郭　衛(wèi)　路正雄　張　武

西安科技大學(xué)，西安，710054

基于Pro/E的圓弧彎曲鋼絲繩建模理論及幾何實(shí)現(xiàn)

郭衛(wèi)路正雄張武

西安科技大學(xué)，西安，710054

為了精確建立多股圓弧彎曲鋼絲繩空間實(shí)體模型，對(duì)雙螺旋鋼絲繩各鋼絲空間幾何位置關(guān)系進(jìn)行了分析，運(yùn)用空間坐標(biāo)變換理論建立了圓弧彎曲鋼絲繩數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出圓弧彎曲鋼絲繩各鋼絲中心線的參數(shù)方程，結(jié)合Pro/E的參數(shù)化建模和曲面造型功能，完成了6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。所獲結(jié)論為彎曲狀態(tài)螺旋鋼絲繩數(shù)學(xué)模型的建立奠定了理論基礎(chǔ)，為圓弧彎曲狀態(tài)下鋼絲繩的彈性特性理論分析提供了可能。

多股圓弧彎曲鋼絲繩；坐標(biāo)變換理論；數(shù)學(xué)建模；實(shí)體建模

0　引言

鋼絲繩是一種柔性螺旋結(jié)構(gòu)鋼制品[1]，具有強(qiáng)度高、繞性好、耐沖擊等特點(diǎn)，在使用中具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載力大、工作可靠等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于礦山生產(chǎn)、機(jī)械加工、交通、建筑、橋梁、航空和航天等領(lǐng)域[2]。在實(shí)際工況下，鋼絲繩一般存在直立和彎曲兩種物理狀態(tài)，有時(shí)甚至出現(xiàn)多個(gè)彎曲段[3]。這使鋼絲繩的變形、受力變得十分復(fù)雜，尤其是在彎曲段[4-6]，因此，精確的彎曲鋼絲繩模型對(duì)于其力學(xué)特性分析就顯得十分重要。

關(guān)于直立狀態(tài)鋼絲繩建模，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究工作。孫建芳等[7]分析了在考慮接觸摩擦?xí)r鋼絲繩的成形過(guò)程；王桂蘭等[8]、Lee等[9-10]基于微分幾何學(xué)的Frent標(biāo)架理論，給出了直立時(shí)二次螺旋線的數(shù)學(xué)表達(dá)式；Erd?nmez[11]基于微分幾何學(xué)理論，將直立狀態(tài)鋼絲繩鋼絲的數(shù)學(xué)表達(dá)式由二次螺旋線推廣到n次螺旋線；Stanova等[12]運(yùn)用空間坐標(biāo)變換理論，建立了直立狀態(tài)鋼絲繩的數(shù)學(xué)模型。然而，在彎曲狀態(tài)鋼絲繩建模方面研究成果較少。Hobbs等[13]和Nabijou等[14]基于微分幾何學(xué)理論，以直立鋼絲繩數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，給出了鋼絲在繩輪上的路徑表達(dá)式；李曉豁等[15]在此理論基礎(chǔ)上進(jìn)行了幾何建模，但復(fù)雜結(jié)構(gòu)鋼絲繩模型的建立仍不完善。本文在上述學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用空間坐標(biāo)變換理論，系統(tǒng)地闡述了圓弧彎曲雙螺旋鋼繩的建模過(guò)程，并給出了圓弧彎曲狀態(tài)下各螺旋鋼絲中心線曲線方程及其幾何模型。

1　鋼絲繩結(jié)構(gòu)

