趙偉霞， 董全林， 孫茂多， 丁 瑩， 楊婭姣， 黨玉杰

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191）

一種圓鞍形磁屏蔽線圈的設計與性能研究

趙偉霞， 董全林， 孫茂多， 丁 瑩， 楊婭姣， 黨玉杰

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191）

以畢奧-薩伐爾定律為基礎(chǔ)，推導了一種圓鞍形線圈在空間任意點處的磁場分布表達式，優(yōu)化了一種線圈結(jié)構(gòu)，證明了圓鞍形線圈可以產(chǎn)生一定區(qū)域的穩(wěn)恒磁場，并定量地給出了線圈內(nèi)部磁場的空間分布情況。所設計線圈產(chǎn)生的磁場中，1%均勻度的磁場均勻區(qū)占軸上區(qū)域的28%，0.1%均勻度的磁場均勻區(qū)占軸上區(qū)域的10%；在1 mA的電流下，單圈線圈最大磁場補償值為15 nT，相對偏差量不超過0.14 nT，驗證了所推導表達式的正確性，為多維磁場補償系統(tǒng)設計與研究提供了理論依據(jù)和參考。

計量學；穩(wěn)恒磁場；畢奧-薩伐爾定律；圓鞍形線圈；磁屏蔽

1　引 言

在原子陀螺、電子顯微鏡、超冷原子團溫度和密度測量、超高靈敏度磁強計等許多精密測量領(lǐng)域中，地磁場、雜散磁場等環(huán)境磁場會引起測量誤差［1～3］，因此需要進行補償和屏蔽。目前廣泛采用的是磁場產(chǎn)生系統(tǒng)，它利用3組軸心線互相垂直的線圈組，通以適當?shù)姆€(wěn)恒電流，沿3個不同方向產(chǎn)生可控穩(wěn)恒磁場與外部磁場矢量疊加抵消，使預定區(qū)域達到零磁場（磁場強度微弱）的效果，從而屏蔽環(huán)境磁場的影響［4］。

磁場產(chǎn)生系統(tǒng)的主體是產(chǎn)生磁場的線圈，用來描述線圈的指標有線圈常數(shù)和磁場均勻度［5］。線圈常數(shù)是指線圈中心產(chǎn)生的磁場強度與通入的電流強度之比，反映了線圈產(chǎn)生磁場的能力；磁場均勻度是指一定半徑球面上的磁場與圓心處磁場的相對變化量，反映了線圈磁場的均勻性?？僧a(chǎn)生均勻磁場的線圈有螺線管形、方形、環(huán)形、矩鞍形等線圈。傳統(tǒng)的螺線管線、方形、環(huán)形線圈結(jié)構(gòu)龐大，不易安裝，而鞍形線圈相較其他線圈可使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡化、體積減小、安裝方便、耗能降低，非常適用于原子陀螺、原子鐘等需要微小結(jié)構(gòu)的磁屏蔽系統(tǒng)。另外由于矩鞍形線圈特有的異型形狀切合圓柱形人體，因此在無線內(nèi)窺鏡、核磁共振成像等醫(yī)療領(lǐng)域得到應用［6～8］。

由于矩鞍形線圈存在不易繞制、拐角處易偏移和漆包線涂層破損等情況，本文考慮了不存在直形拐角的圓鞍形線圈，研究其內(nèi)部任意點處的磁場變化情況，并進行仿真驗證，避免直形拐角存在，提高磁場精度，為其在原子陀螺、電子顯微鏡等領(lǐng)域的應用開辟一條新的設計方法。

2　圓鞍形載流線圈的空間磁場分析

2.1圓鞍形載流線圈空間磁場理論計算

圓鞍形是圓形緊貼柱面上彎曲后形成的馬鞍形狀，如圖1所示。以對稱放置的圓鞍形載流線圈S1、S2的中心為原點建立空間直角坐標系O-xyz，穿過線圈圓心O1、O2的方向為x軸，向右垂直O(jiān)1O2的方向為y軸，z軸垂直于xOy平面。

