朱貴璽

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗包括思維的經(jīng)驗和實踐的經(jīng)驗。”小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生在現(xiàn)實的情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷歸納和演繹推理的過程，循序漸進(jìn)地摸索規(guī)律，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行驗證和意義推廣。在此過程中，一方面需要學(xué)生“從頭到尾”地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，積累各個環(huán)節(jié)的經(jīng)驗;另一方面還需要學(xué)生通過觀察操作、抽象聯(lián)想、概括總結(jié)和遷移應(yīng)用等數(shù)學(xué)化的思維活動，親身經(jīng)歷和感悟數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展以及應(yīng)用，建立正確思考問題的路徑，形成一定的數(shù)學(xué)直觀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新的意識和能力。

一、 在“問題解決”的過程中發(fā)展思維經(jīng)驗

問題解決包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題四個環(huán)節(jié)?！皢栴}解決”的數(shù)學(xué)課堂就是用“問題解決”的方式來引領(lǐng)、組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，讓學(xué)生在探索解決問題的方法路徑的過程中，強化數(shù)學(xué)問題意識，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)解決問題的策略，積累思維經(jīng)驗，增強學(xué)習(xí)的信心和動力，產(chǎn)生積極的情感和態(tài)度。

1. 夯實發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗

問題是思維的起點。數(shù)學(xué)問題應(yīng)該既是學(xué)生真正有疑問、感到困惑的問題，又具有數(shù)學(xué)思考的價值，它存在于“學(xué)生現(xiàn)在在哪里”和“學(xué)生能夠到哪里”的區(qū)間之中。實際上，在目前的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的機會很少，所以教學(xué)中我們應(yīng)該首先培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識和習(xí)慣。

（1）喚醒經(jīng)驗，“領(lǐng)著”學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題

學(xué)生原有的知識經(jīng)驗就是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，因此在教學(xué)中教師要有意識地設(shè)計一些數(shù)學(xué)活動，貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，喚醒學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，產(chǎn)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的強烈愿望。例如：蘇教版五年級上冊“解決問題的策略”一課開始，教師設(shè)計了“投飛鏢”活動，標(biāo)靶的外圈6環(huán)，中圈8環(huán)，內(nèi)圈10環(huán)，3名同學(xué)每人投擲1次，可能會有多少種結(jié)果？學(xué)生在活動結(jié)束后，馬上發(fā)現(xiàn)了可能有4種情況：10環(huán)、8環(huán)、6環(huán)、0環(huán)。接著，開始第二輪投擲，還是剛才的3名同學(xué)，每人投擲2次，在投中的情況下一共會有多少種情況？學(xué)生在這樣的情境中，喚醒了已有的經(jīng)驗——四年級學(xué)習(xí)過的搭配規(guī)律，同時也對投中的情況進(jìn)行了初步的、零散的思考，在不知不覺中對本節(jié)課學(xué)習(xí)的“一一列舉”策略產(chǎn)生了需求，“怎樣進(jìn)行一一列舉？”的問題也隨之產(chǎn)生了。

（2）摸透心理，“順著”學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題

小學(xué)生具有典型的好奇、好動、好玩、好勝的心理特點。因此，在實際教學(xué)中我們應(yīng)該摸透學(xué)生的心理特點，設(shè)計一些具有“挑釁性”的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生產(chǎn)生一些“爭議”，在相互討論中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。例如：蘇教版四年級上冊“可能性”一課開始，教師設(shè)計了“抽獎”活動：一次摸2個球，同色你贏，獎勵5元獎品，異色你輸，付5元摸獎費。如果是你，你會去試試嗎？四年級的學(xué)生對概率有一定的直覺經(jīng)驗，但是這種直覺經(jīng)驗可能是錯誤的，也可能是正確的。所以，在開始時學(xué)生就呈現(xiàn)出了兩種態(tài)度：一種是可以試一試;另一種是不了解摸獎的情況不能試。對于這樣的“爭議”，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生思考：哪一種是我們應(yīng)該采納的意見？為什么呢？幫助學(xué)生認(rèn)識到“不完整信息”（沒有告訴我們摸獎球的數(shù)量）對于這個活動的影響，同時讓學(xué)生主動質(zhì)疑和追問：怎樣才是公平的呢？不僅順利地導(dǎo)入新課，切入教學(xué)主題，同時讓學(xué)生在交流和討論中提出了核心數(shù)學(xué)問題，為下一步教學(xué)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（3）把握生成，“逼著”學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題

