謝永興，黃　雋，胡云安，林　濤

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.指揮系；c.控制工程系；d.科研部，山東煙臺264001）

基于改進圓域分割方法的混沌微弱信號檢測

謝永興a，黃雋b，胡云安c，林濤d

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.指揮系；c.控制工程系；d.科研部，山東煙臺264001）

針對Melnikov方法和Lyapunov指數法在確定Duffing振子混沌閾值時計算繁瑣、耗時較長的問題，提出基于改進圓域分割的相圖識別方法。以圓域內相點比例為指標，利用其在系統(tǒng)相變時急劇變化這一特性進行微弱信號的檢測。改進圓域分割方法的圓域半徑取值更加靈活，使混沌閾值的確定更加方便。仿真實驗表明，信噪比為-60dB時檢測正確率達89%，驗證了該方法的有效性。

Duffing振子；改進圓域分割；信號檢測；微弱信號

微弱信號檢測是研究如何從強噪聲中提取有用信號，或者如何提高檢測系統(tǒng)輸出信號的信噪比［1］。運用微弱信號檢測技術可以測量到傳統(tǒng)觀念認為不能測量的微弱量，使測量精度得到較大的提高。微弱信號檢測技術在許多領域具有廣泛的應用，例如物理學、化學、生物醫(yī)學、天文學、地學、雷達、聲納、振動測量、故障診斷、通信等。其應用的廣泛性和迫切性促使人們不斷探索與研究微弱信號檢測的新理論、新方法，以期能更快速、更準確地從強噪聲背景中檢測出微弱信號。

微弱信號檢測方法主要分為基于線性理論的時域、頻域、時頻域方法和基于非線性理論方法［2-4］。國外研究者將混沌理論應用于微弱信號檢測始于20世紀90年代，為混沌理論的工程應用開辟了新領域，探索了實現微弱信號檢測的新途徑。

1992年，Brown等人［5］首先提出了應用Duffing振子的初值敏感性構造傳感器的3種方法；Birx等人采用復映射前向反饋神經網絡（Complex Mapping Feed Forward Networks，CMFFNS）識別Duffing方程相平面的變化，從而檢測出隨機高斯噪聲背景下的信號，檢測信噪比可達-12dB［6］。

我國在利用混沌振子檢測微弱信號領域的研究也不斷取得新的進展。1997年，王冠宇等在Birx工作的基礎上利用Duffing振子對白噪聲背景下微弱正弦信號的檢測進行研究［7］，實現了頻率已知情況下幅度的測量。在此基礎上，他描述了Duffing振子混沌系統(tǒng)的分岔規(guī)律［8］，并基于間歇混沌原理提出了利用混沌振子陣列的方法檢測微弱信號的頻率，并將可檢測信噪比范圍擴展到-68dB。聶春燕［9］將現代譜估計方法與Duffing振子系統(tǒng)構成混合檢測系統(tǒng)，并使用Melnikov方法求解出現混沌的閾值。張賓［10］將Lyapunov特性指數作為混沌判據引入微弱信號混沌檢測領域，為混沌檢測提供了一種量的標準。李月等人［11］先從非線性方程理論出發(fā)論證混沌系統(tǒng)存在周期解，再用定向過零技術計算諧波頻率。

微弱信號檢測過程中混沌閾值的確定極其重要，而無論是Melnikov方法，還是Lyapunov指數法，這些解析方法，其具體實現計算繁雜、耗時過長，無法滿足實際工程應用中的快速性要求。文獻［12］提出了用于快速識別相變的圓域分割（CZP）方法，在一定程度上提高了相變的識別效率。本文針對同頻正弦信號的檢測展開研究，對CZP方法進行改進，采用圓域內相點比例P作為系統(tǒng)狀態(tài)的判別指標，首先通過考察P隨Duffing振子驅動力幅值的變化，利用相變前后P的取值也會產生跳變這一特性確定P的閾值，然后就可以將待檢信號輸入臨界混沌狀態(tài)的Duffing振子中，計算輸出相圖的P值，利用獲得的閾值作為判據，判斷信號存在與否。

