張志杭　劉炳銳　王堯

【摘 要】嫦娥三號(hào)的成功發(fā)射與著陸著實(shí)讓國(guó)人喜悅，它的成功也凝結(jié)了許多科學(xué)家的辛勞汗水。本文介紹如何用數(shù)學(xué)建模的方法確定嫦娥三號(hào)在月面15公里上空的近月點(diǎn)位置：構(gòu)建力學(xué)模型，建立嫦娥三號(hào)的質(zhì)量、比沖、時(shí)間的微分關(guān)系，依據(jù)燃油最省的原則，通過(guò)試算得到飛行器主減速階段初末俯仰角和推力的最佳值，按時(shí)間線性插值俯仰角，運(yùn)用MATLAB對(duì)主減速過(guò)程進(jìn)行擬合，得到主減速階段的水平位移，而后根據(jù)月球表面相對(duì)位移與經(jīng)緯度的變化關(guān)系，以及預(yù)定著陸點(diǎn)坐標(biāo)19.51W，44.12N反推近月點(diǎn)位置。

【關(guān)鍵詞】軟著陸；節(jié)省燃油；坐標(biāo)反推；MTALAB

1.問(wèn)題重述

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過(guò)多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，盡量減少軟著陸過(guò)程的燃料消耗。試確定：著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。

2.問(wèn)題分析

這個(gè)問(wèn)題屬于航天著陸軌道設(shè)計(jì)。

（1）軌道面確定：飛行器可以視為一個(gè)小型天體，它在橢圓繞月軌道上需要服從開(kāi)普勒第一定律、為節(jié)省燃油軌道面過(guò)預(yù)定著陸點(diǎn)、選定典型極地軌道，三個(gè)條件決定著陸準(zhǔn)備軌道和月球19.51W經(jīng)線圈位于同一平面。

（2）著陸階段水平位移確定：軟著陸6大階段中主減速階段（月面上空15km至3km）的水平位移占據(jù)總水平位移中的絕大部分，其余5大階段多產(chǎn)生豎向位移或歷時(shí)較短，所以僅需要考慮主減速階段的水平位移；在設(shè)定飛行器初末俯仰角后，不斷增大俯角，并以滿推力7500N制動(dòng)。

（3）主減速階段推力控制策略：因比沖衡定，飛行器推力越大從而消耗燃油越快；為使得嫦娥三號(hào)減少制動(dòng)耗能，應(yīng)在高空盡可能多地使用燃油抵消機(jī)械能；進(jìn)而在主減速階段可以采用噴射器滿推力7500N工作的控制策略。

（4）坐標(biāo)反推：在計(jì)算主減速階段水平位移后，依據(jù)主減速階段平均高度（距離月心）折算維度變化，參考預(yù)定著陸點(diǎn)坐標(biāo)得到近月點(diǎn)坐標(biāo)。

3.模型假設(shè)

（1）在嫦娥三號(hào)動(dòng)力下降過(guò)程中，忽略地球及其他引力對(duì)嫦娥三號(hào)的影響，只考慮月球?qū)τ陲w行器的影響作用。

（2）因月球自轉(zhuǎn)速度相對(duì)緩慢，可忽略自轉(zhuǎn)影響與科里奧利力影響。

（3）考慮燃料的消耗對(duì)于嫦娥三號(hào)的質(zhì)量的影響。

（4）因?yàn)樵虑虻谋饴蕛H為1/963.725=0.00308，所以可以將月球簡(jiǎn)化為球體。

（5）月球表面沒(méi)有大氣層，幾乎無(wú)空氣阻力，嫦娥三號(hào)機(jī)械能守恒。

（6）在0.1s內(nèi)，嫦娥三號(hào)的速度，加速度的大小和方向以及質(zhì)量保持不變。

4.模型建立

4.1建立動(dòng)坐標(biāo)系

坐標(biāo)系X軸以嫦娥三號(hào)進(jìn)入主減速階段為起始點(diǎn)，距離月球表面15km的圓軌道的切向方向?yàn)樽鴺?biāo)軸原點(diǎn)，以起始點(diǎn)沿月球徑向遠(yuǎn)離球心的方向Y軸的正方向。即坐標(biāo)原點(diǎn)與嫦娥三號(hào)在同一月球半徑上。

4.2力學(xué)模型與運(yùn)動(dòng)模型

嫦娥三號(hào)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到月球的引力與重力成正比，月球的引力指向月球圓心，分析嫦娥三號(hào)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在橢圓的任一點(diǎn)處，嫦娥三號(hào)受到的月球引力均為F；第t時(shí)刻，飛行器的水平速度的大小為Vxt，豎直方向的速度大小為Vyt：