雙螺旋鋼絲繩由多根鋼絲按照一定空間螺旋線關(guān)系纏繞而成，一般由多股螺旋纏繞中心股而成，股的繞制方向?yàn)槔K的捻向；每股又由多層鋼絲螺旋環(huán)繞該股芯絲而成，絲的繞向即為股的捻向,如圖1所示。鋼絲作為構(gòu)成股和繩的基本元素，在空間一般以四種幾何形式存在(圖2)：中心股芯絲中心線，該線一般為直立或簡(jiǎn)單曲線；中心股側(cè)絲中心線，其相對(duì)于中心股中心線為一次螺旋線；側(cè)股芯絲中心線，該線相對(duì)于中心股芯絲中心線是一次螺旋曲線；側(cè)股側(cè)絲中心線，該線相對(duì)于中心股中心線是二次螺旋線。為生成股中各鋼絲的空間螺旋曲線，必須建立各鋼絲中心線的數(shù)學(xué)方程。

圖1　二次捻制鋼絲繩示意圖圖2　雙螺旋鋼絲繩斷面圖

2　圓弧彎曲鋼絲繩數(shù)學(xué)模型

2.1圓弧彎曲鋼絲繩中心股鋼絲數(shù)學(xué)模型

鋼絲繩在使用過(guò)程中，受工況影響，對(duì)安全系數(shù)和繩徑比(繩輪直徑與鋼絲繩直徑的比值)有不同的要求[16]。按右手法則建立笛卡爾坐標(biāo)系Oxyz，作為鋼絲繩數(shù)學(xué)模型的全局坐標(biāo)系，建立鋼絲繩數(shù)學(xué)模型。

2.1.1中心股芯絲

中心股芯絲中心線是以S(0,R1,0)為起點(diǎn)繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ(0≤γ≤π)角度所得的圓弧，完成此變換的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

(1)

圖3所示為中心股芯絲中心線。

圖3　中心股芯絲中心線

中心股芯絲參數(shù)方程為

(2)

2.1.2中心股側(cè)絲

設(shè)中心股右旋，該股第j層側(cè)絲螺旋角為Φj，在起始位置處，側(cè)絲中心線上某動(dòng)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為(rj,R1,0,0)，其中，rj為動(dòng)點(diǎn)的螺旋半徑。中心股側(cè)絲的螺旋運(yùn)動(dòng)可由多個(gè)矩陣變換實(shí)現(xiàn)。首先，將全局坐標(biāo)系Oxyz按向量u=(0,R1,0,0)平移得坐標(biāo)系Sx1y1z1，并使z1軸與中心線在點(diǎn)S處相切，變換過(guò)程中所需要的矩陣T1為

(3)

然后，通過(guò)如下的矩陣T2使動(dòng)點(diǎn)繞z1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角：

(4)

設(shè)β、Φj分別為一次螺旋線的捻角和螺旋角，根據(jù)中心股絲之間的幾何關(guān)系得

(5)

從而有

(6)

令

(7)

故

θ=c γ

其中，c為一次螺旋線繞中心線繞制的圈數(shù)。

為獲得一次螺旋線在全局坐標(biāo)系Oxyz中的螺旋線軌跡，必須先經(jīng)如下的平移變換矩陣T3進(jìn)行變換:

(8)

最后，通過(guò)如下的矩陣T4完成一次螺旋線繞中心股芯絲中心線在Oxyz坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換:

(9)

所以，總變換矩陣為

(10)

在坐標(biāo)系Oxyz中，一次螺旋線用矩陣表示為

[xyz1]T=T[rjR101]T

(11)

在全局坐標(biāo)系Oxyz中，一次螺旋線的參數(shù)方程表示為

(12)

假設(shè)鋼絲繩繩股第j層有mj根鋼絲，式(12)為第j層中第i根鋼絲的中心線方程。其他側(cè)絲中心線方程只需將第i根側(cè)絲中心線繞芯絲中心線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ξji=(i-1)2π/mj角度即可，其中i=1，2,…,mj。該旋轉(zhuǎn)變換矩陣為T(mén)5，股中各鋼絲間關(guān)系如圖4所示。

圖4　股中各絲相對(duì)位置關(guān)系示意圖

變換矩陣T5的表達(dá)式為

(13)

綜上所述，一次螺旋線變換矩陣為

T=T4T3T2T5T1

(14)

中心股第j層任意側(cè)絲中心線參數(shù)方程為

(15)