1　Duffing振子檢測原理

考慮如下Duffing振子［11］：

式（1）中：k為阻尼比；-x（t）+x3（t）為非線性恢復力；γ為內置驅動力幅值；input由待檢同頻周期信號s（t）和零均值高斯白噪聲n（t）組成，即input=s（t）+n（t）；ε為常系數，用于控制加入到Duffing振子中input信號的功率強度。

取t=ωτ，式（1）變?yōu)?/p>

式（2）中，ω=2πf，f為待檢信號頻率。

因為式（2）是由式（1）推導而來，x（τ）為x（t）在另一時間尺度上的表示，所以其動態(tài)特性和臨界值保持不變。

為得到Duffing振子的計算模型，取 y1=x，，將式（2）重寫為狀態(tài)方程形式：

進一步寫成矩陣的形式有：

式（5）中：tn=n×h（n=1，2，…）和Yn（n=1，2，…）為第n步計算時的時間和狀態(tài)向量。

2　圓域分割方法及其改進

圓域分割（CZP）方法，即在振子規(guī)則環(huán)狀軌道內部設置一個圓形區(qū)域，通過軌跡是否穿越圓域邊界來識別s（t）的存在。CZP方法的具體判定規(guī)則是：如果軌跡接觸或穿越邊界，則s（t）不存在；反之，如果軌跡沒有觸及或穿越邊界，則s（t）存在。詳細實現步驟如下。

1）求得由信號s（t）及內置驅動力共同作用下的Duffing振子相軌跡圖，在其軌跡內設置一盡可能大的圓域，圓域半徑記作R。

2）用高電平表示相軌跡沒有進入圓域（s（t）存在），低電平代表相軌跡觸及或進入圓域（s（t）不存在）。

3）取高電平為1、低電平為0，圓域邊界作為閾值，圓域分割器可表示為：

CZP方法存在的問題有：僅僅用相軌是否穿越圓域邊界來判定信號存在并不合理，因為由于噪聲的影響，周期軌道會比無噪聲時顯得更加粗糙，造成部分點落入圓域內部，從而引起誤判；另外，圓域半徑R要求“盡可能大”，沒有定量的指標對R的選取進行指導。針對CZP方法的不足進行改進，提出改進圓域分割方法，即圓域半徑取值大到圓域邊界和相軌相交，通過考察圓域內部相點所占比例來判定待檢信號有無。具體實現如圖1所示，其中no、ni分別表示同一時間段圓域外和圓域內相點計數值，記圓域內相點比例為

圖1　改進圓域分割法實現Fig.1 Implementation of ICZP method

由圖2可知，系統(tǒng)處在混沌態(tài)時的圓域內相點比例相對較大；而系統(tǒng)一旦進入大周期狀態(tài)，圓域內相點比例將明顯地減小。這種階躍性的跳變對劃定門限進行信號有無的判決十分有利。因此，本文利用圓域內相點比例來判決系統(tǒng)狀態(tài)的改變。此時問題轉化為判決問題：

式中，Pc為判定閾值。

圖2　Duffing振子的2種相圖Fig.2 Two states of Duffing oscillator

3　仿真分析

在式（3）中取ε=1，系統(tǒng)方程變?yōu)椋?/p>

不失一般性，假設加入的待檢測同頻信號為s（t）=acos（ωt），其中，角頻率 ω=10 rad/s，幅度a=0.000l，n（t）為零均值高斯白噪聲，此時驅動力總幅值變?yōu)锳=γ+a。利用Melnikov方法和仿真分析可得，當k=0.5時，Duffing系統(tǒng)式的閾值γc≈0.826 5。當A＞γc時，系統(tǒng)將進入大周期態(tài)；反之，則處于混沌態(tài)。因此，先將Duffing振子檢測系統(tǒng)調整到臨界狀態(tài)（γ=0.826 5），然后將含噪待檢信號（s（t）+n（t））加到Duffing系統(tǒng)的驅動力項；利用四階Runge-Kutta法求解 Duffing系統(tǒng)，取時間步長 h=0.01，初值為（y1，y2）=（0.8，0.9）。根據Duffing系統(tǒng)的解，利用式計算圓域內相點比例與事先設定的判決閾值Pc比較，從而判定信號的有無。根據多次實驗所得圓域內相點比例變化圖，當圓域半徑R=1.5時，取Pc=0.4。

