江用科

（北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)，北京100022）

運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行高中統(tǒng)計(jì)教學(xué)的探索

江用科

（北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)，北京100022）

隨著互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的到來(lái)，人們的衣食住行都離不開網(wǎng)絡(luò)，與此伴隨產(chǎn)生了各種各樣的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)信息，人類已經(jīng)進(jìn)入了大數(shù)據(jù)時(shí)代.大數(shù)據(jù)時(shí)代的數(shù)據(jù)量更大，結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，如何從中獲取更有價(jià)值的信息資源變得格外重要.

信息技術(shù) 高中 統(tǒng)計(jì)教學(xué)

2014年11月，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)發(fā)布了統(tǒng)計(jì)學(xué)本科專業(yè)指導(dǎo)性教學(xué)綱要，這是在大數(shù)據(jù)背景下對(duì)2000年首次發(fā)布的指導(dǎo)性教學(xué)綱要進(jìn)行的一次全面修訂和更新，主要強(qiáng)調(diào)了四個(gè)方面的內(nèi)容：（1）數(shù)據(jù)科學(xué)日益重要，統(tǒng)計(jì)專業(yè)人才不僅需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，還要有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和編程能力，可以熟練使用專業(yè)統(tǒng)計(jì)軟件和數(shù)據(jù)庫(kù)；（2）真實(shí)數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)專業(yè)教育的重要組成部分；（3）更加多樣化的統(tǒng)計(jì)模型和方法；（4）通過(guò)語(yǔ)言、圖表和動(dòng)畫等用戶易于理解的方式表達(dá)數(shù)據(jù)分析結(jié)論的能力.

美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代的要求發(fā)布的這份統(tǒng)計(jì)學(xué)本科專業(yè)指導(dǎo)性教學(xué)綱要代表著美國(guó)統(tǒng)計(jì)專業(yè)教育在未來(lái)的發(fā)展方向，對(duì)我國(guó)目前正在進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)教育改革具有重要的參考價(jià)值，值得借鑒.

高中統(tǒng)計(jì)教育也應(yīng)在“大數(shù)據(jù)”“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下適應(yīng)時(shí)代要求，在教材內(nèi)容基礎(chǔ)之上，通過(guò)現(xiàn)代信息教育手段，初步體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)軟件的使用，通過(guò)軟件內(nèi)部的功能，感受多種統(tǒng)計(jì)模型和方法，利用多媒體技術(shù)加深對(duì)數(shù)據(jù)的分析和理解能力.

鑒于以上背景，筆者基于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)③第二章“統(tǒng)計(jì)”中的“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了有益的教與學(xué)探究與思考.

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)主要是使用TI-Nspire CXC圖形計(jì)算器，學(xué)生通過(guò)對(duì)TI圖形計(jì)算器的操作，具體形象地利用散點(diǎn)圖等直觀圖形認(rèn)識(shí)變量之間的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)，經(jīng)過(guò)描述兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的過(guò)程，學(xué)生親自體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的全過(guò)程.與此同時(shí)，教師在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)理念上作了一些有益的探討.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

隨著時(shí)代的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)在社會(huì)發(fā)展中的作用越來(lái)越大，中小學(xué)課程中統(tǒng)計(jì)概率內(nèi)容大大增加，已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢(shì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出，要提高數(shù)據(jù)處理等五大基本能力.為了適應(yīng)信息時(shí)代發(fā)展的需要，高中數(shù)學(xué)課程把基本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)知識(shí)等作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能傳授給學(xué)生.隨著社會(huì)發(fā)展進(jìn)入“大數(shù)據(jù)時(shí)代”，人們對(duì)于數(shù)據(jù)、信息的關(guān)注越來(lái)越大，生活中的很多數(shù)據(jù)都是“雜亂”的，但并非“無(wú)章”，如何收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，如何利用這些規(guī)律提高生活質(zhì)量，已經(jīng)成為高科技企業(yè)的熱門問(wèn)題.數(shù)據(jù)處理能力成為現(xiàn)代人的基本能力.在高中學(xué)習(xí)中，有必要掌握基本數(shù)據(jù)處理能力：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取信息，利用信息說(shuō)明問(wèn)題，等等.

