馮勝++楊道吉

在教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在計(jì)算三角形面積時(shí)，會(huì)直接用“底×高”。如果我們讓學(xué)生檢查，他們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)自己忘記“÷2”，并很快訂正。面對(duì)這樣的“粗心”現(xiàn)象，筆者認(rèn)為我們不能簡(jiǎn)單地站在“成人視角”去理解，而應(yīng)更多以“兒童視角”來分析產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的原因，以便我們運(yùn)用更適合兒童心理的教學(xué)方法，盡量避免孩子們?cè)谡J(rèn)識(shí)上“走彎路”。

基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者開展了有關(guān)“三角形的面積計(jì)算”的教學(xué)研究，準(zhǔn)備從學(xué)生作業(yè)錯(cuò)例分析入手，結(jié)合對(duì)教學(xué)內(nèi)容的再次思考，探尋學(xué)生錯(cuò)誤的真實(shí)原因，提出較為合理的教學(xué)建議。

一、三角形面積計(jì)算的典型錯(cuò)誤和錯(cuò)因分析

（一）測(cè)試的問題及意圖

在設(shè)計(jì)測(cè)試的問題時(shí)，我們將三角形的面積計(jì)算的數(shù)學(xué)運(yùn)用分為三個(gè)層次。

（二）測(cè)試的對(duì)象和過程

我們選擇了使用人教版課標(biāo)教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的F小學(xué)五年級(jí)3個(gè)教學(xué)班。其中2個(gè)班的學(xué)生作為對(duì)照班在沒有使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)“三角形面積計(jì)算”后完成測(cè)試，另一個(gè)班的學(xué)生作為實(shí)驗(yàn)班在使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)“三角形面積計(jì)算”后完成測(cè)試。

測(cè)試后我們對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步整理，在整理的基礎(chǔ)上選擇了部分學(xué)生單獨(dú)進(jìn)行訪談，測(cè)試與訪談在同一天完成。

（三）測(cè)試的結(jié)果與分析

1.三角形的面積計(jì)算的整體掌握情況

我們將對(duì)照班的78名學(xué)生的測(cè)試卷的三個(gè)問題從正確率、錯(cuò)誤率以及“算法”錯(cuò)誤率三個(gè)方面進(jìn)行了初步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中“算法”錯(cuò)誤指運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式時(shí)，列式造成的錯(cuò)誤。有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下。

F小學(xué)五年級(jí)部分學(xué)生“三角形的面積計(jì)算”測(cè)試數(shù)據(jù)分析（1）

由上表可知：學(xué)生對(duì)三角形的面積計(jì)算的掌握情況是有層次的，其中“算法”錯(cuò)誤有下面兩類，一是學(xué)生直接用“底×高”來計(jì)算三角形的面積，二是直接用“三角形的面積÷高”求三角形的底。

針對(duì)以上錯(cuò)誤，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談。在訪談時(shí)，多數(shù)學(xué)生看到自己出現(xiàn)的第一類錯(cuò)誤，隨即就說：“老師，我忘記除以2了?！碑?dāng)我們追問：“你為什么會(huì)忘記除以2呢？”學(xué)生答道：“和平行四邊形的面積計(jì)算方法弄混了?！贬槍?duì)第二類錯(cuò)誤，學(xué)生說：“求長(zhǎng)方形和平行四邊形的，也是這樣算的。”由此可見，學(xué)生對(duì)三角形的面積計(jì)算公式的運(yùn)用，很容易受長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積計(jì)算公式的影響。

2.三角形的面積計(jì)算在不同背景中的掌握情況

為進(jìn)一步探索學(xué)生在不同背景中，三角形面積計(jì)算公式正向和逆向運(yùn)用的相互影響關(guān)系，我們關(guān)注了測(cè)試答卷中以下三類情況，學(xué)生答題過程中“算法”錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)，如下表。

F小學(xué)五年級(jí)部分學(xué)生“三角形的面積計(jì)算”測(cè)試數(shù)據(jù)分析（2）

從上表可知：（1）部分學(xué)生雖然能直接正向運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式，但在具體情況中正向運(yùn)用時(shí)錯(cuò)誤較多。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是具體情境中運(yùn)用公式時(shí)，易受情境信息和干擾因素等影響。（2）部分學(xué)生對(duì)三角形的面積計(jì)算的逆向運(yùn)用掌握情況低于正向運(yùn)用。（3）當(dāng)學(xué)生在不同背景中，能克服干擾因素和復(fù)雜背景正確正向運(yùn)用三角形的面積計(jì)算公式時(shí)，三角形的面積計(jì)算公式的逆向運(yùn)用掌握也較好。