圖1　圓鞍形載流線圈坐標圖

圖2　未彎曲前的線圈形狀

圖3　線圈電流元在場點處磁場分布示意圖

式中，μ0為真空磁導率，單位是H·m-1；R為電流元到場點的距離，單位是m；I為線圈電流，單位是A；B為磁感應強度，單位是T。

由式（1）～（3）可得單側(cè)線圈S1在空間任意一點產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強度為：

同理可求得中心線放置在x軸負半軸的圓鞍形線圈S2產(chǎn)生的空間磁場強度。單側(cè)線圈S2在空間任意一點各方向產(chǎn)生的磁場強度為：

式（4）～式（9）中，μ0為真空磁導率，I為線圈通入的電流，R0為彎曲前圓形線圈的半徑，R為彎曲后圓鞍形線圈柱體的半徑，r2=x2+y2+z2，θ=R0cos φ/R。

通過以上分析，一組對稱放置的圓鞍形線圈S1和S2疊加作用在空間任意場點產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強度為：

S1和S2在空間任意場點產(chǎn)生的總磁場強度為：

同理，兩個對稱放置的圓鞍形載流線圈中心線位于y軸時，可以得到與式（10）～式（13）相似的表達式。

2.2圓鞍形載流線圈軸上磁場理論計算

為進一步了解圓鞍形線圈內(nèi)部磁場分布情況，對圓鞍形系統(tǒng)進行軸上磁場分布分析。當場點P位于x軸時，即令式（4）～式（9）中的y、z為0，得圓鞍形線圈組S1和S2產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強度為：

可見，在x軸上y、z兩個方向的磁場強度為0，線圈只產(chǎn)生x方向的磁場強度，這為線圈的分析和利用打下了基礎(chǔ)。同理可以求出，當場點P位于y、z軸時，線圈在該點處也只產(chǎn)生x方向的磁場強度。

通過上面分析，x軸放置的圓鞍形線圈在軸上只產(chǎn)生x方向的磁場，其它方向的磁場強度為0。這樣，可以通過把幾組線圈放置在不同軸上來對相應軸向磁場進行獨立補償，彼此間不受影響。

2.3圓鞍形線圈產(chǎn)生均勻磁場的條件

由上面的分析可知x軸上放置的圓鞍形線圈在軸上產(chǎn)生的磁場為B（x）=Bx（x，0，0），將其在x=0處泰勒展開為：

由于B（x）為偶函數(shù)，故奇次項導數(shù)B′（x）=0、B（3）（0）=0，…，B（2n+1）（0）=0，而當x的值很小時（0＜x＜1），O（x4）≈0，可以忽略它對磁場的影響。若使得圓鞍形線圈在中心附近產(chǎn)生均勻的磁場，要滿足的條件為：

式（20）不存在解析解，因此利用逐步逼近法由式（18）、式（20）計算得出數(shù)值解α=2.119 5，即圓鞍形線圈產(chǎn)生均勻磁場的條件為R0=2.1195 R，其中R0為線圈半徑，R為柱體半徑。

3　圓鞍形載流線圈磁場仿真結(jié)果

由上面的分析可以確定，圓鞍形線圈彎曲程度即柱體半徑?jīng)Q定了其均勻磁場的范圍。對線圈性能進行定量分析，取I=1 mA，R=50 mm，R0=105.975 mm，對模型進行Matlab仿真。圓鞍形線圈在3個坐標軸上產(chǎn)生的磁場強度分布曲線和磁場均勻性分別如圖4（a）、圖4（b）所示。

為更準確地展示圓鞍形線圈產(chǎn)生的磁場強度情況，表1給出了線圈在x軸上不同點處產(chǎn)生的磁場強度值和磁場偏差量。

圖4　圓鞍形線圈軸上磁場分布情況

表1　線圈在x軸上產(chǎn)生的磁場強度和磁場偏差量

為進一步分析線圈內(nèi)部磁場分布，對圓鞍形線圈在xOy平面上產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場分布進行分析，仿真結(jié)果如圖5、圖6、圖7所示。