圖3 a）～c）為圓域半徑R=1.5加入不同強度噪聲時圓域內相點比例P隨驅動力總幅值A的變化情況。圖3 d）～f）為圓域半徑R=1.4加入不同強度噪聲時圓域內相點比例P隨驅動力總幅值A的變化情況。

圖3　圓域內相點比例變化圖Fig.3 Variations graphs of phase point percentage within the circle area

由圖3 a）～c）可知，不同噪聲強度下圓域內相點比例整體變化趨勢是一致的，在驅動力幅值A=0.826附近急劇下降，對應于Duffing系統(tǒng)由混沌臨界狀態(tài)轉變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)。另外，隨著噪聲強度的加大，過渡階段的波動增多，這將直接影響混沌閾值的選取以及后期信號檢測的正確率。由圖3 d）～f）可知，不同噪聲強度下圓域內相點比例整體變化趨勢是一致的，在驅動力總幅值A=0.826附近急劇下降，對應于Duffing系統(tǒng)由混沌臨界狀態(tài)轉變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)。隨著噪聲強度的加大，過渡階段的波動也逐漸增多。需要注意的是，同等噪聲強度下，其圓域內相點比例P整體比R=1.5時低。所以，可以取不同圓域半徑進行微弱信號的檢測，并相應地調整閾值即可。

為檢驗所提算法的有效性，實驗時待檢測信號s（t）=0.000 1cos（10t）保持不變，加入不同強度的噪聲。每種噪聲水平重復進行實驗1 000次，最終的統(tǒng)計結果見圖4。由圖可知，當信噪比SNR=-50dB時，改進圓域分割方法的檢測概率還能保持在100%，比文獻［13］整整降低了20dB；當信噪比為-60dB時，檢測正確率高達89%；當信噪比小于-72dB時，檢測性能急劇下降，到-80dB時正確檢測概率已不足25%。

圖4　檢測性能曲線Fig.4 Detection performance curve

仿真分析時需注意以下幾點：

1）仿真中僅對角頻率為10rad/s的單頻信號進行了檢測分析，而根據Melnikov方法計算混沌躍遷閾值的過程可知，Duffing系統(tǒng)的混沌閾值并不隨頻率的變化而變化。

2）對于與系統(tǒng)驅動力頻率存在頻差和相差的待檢信號，可以通過構造振子陣列進行未知頻率信號的檢測；因為頻差和相差會導致間歇混沌，進一步導致判決門限的變化，須仔細考慮如何調整判決門限，確保判決的正確性。

3）仿真實驗中，圓域半徑取值采用的是略小于各相點到原點的平均歐氏距離，保證了圓域內總有一部分相點存在，此時圓域內相點比例約為32%左右。

4　結論

本文提出了一種改進圓域分割方法，以圓域內相點比例作為指標進行微弱信號的定量檢測。圓域內相點比例能夠比較實時地表征系統(tǒng)的動力學行為，有利于提高相圖識別的快速性。圓域半徑取值不唯一，提高了該方法的靈活性。仿真分析表明，當信噪比為-60dB時，檢測正確率達89%，驗證了該方法的有效性。盡管文中檢測采用的是單頻信號，但該方法可以推廣至方波信號、直擴信號、BPSK信號的檢測，只是需要調整相應判決門限。如何自適應地調整檢測門限、提高算法的實用性將是下一步需要研究的問題。

［1］戴逸松.微弱信號檢測方法及儀器［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1994：1-2. DAI YISONG.Weak signal detection method and instrument［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1994：1-2.（in Chinese）

［2］夏均忠，劉遠宏，冷永剛，等.微弱信號檢測方法的現狀分析［J］.噪聲與振動控制，2011，31（3）：156-161. XIA JUNZHONG，LIU YUANHONG，LENG YONGGANG，et al.Analysis of methods of weak signal detection［J］.Journal of Noise&Vibration Control，2011，31（3）：156-161.（in Chinese）

［3］夏均忠，劉遠宏，馬宗坡，等.基于調制隨機共振的微弱信號檢測研究［J］.振動與沖擊，2012，31（3）：136-140. XIA JUNZHONG，LIU YUANHONG，MA ZONGPO，et al.Weak signal detection based on the modulated stochastic resonance［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（3）：136-140.（in Chinese）

［4］王永生，劉愛東，高紹嵩，等.Duffing振子臨界態(tài)性能研究［J］.海軍航空工程學院學報，2008，23（6）：669-673. WANG YONGSHENG，LIU AIDONG，GAO SHAOSONG，et al.Research on the performance of the duffing oscillator critical states［J］.Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University，2008，23（6）：669-673.（in Chinese）

［5］BROWN R，CHUA L O，POPP B.Is sensitive dependence on initial conditions nature’s sensory device［J］.International Journal of Bifurcation Chaos，1996，2（1）：193-199.