也許我們會(huì)有這樣的疑問：為什么教學(xué)過程中學(xué)生操作了，教師演示了，還有學(xué)生出錯(cuò)呢？真的是學(xué)生無法跨越這道坎嗎？下面是筆者觀察到的教學(xué)片斷，也許會(huì)引起我們一些新思考。

【教學(xué)現(xiàn)象】

（1）每個(gè)組準(zhǔn)備了一些三角形，請(qǐng)同學(xué)們擺一擺，拼一拼，看能不能拼成我們學(xué)過的平面圖形（學(xué)生合作探究）。

（2）交流匯報(bào)，每個(gè)小組選代表到黑板上演示。

（3）小結(jié)：兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。

（4）自主探究：三角形與所拼成的平行四邊形有什么關(guān)系？

（5）合作探究：通過“轉(zhuǎn)化”“找關(guān)系”，你能推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式嗎？

（6）板書：三角形的面積=底×高÷2

S=ah÷2

【分析與思考】

在這個(gè)教學(xué)片斷中，學(xué)生充分經(jīng)歷了三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程嗎？筆者認(rèn)為學(xué)生只是被動(dòng)地按教師的設(shè)計(jì)機(jī)械地完成了一系列操作，沒有充分經(jīng)歷計(jì)算公式的探究過程。在這一過程中，學(xué)生只是“操作工”，對(duì)于“為什么會(huì)想用兩個(gè)完全一樣的三角形來拼”“還有其他推導(dǎo)方法嗎”等問題學(xué)生沒有主動(dòng)地思考，更談不上猜想和創(chuàng)造。這樣膚淺的操作導(dǎo)致學(xué)生沒有深刻的理解，記憶也不深刻。這樣看來，學(xué)生作業(yè)時(shí)會(huì)忘記“÷2”也是情有可原。

二、三角形面積計(jì)算的教學(xué)內(nèi)容和教材分析

從以上測(cè)試中我們發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生習(xí)慣于將平行四邊形的面積計(jì)算公式直接運(yùn)用于三角形的面積計(jì)算中。為此，我們從平行四邊形和三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程、面積計(jì)算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及公式的變式運(yùn)用等三個(gè)方面來對(duì)比分析，再次思考學(xué)生錯(cuò)誤的真實(shí)障礙。具體分析如下。

平行四邊形和三角形的面積計(jì)算學(xué)習(xí)內(nèi)容的對(duì)比分析

從以上對(duì)比中，我們可以發(fā)現(xiàn)：

1.在平行四邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中，我們將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，雖然轉(zhuǎn)化前后圖形的形狀發(fā)生了變化，但前后兩個(gè)圖形的面積沒有發(fā)生改變。這樣的圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法，稱為等積變換。但三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程是將兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。像這樣通過圖形的拼組推導(dǎo)面積計(jì)算公式的方法，稱為圖形重組。我們可以發(fā)現(xiàn)，三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程與平行四邊形有明顯的差異。

2.從兩個(gè)計(jì)算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來看，由于S=ah前面有系數(shù)“[12]”，公式本身也比前者復(fù)雜。因此，在計(jì)算公式的逆運(yùn)用時(shí)，需要先將系數(shù)“[12]”轉(zhuǎn)化成1，即2S=ah。而學(xué)生在長(zhǎng)方形或平行四邊形的面積計(jì)算公式逆運(yùn)用時(shí)，都直接是將面積除以一個(gè)變量，如a=S÷b?；仡欉@些學(xué)生面積計(jì)算的經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)像三角形的面積計(jì)算公式這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)還是學(xué)生第一次接觸。

綜上分析，我們可以知道三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等方面都比平行四邊形的復(fù)雜，是學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)歷的一次跨越。

三、“三角形面積計(jì)算”的教學(xué)建議和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過對(duì)平行四邊形和三角形面積計(jì)算的多角度比較、分析，我們找到了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙，為解決問題找到了方向。下面筆者對(duì)如何幫助學(xué)生理解三角形的面積計(jì)算公式以及克服已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，提出幾點(diǎn)建議。

（一）完善結(jié)論的推導(dǎo)過程，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)。

在以上分析過程中，我們可以知道要幫助學(xué)生在解決問題中克服忘記“÷2”的習(xí)慣，應(yīng)該有效幫助學(xué)生理解為什么“÷2”，也就是理解三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。