一方面，嫦娥三號(hào)在極地橢圓軌道的平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，滿足法向力的平衡：引力、慣性力、重力合力為零， 另一方面，嫦娥三號(hào)在曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)切向滿足牛頓第二定律。

質(zhì)量變化由燃油損耗引起，由于比沖恒定等于2940m/s，所以單位時(shí)間消耗的燃料數(shù)量恒定，為2.55kg/s。

嫦娥三號(hào)主減速階段的邊界條件已知：高度由15公里降至3公里，初速度為1.695km/s，方向?yàn)樗剑礄E圓軌道近月點(diǎn)處切向）。

4.3水平位移的計(jì)算

為了保證主減速階段的要求，需要滿足以下邊界條件：主減速階段初末速度分別為1.7km/s與57m/s，初末高度分別為15km與3km；主減速階段的主要任務(wù)是減速，故飛行器噴射器應(yīng)在降落過(guò)程中基本與速度方向相反；為避免因控制誤差而導(dǎo)致飛行器逃逸，取初始俯角5°，末俯角30°（后階段控制策略最優(yōu)化要求），滿推力7500N工作，取時(shí)間的步長(zhǎng)為0.1s ，建立角度均勻變化模型，使用MATLAB程序?qū)γ恳粋€(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的角度值進(jìn)行擬合，經(jīng)解得：嫦娥三號(hào)經(jīng)過(guò)的水平距離為389km，此時(shí)的水平速度45.32m/s，豎直方向速度34.21m/s。

4.4近月點(diǎn)位置的確定

所以近月點(diǎn)可以是距離著陸點(diǎn)上空15km，水平距離為389km的圓上的任一點(diǎn)。月面上空8km（主減速階段平均高度）高度19.51°W經(jīng)線圈的半徑為1743.8km，所以緯度上每變化一度，變化的距離約為每度30.43公里，由水平位移為389km可得，角度變化為12.75°

所以降落圈的最南端為C（19.41°W，31.37°N），最北端為D（19.41°W，56.87°N）。

選擇由南向北的典型極地繞月軌道，近月點(diǎn)位置即可確定：（19.41°W，31.37°N），月面上空15km處，即可進(jìn)入主減速階段。

4.5遠(yuǎn)月點(diǎn)位置及近遠(yuǎn)月點(diǎn)速度

遠(yuǎn)月點(diǎn)由月面坐標(biāo)的中心對(duì)稱可得，為（340.59°E，31.37°N）；由于月球球心處于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，近、遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度可由角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒兩大定律聯(lián)合解得：近月點(diǎn)速度為1.695km/s，遠(yuǎn)月點(diǎn)速度為1.617km/s。

在求得近、遠(yuǎn)月點(diǎn)位置與速度后，若要模擬實(shí)際著落點(diǎn)，應(yīng)以此計(jì)算結(jié)果為初始條件，分主減速、快速調(diào)整、粗避障、細(xì)避障等6階段進(jìn)行計(jì)算。

5.誤差分析

5.1月球自轉(zhuǎn)影響

月球自轉(zhuǎn)的角速度為：1.525（單位為度/秒，自轉(zhuǎn)周期取27天7時(shí)43分）。

在大約750s的軟著陸過(guò)程中，月球自轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)的角度為0.11°；由月球自轉(zhuǎn)方向自西向東，故近月點(diǎn)應(yīng)向東修正0.11°。

5.2科氏力影響

科氏力作用下飛行器偏向223m，折算為經(jīng)度偏差即0.01°，方向與自轉(zhuǎn)相反。

所以近月點(diǎn)坐標(biāo)修正為：（19.31°W，31.37°N）。

6.模型推廣

此模型考慮在著陸過(guò)程中，飛行器在變質(zhì)量的情況下制動(dòng)的控制策略，可應(yīng)用于一般的飛行器著陸控制問(wèn)題；近月點(diǎn)計(jì)算模型可適用于一般的著陸準(zhǔn)備軌道選取。 [科]

【參考文獻(xiàn)】

[1]張洪華，關(guān)軼峰，黃翔宇.嫦娥三號(hào)著陸器動(dòng)力下降的制導(dǎo)導(dǎo)航與控制.

[2]果殼網(wǎng)，http：//www.guokr.com/link/120088/？basket_id=14654，月球經(jīng)緯度是怎么確定.