)計為：

其中：

圖2 仿真過程中兩輪移動機器人系統(tǒng)狀態(tài)

圖3 仿真過程中兩輪移動機器人輸出轉(zhuǎn)矩

4 結(jié)束語

本文基于拉格朗日運動方程，推導(dǎo)出了兩輪移動機器人的動能、勢能等，進而得到了兩輪移動機器人的動力學(xué)模型?；诨Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制的基本原理，設(shè)計了一種終端滑?？刂破?，用于兩輪移動機器人的自平衡控制，并進行了穩(wěn)定性分析。最后，針對上述內(nèi)容進行了仿真實驗，仿真結(jié)果表明：終端滑?？刂破骶哂休^好的控制效果，而且具有較快的收斂速度，可以實現(xiàn)兩輪移動機器人的自平衡控制。

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