實際教學(xué)中教師教的不只是知識，更重要的是能夠準(zhǔn)確地捕捉到學(xué)生有價值的問題和想法，迅速聚焦并重組，“逼著”學(xué)生主動形成解決問題的思路。例如：蘇教版四年級下冊“升和毫升”一課開始，出示“一杯水的量大約有多少？”的現(xiàn)實問題，喚起了學(xué)生的生活經(jīng)驗——“大約250克”的重量估計，接著追問：能用毫升來表示嗎？這杯水有多少毫升呢？這時學(xué)生提出需要了解“1毫升有多少”，教師迅速用量杯展示“1毫升”的水。學(xué)生新的疑問又產(chǎn)生了：用毫升來估計一杯水的量，該怎么辦呢？接下來需要給學(xué)生一個探究的空間。這樣，在學(xué)生生成的問題中，教師迅速把握住了“1毫升有多少”這一核心問題，進(jìn)而在下面的教學(xué)中“逼著”學(xué)生自己動手實驗探究，逐步發(fā)現(xiàn)10毫升、20毫升、50毫升、100毫升、150毫升……的量，積累了豐富的經(jīng)驗和表象，為進(jìn)一步認(rèn)識“毫升”建立正確的數(shù)學(xué)直觀。

2.理清分析和把握數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題后，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖和列表等活動分析和把握數(shù)學(xué)問題的邏輯關(guān)系，大膽猜測結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。合情推理的主要方式是歸納和類比，歸納是一種從特殊到一般的推理方法，類比則是由一類事物所具有的某種屬性，可以推測出與其相似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。在日常教學(xué)實踐中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或者類比提出猜想，培養(yǎng)合情推理能力。

（1）歸納猜想，在“留白”中洞悉問題特征

學(xué)生分析問題往往容易受到“前經(jīng)驗”的干擾，所以在進(jìn)行歸納猜想的時候，也會出現(xiàn)一些暫時性的“誤判”。對此，教師應(yīng)該在表明同意與否的基礎(chǔ)上，給予學(xué)生一定的“留白”，試著建議學(xué)生去展開分析，找一找可以確信的依據(jù)，只有這樣歸納猜想的過程才能充分體現(xiàn)思維的含量。例如：蘇教版教材六年級上冊“解決問題的策略——替換”一課，在學(xué)生分析倍數(shù)關(guān)系的替換時，能夠較快地發(fā)現(xiàn)替換后，杯子個數(shù)變了，果汁的總量沒有改變。隨后在分析相差關(guān)系時，很多學(xué)生受“前經(jīng)驗”的影響，出現(xiàn)了暫時性的分析“困難”，教師沒有急于評價，也沒有暗示方法，而是耐心地讓學(xué)生再在稿紙上畫一畫，同時小組討論：替換時（“大杯換小杯”或者“小杯換大杯”）是怎樣換的？什么不變？什么變了？與前面的替換是一樣的嗎？學(xué)生在畫一畫、議一議、辯一辯的過程中逐漸弄清了相差關(guān)系與倍數(shù)關(guān)系的異同，進(jìn)一步明確了“把兩種未知量轉(zhuǎn)化為一種未知量”的難點，感受了“化歸”的數(shù)學(xué)思想。

（2）類比猜想，在“思辨”中理清問題脈絡(luò)

類比是一種從特殊到特殊的推理方法，其結(jié)果具有或然性，是否正確需要經(jīng)過嚴(yán)格的證明或?qū)嵺`檢驗。因此，在教學(xué)中對于問題的分析要讓學(xué)生經(jīng)歷“思辨”的價值訴求，從中梳理問題的脈絡(luò)，找到解決問題的正確方向。例如：在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”一課時，學(xué)生在認(rèn)識了因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系后，利用整數(shù)乘法計算快速、有序、沒有遺漏地找到了36的因數(shù)。接下來教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生找出3的倍數(shù)，教師適時追問：什么樣的數(shù)是3的倍數(shù)？這個問題的提出讓學(xué)生快速回憶了因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系以及找一個數(shù)因數(shù)的方法，思維活躍了，探究的欲望自然產(chǎn)生，在教師的啟發(fā)和學(xué)生的思辨中，學(xué)生會做出猜想：整數(shù)（0除外）和3相乘所得的數(shù)是3的倍數(shù)。對于這個猜想，教師馬上讓學(xué)生動手試一試，操作、驗證，逐步有序地找到100以內(nèi)3的倍數(shù)。