彎曲鋼絲繩中心股側(cè)絲的螺旋線方程為

(16)

其中，當(dāng)q=1時(shí)，圓弧彎曲鋼絲繩中心股側(cè)絲右旋；當(dāng)q=-1時(shí)，圓弧彎曲鋼絲繩中心股側(cè)絲左旋。

圖5　彎曲鋼絲繩中心股中心線圖

式(16)為圓弧彎曲鋼絲繩中心股側(cè)絲中心線參數(shù)方程，通過(guò)式(15)可得到6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩右旋中心股芯絲中心線圖，如圖5所示。

2.2圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股鋼絲數(shù)學(xué)模型

2.2.1圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股芯絲數(shù)學(xué)模型

圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股芯絲相對(duì)于中心股芯絲仍為一次螺旋線，其參數(shù)方程為

(17)

式中，R為側(cè)股芯絲螺旋半徑；m為股數(shù)。

2.2.2圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股側(cè)絲數(shù)學(xué)模型

假設(shè)側(cè)股側(cè)絲左旋，側(cè)股第j層側(cè)絲螺旋角為Ψj，二次螺旋線上某動(dòng)點(diǎn)在起始位置處的齊次坐標(biāo)為(R+rj,R1,0,1)，rj為動(dòng)點(diǎn)的螺旋半徑。按矩陣T1平移坐標(biāo)系Oxyz，使z軸在點(diǎn)S處與中心股芯絲中心線相切。將平移所得坐標(biāo)系Sx1y1z1繞x1軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度，同時(shí)平移向量v=(R,0,0,0)，使z1軸與一次螺旋線起點(diǎn)相切，該組合變換矩陣為

(18)

通過(guò)如下的旋轉(zhuǎn)矩陣T7使動(dòng)點(diǎn)繞z2軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度φ：

(19)

圖6為側(cè)股側(cè)絲中心線、側(cè)股芯絲中心線及中心股芯絲中心線沿捻向展開(kāi)的示意圖。

圖6　側(cè)股側(cè)絲、芯絲及中心股芯絲沿捻向展開(kāi)圖

設(shè)α、β分別為股的捻角和鋼絲繩的捻角，取任意一段股長(zhǎng)，由圓弧彎曲鋼絲繩幾何關(guān)系得φ與θ關(guān)系：

(20)

令

有

φ=c1θ

(21)

式中，c1為二次螺旋線繞一次螺旋線繞制的圈數(shù)。

由式(6)和式(20)得γ與φ之間的關(guān)系為

(22)

為獲得動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)系Oxyz中的參數(shù)方程，必須先進(jìn)行坐標(biāo)變換T8，求得二次螺旋線在坐標(biāo)系Sx1y1z1中的方程。T8表達(dá)式為

(23)

通過(guò)如下的矩陣T9完成動(dòng)點(diǎn)繞側(cè)股芯絲的右旋：

(24)

通過(guò)矩陣T3對(duì)坐標(biāo)系Sx1y1z1進(jìn)行平移，動(dòng)點(diǎn)通過(guò)矩陣T4沿中心股芯絲轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，動(dòng)點(diǎn)總坐標(biāo)變換矩陣表示為

T′=T4T3T9T8T7T6T1

(25)

坐標(biāo)系Oxyz中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的矩陣方程為

(26)

彎曲鋼絲繩側(cè)股側(cè)絲中心線參數(shù)方程為

(27)

若彎曲鋼絲繩側(cè)股第j層有mj根鋼絲，式(27)為第i根側(cè)絲的中心線方程，其他側(cè)絲中心線只需將第i根鋼絲的中心線繞芯絲中心線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ξji=(i-1)2π/mj，其中，i=1,2,…,mj，旋轉(zhuǎn)矩陣為

(28)

側(cè)股第j層任意鋼絲的參數(shù)方程為

(29)

綜上所述，圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股側(cè)絲方程為

(30)