那么這一過程的核心問題是什么？探究的起點(diǎn)在哪里？三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程較平行四邊形的復(fù)雜，其原因是需要用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。如果不是學(xué)生提前已知或預(yù)習(xí)，這樣的聯(lián)想對(duì)于學(xué)生還是有一定難度的，因此，“為什么會(huì)想用兩個(gè)完全一樣的三角形來拼”是核心問題。學(xué)生的探究起點(diǎn)在哪里呢？在探究平行四邊形面積時(shí)，學(xué)生是沿平行四邊形的高剪開，通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。在探究三角形面積時(shí)，學(xué)生也會(huì)聯(lián)想到沿三角形的高剪開，此時(shí)剪下后兩個(gè)直角三角形無法拼出規(guī)則圖形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一個(gè)平行四邊形（長(zhǎng)方形），這樣的探究經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該充分遷移。根據(jù)這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)思路。

【改進(jìn)思路】

（1）尋找思路

①喚醒舊知：復(fù)習(xí)三角形分類、底和高的相關(guān)知識(shí)。

②提出猜測(cè)：三角形的面積計(jì)算公式。

③尋找轉(zhuǎn)化思路：我們可以將三角形轉(zhuǎn)化成會(huì)求面積的圖形。我們會(huì)求哪些圖形的面積呢？（生：平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形）

（2）第一次探究（剪拼）

①學(xué)生動(dòng)手操作。（此時(shí)每個(gè)學(xué)生只有一個(gè)銳角三角形，且同桌之間的三角形是完全一樣的。）

②反饋剪拼方法。

第一層次：學(xué)生通過動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)將這個(gè)三角形沿高剪開后很難轉(zhuǎn)化。

第二層次：用沿高剪開后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形（或長(zhǎng)方形）。

第三層次：用自己和同桌的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。

教師請(qǐng)學(xué)生把他的拼法詳細(xì)介紹，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二次探究。并提問用這樣的兩個(gè)三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，是不是其他類型的三角形都可以這樣拼呢？

（3）第二次探究（拼組）（略）

這樣的教學(xué)思路，尊重和有效利用了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程，并激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“用兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼出平行四邊形”的聯(lián)想，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。

（二）溝通知識(shí)間的異同點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在溝通平行四邊形和三角形面積計(jì)算公式時(shí)，我們可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行比較：

1.計(jì)算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有關(guān)公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)前面已經(jīng)進(jìn)行敘述，此處不贅述。需要關(guān)注的有兩點(diǎn)：第一，引導(dǎo)學(xué)生說清為什么除以2；第二，通過對(duì)比練習(xí)發(fā)現(xiàn)它們面積之間的關(guān)系，如“一個(gè)平行四邊形的面積是50平方厘米，與它等底等高的三角形面積是（ ）平方厘米”。這樣的練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生理解平行四邊形和三角形之間的關(guān)系，而且?guī)椭鷮W(xué)生理解兩者的計(jì)算公式。

2.計(jì)算公式的內(nèi)涵。雖然兩者的面積計(jì)算公式有差異，但它們都是根據(jù)圖形的核心要素“底”和“高”來計(jì)算圖形的面積。

（三）運(yùn)用合理的解答方法，克服思維定勢(shì)。

學(xué)生在逆用三角形面積計(jì)算公式時(shí)，出現(xiàn)像錯(cuò)例中直接用“面積÷底=高”的思路，其原因：一是學(xué)生對(duì)計(jì)算公式?jīng)]有充分理解；二是受求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（或?qū)挘┮约捌叫兴倪呅蔚祝ɑ蚋撸┑乃悸返挠绊?，出現(xiàn)了思維定勢(shì)。

因此，在教學(xué)中關(guān)注對(duì)這一計(jì)算公式的變式“2s=a×h”的理解，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)在已知三角形面積和底（或高）的情況下，求高（或底），可以用三角形的面積×2÷底（或高）。另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合理的解答方法，克服思維定勢(shì)的干擾，如通過列方程的方法解決此類問題。

在探尋本研究教學(xué)策略后，我們?cè)贔小學(xué)選擇了與前面測(cè)試班級(jí)學(xué)業(yè)水平無明顯差異的實(shí)驗(yàn)班（48人）結(jié)合提出的教學(xué)建議進(jìn)行了教學(xué)，并利用以上測(cè)試題進(jìn)行測(cè)試，將有關(guān)數(shù)據(jù)整理，見下表。

對(duì)照班學(xué)生與實(shí)驗(yàn)班學(xué)生測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)

從以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以看出本研究的教學(xué)建議對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的面積計(jì)算這一內(nèi)容有一定的促進(jìn)作用。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯 林云志