3.完善驗證和解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗

在數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程中，學(xué)生提出猜想后，要從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真;或者尋找反例說明此猜想為假，并且進(jìn)一步修正或者否定此猜想。從演繹證明和舉反例兩個方向上去逐步解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用的方法之一。

（1）演繹證明，在“邏輯”中校正思維方向

演繹推理是一般到特殊的推理方法，它的邏輯形式對于理性的重要意義在于對人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性，它最典型、最重要的應(yīng)用通常存在于邏輯和數(shù)學(xué)證明中。除了傳統(tǒng)的培養(yǎng)演繹推理能力的一些“三段論”判斷外，在實際教學(xué)中我們應(yīng)該有意識地創(chuàng)新形式，豐富培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的途徑。例如：在教學(xué)蘇教版教材“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時，教師設(shè)計這樣的一組題（如下圖），發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

先請學(xué)生觀察豎式一，自己嘗試推理。推理一：看尾數(shù)，因為6×8=48，積的個位上的數(shù)是8，現(xiàn)在個位上的數(shù)是4，所以豎式錯誤。推理二：估算1，因為398>300，26>20，300×20=6000，398×26>6000，而積現(xiàn)在是3184，所以豎式計算錯誤;估算2，因為398≈400，26≈30，所以400×30≈12000?，F(xiàn)在積是3184，所以豎式錯誤。這時，教師再出示豎式二，讓學(xué)生找出豎式中存在的錯誤：用十位上的2×398，要注意積的數(shù)位對齊。最后呈現(xiàn)豎式三，小結(jié)計算方法，強調(diào)計算過程中需要注意的問題，運用估算對結(jié)果進(jìn)行驗證。這樣的教學(xué)設(shè)計，先讓學(xué)生關(guān)注整體，從整體（估算）中發(fā)現(xiàn)問題，再引導(dǎo)學(xué)生在局部找到解決問題的方法，對癥下藥，正反兼施，切實培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

（2）尋找反例，在“質(zhì)疑”中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

舉反例在實際教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它能夠揭示猜想中的不合理部分，有助于對猜想的修正和繼續(xù)證明。因此，我們要在課堂小結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“質(zhì)疑”，尋找反例，不斷對猜想或者結(jié)論進(jìn)行剖析，加深對規(guī)律的理解，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如：蘇教版教材三年級上冊“間隔排列”一課，在學(xué)生通過觀察、操作、討論和交流，認(rèn)識到教材中“間隔排列”的規(guī)律后，教師沒有馬上進(jìn)行小結(jié)，而是讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的正方形和圓片，按照間隔排列的規(guī)律排列，如果要擺10個正方形，圓片最少需要多少個？最多需要多少個？在學(xué)生充分動手?jǐn)[一擺后，教師讓學(xué)生呈現(xiàn)與教材中“間隔排列”規(guī)律（兩端都是正方形）不一樣的情況：（1）兩端都是圓片（圓片11個），（2）兩端不同（圓片10個），（3）擺成封閉圖形（圓形）。最后，展示生活中“間隔排列”的現(xiàn)象，再小結(jié)“間隔排列”的規(guī)律。這里雖然沒有讓學(xué)生尋找反例（主要考慮三年級學(xué)生的認(rèn)知水平），但是通過“擺一擺”的活動，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識 “間隔排列”（植樹問題）的規(guī)律，豐富了規(guī)律的外延，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、 在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的階段中累積實踐經(jīng)驗

史寧中指出：“基本活動經(jīng)驗是指學(xué)生親自或者間接經(jīng)歷活動過程而獲得的經(jīng)驗?！痹谶@一過程中，學(xué)生大致需要經(jīng)過經(jīng)歷、內(nèi)化、概括和遷移的思維過程，其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗也相應(yīng)地處于模仿、思辨、模型和實質(zhì)四個層次。對此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過觀察操作、抽象聯(lián)想、概括總結(jié)和遷移應(yīng)用來不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的水平，積累各種實踐性經(jīng)驗，建立一定的數(shù)學(xué)直觀。

1.模仿階段，在“觀察”中累積直接經(jīng)驗

學(xué)生在“問題解決”的課堂教學(xué)起始階段，需要對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的觀察是有意識地對數(shù)和形（平面和立體圖形）的特點及相互關(guān)系進(jìn)行感知，獲得事物表象的認(rèn)知活動。例如：蘇教版六年級上冊“長方體和正方體的認(rèn)識”一課，學(xué)生在看一看、數(shù)一數(shù)、量一量的過程中，發(fā)現(xiàn)了長方體面、棱、頂點的數(shù)量和特征，教師適時讓學(xué)生小組內(nèi)互相指指說說。接下來，探究正方體的特征，學(xué)生已經(jīng)有研究長方體特征的“經(jīng)驗”，教師放手讓學(xué)生根據(jù)表格的內(nèi)容自己研究，并且填在作業(yè)紙上。學(xué)生很快地完成了任務(wù)，不僅用眼觀察，還能用尺子量，這樣在操作中感知了正方體的特征，為后面理清長方體和正方體的關(guān)系奠定了堅實的基礎(chǔ)。