其中，當(dāng)p=1時(shí),若q=-1彎曲鋼絲繩為右同向捻，q=1彎曲鋼絲繩為右交互捻；當(dāng)p=-1時(shí)，若q=1為左交互捻彎曲鋼絲繩，q=-1為左同向捻彎曲鋼絲繩。

式(29)為彎曲鋼絲繩左旋側(cè)股側(cè)絲中心線的參數(shù)方程，由該方程得6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩左旋側(cè)股鋼絲中心線圖，如圖7所示。

圖7　圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股中心線圖

式(30)為圓弧彎曲鋼絲繩的數(shù)學(xué)模型，由該方程得右交互捻圓弧彎曲鋼絲繩鋼絲中心線圖，如圖8所示。

圖8　圓弧彎曲鋼絲繩鋼絲中心線圖

3　彎曲鋼絲繩幾何模型

以6×7IWS右交互捻鋼絲繩為例，運(yùn)用Pro/E軟件和數(shù)學(xué)模型完成圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。取繩徑比為20，繩和股的幾何參數(shù)如表1、表2所示。

表1　6×7IWS鋼絲繩結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　6×7IWS鋼絲繩股結(jié)構(gòu)參數(shù)

6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩由6個(gè)相同側(cè)股和一個(gè)中心股螺旋繞制而成；每股由6根側(cè)絲螺旋纏繞一根中心鋼絲而成，每根鋼絲的直徑相同。運(yùn)用Pro/E的參數(shù)建模及曲面建模功能，完成圓弧彎曲鋼絲繩中心股的幾何建模，如圖9所示。圓弧彎曲鋼絲繩側(cè)股三維模型如圖10所示，圓弧彎曲鋼絲繩整體三維模型如圖11所示。

圖9　彎曲鋼絲繩中心股三維模型

圖10　彎曲鋼絲繩側(cè)股三維模型

圖11　彎曲鋼絲繩整體三維模型

4　結(jié)論

(1)本文分析了一次和二次螺旋鋼絲在鋼絲繩中的幾何位置關(guān)系，系統(tǒng)闡述了鋼絲繩繞制成形過(guò)程。

(2)運(yùn)用微分幾何理論和空間坐標(biāo)變換理論，建立了定繩徑比單/多股多層圓弧彎曲鋼絲繩數(shù)學(xué)模型。

(3)運(yùn)用Pro/E軟件的參數(shù)化建模和曲面造型功能，完成了繩徑比為20時(shí)6×7IWS右交互捻圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。

(4)本研究結(jié)論為其他彎曲狀態(tài)螺旋鋼絲繩數(shù)學(xué)模型的建立奠定了理論基礎(chǔ)，為圓弧彎曲狀態(tài)下鋼絲繩力學(xué)特性分析提供了可能。

[1]Velinsky S A. Design and Mechanics of Multi-lay Wire Strand[J].Journal of Mechanical Design,1988,110(2): 152-160.

[2]五弓勇雄.金屬塑性加工金屬[M].陳天忠，張國(guó)榮,譯.北京：冶金工業(yè)出版社，1987.

[3]張鈁,張平萍.影響鋼絲繩彎曲疲勞試驗(yàn)因素的分析[J].金屬制品，2006,32(3):46-47.

Zhang Fang, Zhang Pingping. Analysis of Effect Factors on Bend and Fatigue Test of Steel Wire Rope[J]. Steel Wire Products,2006,32(3):46-47.

[4]Jiang W G, Henshall J L,Walton J M.A Concise Finite Element Model for Three-layered Straight Wire Rope Strand[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2000,42(1): 63-86.

[5]馬軍，葛世榮，張德坤.鋼絲繩股內(nèi)鋼絲的載荷分布[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(4)：259-264．

Ma Jun,Ge Shirong,Zhang Dekun. Load Distribution on the Unit of the Wire Rope Strand[J].Journal of Mechanical Engineering,2009,45(4):259-264．

[6]馬軍,葛世榮,張德坤.鋼絲繩應(yīng)力及股內(nèi)鋼絲變形的相關(guān)性研究[J]. 煤炭科學(xué)技術(shù),2009,3:73-76.

