于泉城

（山東省威海市榮成市第四中學(xué)，威海264306）

一道高考題的多角度解析
——不等式恒成立問題的解決策略

于泉城

（山東省威海市榮成市第四中學(xué)，威海264306）

新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，不等式恒成立問題便是一個考查學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑.歷年各省和全國高考數(shù)學(xué)卷中頻頻出現(xiàn)不等式恒成立問題，其形式逐漸多樣化.“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、幾何等密不可分的知識內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而備受高考、競賽命題者的青睞.在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”“化歸與轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用.本文結(jié)合2014年北京理科高考第18題對不等式恒成立問題進(jìn)行探究，通過一題多解，一題多變，總結(jié)出解決此類問題的思維模式和方法，從而引發(fā)學(xué)生發(fā)展思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”.

一、最值（確界）法

二、分離變量法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強.一般地有：

三、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用.對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖像形狀明顯，我們可以作出它們的圖像，利用圖像直觀和運動變化的觀點進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為某一極端情形如端點、相切等，從而得到參數(shù)的范圍.我們知道，函數(shù)圖像和不等式有著密切的聯(lián)系.下方的位置關(guān)系來解決，從數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)上看與2014年北京卷的這道高考題如出一轍.

圖1

圖2

上述例子剖析了這道高考中不等式恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然解題方法的表現(xiàn)形式不同，但其實質(zhì)都是構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值或借助函數(shù)圖像之間的位置關(guān)系達(dá)到解決問題的目的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”.在解綜合性較強的不等式恒成立問題時，關(guān)鍵是要抓住恒成立的實質(zhì)，以題為本，有時一題多解，具體問題具體分析，不拘泥于一種方法.同樣解決不等式恒成立問題的最值法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的策略也可以用來解決不等式有解問題，關(guān)鍵在于理解“存在”和“任意”兩邏輯詞的本質(zhì)，確定對應(yīng)的最值及數(shù)形結(jié)合時的圖像位置關(guān)系.不等式恒成立問題和有解問題也可以通過“存在”和“任意”的對立轉(zhuǎn)化來解決，相得益彰.總之，不等式恒成立問題（有解問題）的解法思路主要就是轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題等價轉(zhuǎn)化為簡單的、容易解決的問題.而要讓學(xué)生做到正確的、靈活的轉(zhuǎn)化，就要求我們在日常教學(xué)過程中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結(jié)構(gòu)和方法體系，在此過程中不斷提高數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.