2.思辨階段，在“抽象”中重組認(rèn)知經(jīng)驗

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)觀察基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)知識技能有了初步的認(rèn)知后，需要對頭腦中已存事物的表象重新組合、再加工，也就是抽象出事物的共性特征，包含“異中求同”和“同中求異”兩個重要方面。例如：蘇教版六年級下冊“圓柱的認(rèn)識”一課，在學(xué)生觀察認(rèn)識圓柱的特征后，設(shè)計了一個操作活動：讓學(xué)生制作圓柱模型。學(xué)生在制作過程中遇到了問題：如何準(zhǔn)確把握圓柱底面周長和側(cè)面展開長方形的長之間的關(guān)系，二者如果能夠切合，那么圓柱的側(cè)面和底面就能夠順利連接起來，反之則不行。這時，引導(dǎo)學(xué)生思辨交流，準(zhǔn)確找到圓柱側(cè)面與底面之間的關(guān)系。這樣的數(shù)學(xué)活動，很好地實現(xiàn)了認(rèn)知經(jīng)驗的重組，達(dá)到了事半功倍的教學(xué)效果。

3.模型階段，在“概括”中凝練間接經(jīng)驗

學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動過程獲取的數(shù)學(xué)經(jīng)驗是直接經(jīng)驗，實際教學(xué)中學(xué)生更多是面對抽象程度高、應(yīng)用程度廣的間接經(jīng)驗。為此，在教學(xué)中要善于幫助學(xué)生在獲取直接經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，提供更多的與之相似或者同類的間接經(jīng)驗，概括出數(shù)學(xué)模型，開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，豐富學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的知識經(jīng)驗。例如：蘇教版三年級下冊“平均數(shù)”一課，教師設(shè)計了如下一些實際問題：蘋果的總重量÷筐數(shù)=平均每筐蘋果的重量，投籃投中的總數(shù)÷人數(shù)=平均每人投中的數(shù)量……在相關(guān)生活實例的基礎(chǔ)上進(jìn)行“概括”，總結(jié)出數(shù)量關(guān)系的共同點，形成總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)的數(shù)學(xué)模型。并讓學(xué)生通過解決實際問題逐漸感悟到：移多補少的策略主要用于解決幾個小數(shù)據(jù)的實際問題;而對多個較大數(shù)據(jù)求平均數(shù)的實際問題，使用總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)這一數(shù)學(xué)模型解決問題更簡便。

4.實質(zhì)階段，在“遷移”中驗證知識經(jīng)驗

嘗試遷移應(yīng)用已有的知識經(jīng)驗，解決具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，是小學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗積累應(yīng)用的高級階段。這一階段，學(xué)生能夠由此及彼、觸類旁通地進(jìn)行知識遷移，準(zhǔn)確把握解決問題的思維方向，全面提升了解決問題的意識和能力。例如：在學(xué)完比例知識后，教師設(shè)計了“測量物體及影子”的綜合實踐活動課。首先，測量學(xué)校里4棵大樹的樹干高度，接著測量在同一時間段每棵大樹影子的長度，做好記錄。然后利用學(xué)過的比例知識計算同一時間段樹高和影長的比值，運用這個比值和影長來估測學(xué)校里其他大樹的高度，最后再實際驗證估測的結(jié)果。整個活動，學(xué)生參與的積極性高，思維活躍，在遷移運用知識經(jīng)驗的同時，強化了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生獲得了成功的體驗，提高了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗既是一種過程，也是一種結(jié)果。實際教學(xué)中，學(xué)生通過抽象，親歷了知識的形成過程，積累個性化的直接經(jīng)驗;通過推理，驗證更多的猜想，積累正確思考問題的經(jīng)驗;通過建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界，解決實際問題，積累解決問題的經(jīng)驗，最終建立更高層次的數(shù)學(xué)直觀，形成數(shù)學(xué)邏輯經(jīng)驗，實現(xiàn)2011版課程標(biāo)準(zhǔn)中“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育”的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯：陳國慶】