圖5　xOy平面上x方向磁場強度和等值線分布

圖6　xOy平面上y方向磁場強度和等值線分布

可以看出，圓鞍形線圈在xOy平面上產(chǎn)生的y方向磁場分量最大只能達到0.2 nT，而在z方向產(chǎn)生的磁場分量在10-15量級，因此可以認為線圈在xOy平面上只產(chǎn)生x方向的磁場，并且由圖5可以看出，線圈在xOy平面上圓心O周圍14 mm的圓形區(qū)域內(nèi)能產(chǎn)生不超過15 nT的磁場，均勻性能達到1%，而且與軸上磁場分布情況相同，越靠近中心，其均勻性越好，驗證了模型磁場解析表達式的正確性。

為更形象直觀地表示圓鞍形線圈空間的磁場分布，選取線圈內(nèi)30 mm×30 mm×30 mm的空間立體區(qū)域，共8 000個采樣點進行分析，標記能產(chǎn)生磁場強度在14.997 1±0.15 nT范圍內(nèi)的點，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖7　xOy平面上z方向磁場強度和等值線分布

圖8　圓鞍形線圈在空間立方區(qū)域內(nèi)的磁場分布

由圖8可以看出所標記的點集中分布在線圈中心28 mm×28 mm×28 mm大小的立體空間內(nèi)，形成一個穩(wěn)恒磁場區(qū)域，表明這種圓鞍形線圈可以在一定空間區(qū)域產(chǎn)生穩(wěn)恒磁場，在磁補償和屏蔽系統(tǒng)中具有可應用性。

4　結(jié) 論

（1）推導了一種圓鞍形線圈在空間任意點處的磁場分布表達式，優(yōu)化了一種線圈結(jié)構(gòu)，利用Matlab軟件畫出了線圈的軸上和空間磁場分布圖，定量地給出了圓鞍形線圈內(nèi)部磁場的空間分布情況。

（2）設計的線圈軸向磁場1%均勻度的均勻區(qū)為軸上區(qū)域的28%，0.1%均勻度的均勻區(qū)為軸上區(qū)域的10%，驗證了所推導表達式的正確性，為多維磁場補償系統(tǒng)提供了理論依據(jù)和參考值。

（3）圓鞍形線圈形成穩(wěn)定磁場區(qū)域的原因是選取了一種結(jié)構(gòu)使得式（17）中B（2）（0）為零，如果要進一步提高磁場的均勻性和均勻區(qū)域，可以通過改進使式（17）中B（x）在原點的更高階導數(shù)B（4）（0）、B（6）（0）也為零，可以大大提高屏蔽線圈的性能。

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The Design and Research on Performance of Round-saddle Coils for Magnetic Shielding

ZHAO Wei-xia， DONG Quan-lin， SUN Mao-duo， DING Ying， YANG Ya-jiao， DANG Yu-jie
（Departmental of Instrumentation Science and Opto-electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The magnetic field distribution expression of one pair of round-saddle coils at any point in space is theoretically inferred based on the Biot-Savart Law，and the structure of the coils is optimized.The fact that the roundsaddle coils can produce uniform magnetic field of a certain region is proved，and the partial magnetic field distribution of round-saddle coils is given quantitatively.The designed coils can produce uniform magnetic field of a certain area which is 28%of the axis area which the uniformity can be 1%，10%of the axis area which the uniformity can be 0.1%.The maximum value of the magnetic field compensation of coils of one single round can be 15 nT in the current of 1 mA，and the relative deviation is less than 0.14 nT.Therefore the correctness of the magnetic field distribution expression is verified，providing the theoretical basis and reference for the design and research of the dimensional magnetic field compensation system.

metrology；uniform magnetic field；biot-savart law；round-saddle coils；magnetic shielding

TB972

A

1000-1158（2015）05-0540-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.05.20

2014-01-27；

；2015-01-23

國家科技支撐計劃（2006BAK03A24）；國家自然科學基金委重大科研儀器設備研制專項（61227902）

趙偉霞（1989-），女，河北臨漳人，北京航空航天大學碩士研究生，研究方向為超顯微儀器與電子光學技術(shù)。zhaoweixia@aspe.buaa.edu.cn

董全林為本文通訊作者。dongquanlin@buaa.edu.cn