變量之間的關(guān)系是數(shù)據(jù)分析中的重要問(wèn)題.在教師的引導(dǎo)下，可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在現(xiàn)實(shí)世界中存在不能用函數(shù)模型描述的變量關(guān)系，從而體會(huì)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系的重要性.通過(guò)探究人體脂肪百分比和年齡之間的關(guān)系，引入描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的線性回歸方程（模型）.通過(guò)氣溫與飲料銷售量的例子及隨后的思考，使學(xué)生了解利用線性回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，體會(huì)線性回歸方程作出的預(yù)測(cè)結(jié)果的隨機(jī)性，并且可能犯的錯(cuò)誤.進(jìn)一步，教師可以利用T I圖形計(jì)算器，直觀形象地展示預(yù)測(cè)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性.

二、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)了隨機(jī)抽樣和用樣本估計(jì)總體兩節(jié)，掌握了如何從總體抽取樣本，并通過(guò)樣本估計(jì)總體的思想方法，學(xué)會(huì)了畫頻率分布直方圖，并用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，具備了對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析的能力.掌握了一定的TI圖形計(jì)算器基礎(chǔ)，尤其是電子表格的使用.

三、教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系.經(jīng)過(guò)用不同方法描述兩個(gè)變量相關(guān)的過(guò)程，體會(huì)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系的重要性.

通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系，并對(duì)變量間的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)關(guān)系作出直觀判斷.

體會(huì)變量之間的不確定性關(guān)系是很普遍的，幫助學(xué)生樹立科學(xué)的辯證唯物主義觀點(diǎn)，感受自然的辯證法.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)，關(guān)注生活，進(jìn)一步學(xué)會(huì)觀察、比較、歸納、分析等一般方法的運(yùn)用.

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)分析兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系，利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：變量之間相關(guān)關(guān)系的理解.

五、教學(xué)策略分析

在平時(shí)教學(xué)中，傳統(tǒng)的做法是：先根據(jù)例題給出的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖并根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)猜測(cè)回歸方程的一般形式，然后用待定系數(shù)法、最小二乘法等方法算出回歸方程的系數(shù)，得到回歸方程，最后根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).對(duì)這一過(guò)程學(xué)生接受是不難的，但整個(gè)過(guò)程將花費(fèi)大量的時(shí)間在計(jì)算回歸方程的系數(shù)上，尤其是最小二乘法.但在回歸分析中，最有價(jià)值的是相關(guān)關(guān)系的確定與函數(shù)模型的建立，并不是計(jì)算.復(fù)雜的計(jì)算可以由TI圖形計(jì)算器去完成，我們把精力放在散點(diǎn)圖的分析、函數(shù)模型的建立和利用模型進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)上.

六、圖形計(jì)算器支持

統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)離不開計(jì)算，但大量繁難、重復(fù)性的運(yùn)算占用了學(xué)生大量寶貴的時(shí)間，使學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)知識(shí)望而生畏.TI圖形計(jì)算器的數(shù)據(jù)處理功能可以使學(xué)生從復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算中解放出來(lái)，避免了煩瑣、枯燥的重復(fù)性工作.從而使學(xué)生以更多的精力體驗(yàn)有價(jià)值的觀察、探究、實(shí)驗(yàn)、猜想等探索活動(dòng).使學(xué)生遇到生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題不再避而遠(yuǎn)之，從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).借助TI計(jì)算器通過(guò)真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間存在著某種數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)據(jù)之間的這種關(guān)系，可以對(duì)事件的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而幫助我們進(jìn)行決策.

七、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境 引入新課問(wèn)題1正方形邊長(zhǎng)越來(lái)越大時(shí)，該正方形的面積＿＿；

問(wèn)題2 當(dāng)兩地距離一定時(shí)，若汽車速度越快，則所需時(shí)間＿＿；

問(wèn)題3 人的年齡越來(lái)越大時(shí)，體重會(huì)＿＿；問(wèn)題4施肥量越來(lái)越多時(shí)，小麥畝產(chǎn)量會(huì)＿＿；思考：為什么前兩個(gè)問(wèn)題對(duì)答如流，而后兩個(gè)問(wèn)題張口結(jié)舌呢？