［6］BIRX D L，PIPENBERG S J.Chaotic oscillators andcomplex mapping feed forward networks（CMFFNS）for signal detection in noisy environments［C］//International Joint Conference on Neural Networks.1992：881-888.

［7］王冠宇，陶國良，陳行，等.混沌振子在強噪聲背景信號檢測中的應用［J］.儀器儀表學報，1997，18（2）：209-212. WANG GUANYU，TAO GUOLIANG，CHEN XING，et al.Application of chaotic oscillator in signal detection under strong noise background［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，1997，18（2）：209-212.（in Chinese）

［8］WANG G，CHEN D，LIN J，CHEN X.The application of chaotic oscillators to weak signal detection［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，1999，46（2）：440-444.

［9］聶春燕，石要武，衣文索.測量任意周期信號的混沌解判定［J］.電子測量與儀器學報，2005，19（4）：12-14. NIE CHUNYAN，SHI YAOWU，YI WENSUO.Determing chaotic solution to measure arbitrary periodic signals［J］.Journal of Electronic Measurement and Instrument，2005，19（4）：12-14.（in Chinese）

［10］張賓，李月，馬海濤.微弱信號混沌檢測臨界閾值的Lyapunov指數算法［J］.地球物理學進展，2003，18（4）：748-751. ZHANG BIN，LI YUE，MA HAITAO.An algorithm based on Lyapunov exponents to determine the threshold of chaotic detection for weak signal［J］.Progress in Geophysics，2003，18（4）：748-751.（in Chinese）

［11］李月，楊寶俊，鄧小英，等.諧波信號頻率的混沌檢測方法［J］.電子與信息學報，2005，27（5）：731-733. LI YUE，YANG BAOJUN，DENG XIAOYING，et al.The chaotic detecting method for the frequency of harmonic signal［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2005，27（5）：731-733.（in Chinese）

［12］FU Y，WU D，ZHANG L，et al.A circular zone partition method for identifying Duffing oscillator state transition and its application to BPSK signal demodulation［J］.Science China（Information Sciences），2011，54（6）：1274-1282.

［13］魏恒東，甘露，李立萍.基于哈密頓量的Duffing振子微弱信號檢測［J］.電子科技大學學報，2012，41（2）：203-207. WEI HENGDONG，GAN LU，LI LIPING.Weak signal detection by duffing oscillator based on hamiltonian［J］. Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2012，41（2）：203-207.（in Chinese）

Chaotic Weak Signal Detection Based on Improved Circle Zone Partition Method

XIE Yongxinga，HUANG Junb，HU Yun’anc，LIN Taod
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade；b.Department of Command；c.Department of Control Engineering；d.Department of Scientific Research，Yantai Shandong 264001，China）

To solve the complex computation and time consuming problem when determining the threshold value of chaos state of Duffing oscillator using Melnikov method and Lyapunov exponent method，improved circle zone partition（ICZP）method was presented to identify the phase state.ICZP method uses phase point percentage within the circle area to deter?mine the phase state，which will change dramatically when the state changes from chaos to periodic state.This characteris?tic was used to perform weak signal detection.The radius of the circle zone may take different values，which makes it more convenient to determine the chaos threshold.The simulation showed that the detection accuracy could reach up to 89% even when the signal to noise ratio（SNR）got as low as-60dB，which proved the validity of the proposed method.

Duffing oscillator；improved circle zone partition；signal detection；weak signal

TN911.23

A

1673-1522（2015）06-0511-05DOI：10.7682/j.issn.1673-1522.2015.06.003

2015-06-28；

2015-09-21

航空科學基金資助項目（20140184001）

謝永興（1985-），男，博士生。