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        建立不等式模型解決實(shí)際問題

        2015-10-21 18:13:14王祥平
        學(xué)校教育研究 2015年15期
        關(guān)鍵詞:處理費(fèi)月工資薪金

        王祥平

        下面兩例分別取材于實(shí)際生活的節(jié)水問題和個(gè)人收入所得稅的問題,它能通過建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型使問題獲解,是考察建模能力的好題。但遺憾的是一些參考解答的建模不夠合理,甚至由于建模不合理出現(xiàn)解答錯(cuò)誤的情況。本人認(rèn)為此類應(yīng)用題易建立不等式模型解之。

        例1.為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),某城市制定了以下水費(fèi)收費(fèi)辦法:每戶每月用水未超過7立方米時(shí),每立方米收費(fèi)1.0元并加收0.2元的城市污水處理費(fèi);超過7立方米的部分每立方米收費(fèi)1.5元并加收0.4元的城市污水處理費(fèi)。設(shè)某戶每月用水量為x(立方米),應(yīng)交水費(fèi)y(元)。

        (1) 分別寫出用水未超過7立方米和超過7立方米是y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

        (2) 如果某單位共有用戶50戶,某月共交水費(fèi)541.6元,且每戶的用水量均未超過10立方米,求這個(gè)月用水未超過7立方米的用戶最多可能有多少戶?

        說明其中式子8.4x表示x戶用水7立方米的水費(fèi),它應(yīng)大于或等于x戶這個(gè)月的實(shí)際用水水費(fèi);式子(5.7+8.4)(50-x)則表示(50-x)戶用水10立方米的水費(fèi),同樣也應(yīng)大于或等于(50-x)戶這個(gè)月的實(shí)際用水水費(fèi)。

        在有些參考解答中對(duì)第(2)題的解法是:

        設(shè)有x戶用水未超過7立方米,那么要使x的取值最大,則這x戶用水應(yīng)剛好為7立方米,而另外(50-x)戶用水量應(yīng)盡可能大,不妨設(shè)為10立方米。依題意得

        8.4x+(5.7+8.4)(50-x)=41.6

        解得,x≈28.67

        若x=29,此時(shí)交費(fèi)的最大總額為298.4+21×14.1=537.9<541.6.所以取x=28.

        在這個(gè)解答中,“要使x的取值最大,則這x戶用水應(yīng)剛好為7立方米,而另外(50-x)戶用水量應(yīng)盡可能大,不妨設(shè)為10立方米”使人很難看懂;在建立方程解出x≈28.67后,如何取近似值?為什么要對(duì)x=29進(jìn)行試驗(yàn),而x=28不需檢驗(yàn),也讓同學(xué)們感到難以把握。此題在“未超過7立方米”“未超過10立方米”及“求最多可能有多少戶”等諸多信息的提示下很容易聯(lián)想到建立不等式模型去解。事實(shí)上建立不等式模型去解,就可以克服以上弊端。

        例2例2.《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定個(gè),公民全月工資,薪金所得不超過1600元的部分不必納稅,超過1600元的部分為全月應(yīng)納稅所得稅,此項(xiàng)稅款按小表分段累計(jì)計(jì)算:

        (1) 若某人3月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為115元,則他的當(dāng)月工資薪金為多少?

        (2) 如果沙鎮(zhèn)溪初級(jí)中學(xué)共有教職工100人,某月交納稅款5000元,且每人的當(dāng)月工資薪金都在超過1600元而不超過2500元之間,求當(dāng)月工資薪金不超過2100元的教職工最多可能有多少人?

        從以上兩例可以看出當(dāng)問題中出現(xiàn)“不超過”“最多”“至少”等關(guān)鍵詞的實(shí)際應(yīng)用題,可考慮建立不等式的數(shù)學(xué)模型解之。

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