Ma Jun,Ge Shirong,Zhang Dekun. Research on Relativity between Steel Cable Stress and Steel Wire Deformation of Strand[J]. Coal Since and Technology, 2009,3:73-76.

[7]孫建芳,王桂蘭,張海鷗.考慮接觸摩擦的金屬捻線捻制成形過(guò)程計(jì)算機(jī)模擬[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2005,17(7): 1746 -1750.

Sun Jianfang, Wang Guilan, Zhang Haiou. Nume- rical Simulation for Laying Wire Rope with Friction Contact[J].Journal of System Simulation,2005,17(7): 1746 -1750.

[8]王桂蘭,趙瑞敏,孫建芳,等.基于微分幾何學(xué)的鋼絲繩結(jié)構(gòu)CAD[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003,31(6):4-6.

Wang Guilan,Zhao Ruimin,Sun Jianfang.CAD of Wire Rope Structure Based on the Differential Geometry[J].J. Huazhong Univ. of Sci. & Tech. (Natural Science Edition), 2003,31(6):4-6.

[9]Lee W K, Casey N F,Gray T G F.Helix Geometry in Wire Rope[J].Wire Ind.,1987,54(8): 461-468.

[10]Lee W K. An Insight into Wire Rope Geometry[J]. International Journal of Solids and Structure,1991,28(4):471-490.

[11]Erd?nmez C. N-tuple Complex Helical Geometry Modeling Using Parametric Equations[J].Engineering with Computers, 2014，30(5):715-726.

[12]Stanova E, Fedorko G, Fabian M,et al. Computer Modeling of Wire Strands and Ropes Part I:Theory and Computer Implementation[J].Advances in Engineering Soft Ware,2011,42(6): 305-315.

[13]Hobbs R E, Nabijou S. Changes in Wire Curvature as a Wire Rope Is Bent Over a Sheave[J]. The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1995,30(4): 271-281.

[14]Nabijou S,Hobbs R E.Relative Movements within Wire Ropes Bent over Sheaves[J].The Journal of Strain Analysis for Engineering Design,1995,30(2):155-165.

[15]李曉豁,張惠波,戰(zhàn)林,等.天輪處提升鋼絲繩的曲率和撓率分析[J].世界科技研究與發(fā)展,2012, 34(2): 198-200.

Li Xiaohuo,Zhang Huibo,Zhan Lin, et al.Analysis on Curvature and Torsion of Hoisting Rope Bent over Sheave[J].World Sci. Tech. R&D,2012, 34(2): 198-200.

[16]胡茂.滑輪直徑對(duì)鋼絲繩壽命影響研究[D].武漢：武漢理工大學(xué),2012.

(編輯郭偉)

Geometric Modeling Theory of Bent Wire Rope Based on Pro/E

Guo WeiLu ZhengxiongZhang Wu

Xi’an University of Science and Technology,Xi’an,710054

In order to establish the bent model of multi-strands wire rope more exactly, the geometry relations of the various steel wires were analyzed about the bent wire rope in pace. Based on the theory of space alternate coordinate, the original parametric equation of the center line was deduced to the various steel wires in the bent wire rope. Using the capabilities of parametric and surface modeling of Pro/E, the solid modeling of the 6×7IWS bent wire rope was completed. The mathematical model of spiral steel wire rope lays a theoretical foundation for any bending wire rope and provides a possibility about theoretical analysis of the mechanical properties for the bent wire rope.

multi-strands bent wire rope; theory of space alternate coordinate; mathematical modeling;solid modeling

2014-11-27

中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M 562518XB)；西安科技大學(xué)培育基金資助項(xiàng)目(201330)

TH132DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.17.015

郭衛(wèi)，男，1955年生。西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槊旱V機(jī)械、礦山機(jī)械提升設(shè)備。發(fā)表論文50余篇。路正雄(通信作者)，男，1986年生。西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。張武，男，1985年生。西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師、博士后研究人員。