分析：因?yàn)榍皟蓚€(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量有一種明確的關(guān)系---函數(shù)關(guān)系.而后兩個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量有一定的關(guān)系，但這種關(guān)系又說(shuō)不清楚.在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，兩個(gè)變量之間存在確定性的關(guān)系是極少的，而兩個(gè)變量之間存在不確定性的關(guān)系是很普遍的.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)我們知道施肥量越大，小麥的產(chǎn)量就越高.但是，施肥量并不是影響小麥產(chǎn)量的唯一因素，小麥的產(chǎn)量還受土壤的質(zhì)量、降雨量、田間管理等諸多因素影響，這時(shí)兩個(gè)變量之間就不是確定性的函數(shù)關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間究竟是什么關(guān)系呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問(wèn)題---變量之間的相關(guān)關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中兩個(gè)變量之間還存在的相關(guān)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)研究變量之間相關(guān)關(guān)系的重要性，感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.（二）初步探索 直觀感知探究：在一次對(duì)人體的脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？

年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6

思考1：對(duì)某一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長(zhǎng)而增加或減少，但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量會(huì)怎樣變化？

思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)作圖可以對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能用T I圖形計(jì)算器作出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎？

思考3：觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢(shì)，人的年齡與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？

一個(gè)變量從小到大，另一個(gè)變量也從小到大，或從大到小，我們稱它為正相關(guān)或負(fù)相關(guān).如，一定范圍內(nèi)年齡與身高是正相關(guān)，網(wǎng)速與下載文件所需時(shí)間是負(fù)相關(guān).

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)形結(jié)合，掃清了學(xué)生的思維障礙.

（三）循序漸進(jìn) 延伸拓展

思考4：當(dāng)人的年齡增加時(shí)，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)？利用T I圖形計(jì)算器求出回歸直線方程.

思考5：利用回歸直線，可以預(yù)測(cè)某人70歲時(shí)的體內(nèi)脂肪含量嗎？

例2 有一位同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)銷售熱飲的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表，如下表.

攝氏溫度-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654

（1）畫出散點(diǎn)圖

（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律

（3）求回歸方程

（4）如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)

（5）請(qǐng)用TI圖形計(jì)算器作出其他的回歸

二次回歸和三次回歸：

冪回歸和指數(shù)回歸：

練習(xí)：下表給出了某些地區(qū)的鳥的種類與這些地區(qū)的海拔高度，分析這些數(shù)據(jù)，看一看鳥的種類數(shù)與海拔高度是否有關(guān).

地區(qū)A B C D E E G H I J K種類數(shù)363037111113171329415海拔1250115810674577017316106701493762549

線性回歸：

二次回歸和三次回歸：

冪回歸和指數(shù)回歸：

發(fā)現(xiàn)利用三次回歸的效果要比其他回歸更加符合實(shí)際.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，體會(huì)利用不同的回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

（四）新知應(yīng)用 即時(shí)體驗(yàn)

問(wèn)題1：調(diào)查一下本班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系.

問(wèn)題2：調(diào)查一下本班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系.

問(wèn)題3：調(diào)查一下本班同學(xué)的身高與體重的關(guān)系.

各組同學(xué)共同探究，并宣布結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)數(shù)據(jù)收集，數(shù)據(jù)處理過(guò)程，用身邊的實(shí)例感受變量間的相關(guān)關(guān)系.

（五）歸納總結(jié) 內(nèi)化知識(shí)

師生：

1.對(duì)于兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩種，其中函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

2.散點(diǎn)圖能直觀反映兩個(gè)相關(guān)變量之間的大致變化趨勢(shì)，利用T I圖形計(jì)算器作散點(diǎn)圖是簡(jiǎn)單可行的.

3.思想方法：數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、最小二乘法.

八、后記

統(tǒng)計(jì)是實(shí)際應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和圖形計(jì)算器的日益普及為學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)時(shí)處理過(guò)于煩瑣數(shù)據(jù)運(yùn)算提供了更加方便的工具；計(jì)算機(jī)可以大大提高數(shù)據(jù)整理和顯示的效果，又提高了學(xué)生的效率，使學(xué)生有時(shí)間與精力來(lái)探究事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和圖形計(jì)算器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在網(wǎng)上尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的資源，將是未來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要課題.因此教師應(yīng)該樹立先進(jìn)的教學(xué)觀念，在教學(xué)過(guò)程中注意統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)與信息技術(shù)的整合來(lái)培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力.

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］陳春芳.統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)過(guò)程中的困惑及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008.

［3］孟生旺.大數(shù)據(jù)時(shí)代的高中統(tǒng)計(jì)教育［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2015，32（4）：3-7.