郭振緯 王中豪

摘要：通過(guò)對(duì)自動(dòng)平衡搜索車建立物理模型，建立物理方程式，在工作平衡點(diǎn)附近進(jìn)行小偏差線性化。然后通過(guò)求解特征方程以及勞斯判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但實(shí)際系統(tǒng)是穩(wěn)定的，得出結(jié)論系統(tǒng)線性化后可能會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定性變化。但是該線性化系統(tǒng)在小偏差范圍內(nèi)是合理的。進(jìn)而對(duì)小偏差線性化方法進(jìn)行學(xué)習(xí)研究。

關(guān)鍵詞：自動(dòng)平衡搜索車;穩(wěn)定性分析;小偏差線性化

1.自動(dòng)平衡搜索車系統(tǒng)分析

1.1自動(dòng)平衡搜索車系統(tǒng)物理模型圖

1.2物理量

M-小車的質(zhì)量，kg;

m-擺桿的質(zhì)量，kg;

u（t）-外作用力，N;

z（t）-小車的移動(dòng)距離，m;

θ（t）-擺桿相對(duì)于直立方向的偏離角，rad。

1.3系統(tǒng)原理介紹

自動(dòng)平衡搜索車由小車以及車上的倒置擺桿組成，實(shí)際上是一個(gè)空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型。姿態(tài)控制的目的是保持空間起飛助推器在垂直位置上。因此控制系統(tǒng)的作用是在施加控制作用u（t）后，使擺直立不倒。

1.4系統(tǒng)假設(shè)

假設(shè)1：小車與擺桿僅作平面運(yùn)動(dòng)，擺桿質(zhì)量，風(fēng)力，摩擦等略去不計(jì)。

假設(shè)2：擺桿只在垂直位置附近作微小的擺動(dòng)。由于該系統(tǒng)的目的就是使擺桿保持直立不倒，因此該假設(shè)合理。

假設(shè)3：閉環(huán)系統(tǒng)反饋的作用是力圖抑制或消除偏差，因此可以認(rèn)為θ，dθ/dt接近于零，從而可以忽略微小的高次項(xiàng)，而保留θ，dθ/dt項(xiàng)。

1.5系統(tǒng)分析

1.5.1擺的運(yùn)動(dòng)可看作由牽引運(yùn)動(dòng)（小車平移）和相對(duì)運(yùn)動(dòng)（擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)）的合成。擺的水平運(yùn)動(dòng)為： 。

1.5.2在垂直于擺桿的方向，擺的運(yùn)動(dòng)也由兩部分合成;一部分為小車平移運(yùn)動(dòng)在該方向的投影 ;另一部分為擺的圓周運(yùn)動(dòng) 。

1.6系統(tǒng)方程式

1.6.1根據(jù)牛頓定律，沿水平方向：

根據(jù)牛頓定律，沿?cái)[桿轉(zhuǎn)動(dòng)方向：

1.6.2在運(yùn)動(dòng)方程式中，有變量的乘積和三角函數(shù)，這是非線性方程，我們需要線性化方程

由假設(shè)2可知，θ很小，那么三角函數(shù)就可以簡(jiǎn)化。

則微分方程可近似為：

① ?②

1.6.3由①②兩式可得θ與u以及z與u的數(shù)學(xué)模型

1.7系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1.7.1傳遞函數(shù)：

1.7.2方法1：特征方程求解：

分析：由于均存在一個(gè)大于0的特征根，因此系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

1.7.3方法2：勞斯判據(jù)

勞斯陣列1

勞斯陣列2

分析：第一列的符號(hào)均發(fā)生了變化，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

1.7.4那么問(wèn)題來(lái)了，z（t）是不穩(wěn)定的容易理解，隨著u（t）的作用，z（t）是不斷增大的，不會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。但是θ（t）應(yīng)該是穩(wěn)定的，那么問(wèn)題出在哪里？

在上述的分析過(guò)程中，我們將原方程線性化了，而線性化需要一個(gè)前提條件，這個(gè)前提條件就是θ十分小。因此，該線性化方程只能在θ很小的條件下使用，當(dāng)θ增大到一定角度時(shí)就不能使用該數(shù)學(xué)模型。所得的數(shù)學(xué)模型只有在所取的平衡工作點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)才能保證線性化的準(zhǔn)確性。

1.7.5由上述穩(wěn)定性分析可知系統(tǒng)在平衡工作點(diǎn)小偏差線性化后可能會(huì)改變系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1.7.6由假設(shè)3可知當(dāng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時(shí)，θ的高階微分項(xiàng)可以消除，可以得到，當(dāng)θ穩(wěn)定時(shí)， 。

2.小偏差線性化

該模型是非線性系統(tǒng)，但是由于閉環(huán)反饋使得輸出值是十分微小的，就可以通過(guò)小偏差線性化的方法將其線性化。非線性系統(tǒng)的線性化是控制系統(tǒng)中十分重要的部分，對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)起到十分重要的作用。通過(guò)思考和查閱資料，我更加深入地學(xué)習(xí)了小偏差線性化方法。

2.1小偏差線性化定義

自動(dòng)控制系統(tǒng)通常情況下都有一個(gè)正常的工作狀態(tài)，即穩(wěn)態(tài)。我們想要研究的問(wèn)題往往是系統(tǒng)在正常工作狀態(tài)附近的行為。當(dāng)系統(tǒng)的輸入或輸出相對(duì)于正常工作狀態(tài)發(fā)生偏差時(shí)，即所謂的“小偏差”。因此，在這樣的一個(gè)小偏差范圍內(nèi)，可以將非線性部分準(zhǔn)確地用直線來(lái)代替，這就是小偏差線性化方法。

2.2泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

將非線性函數(shù)圍繞平衡點(diǎn)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并保留其線性項(xiàng)的方法，是一種最基本的小偏差線性化方法。該方法廣泛地應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中[1]。

2.3泰勒展開(kāi)局限性

一般認(rèn)為只要對(duì)非線性方程采用泰勒展開(kāi)式就是線性化，但是泰勒展開(kāi)法只適用于原始的非線性函數(shù)。一般實(shí)際的非線性系統(tǒng)的方程式是經(jīng)過(guò)許多復(fù)雜的推導(dǎo)而得到的，如果只根據(jù)推導(dǎo)出的方程式簡(jiǎn)單地采用泰勒展開(kāi)法來(lái)進(jìn)行線性化，那么所得的結(jié)果有可能是錯(cuò)誤的[2]。

2.4取偏導(dǎo)數(shù)線性化

有些非線性方程在導(dǎo)出過(guò)程中包含有求偏導(dǎo)的過(guò)程，可以通過(guò)在工作點(diǎn)取偏導(dǎo)數(shù)得出線性化方程。

2.5平衡工作點(diǎn)

如果系統(tǒng)中非線性元件不只是一個(gè)，則必須依據(jù)實(shí)際系統(tǒng)中各元件所對(duì)應(yīng)的平衡工作點(diǎn)建立線性化增量方程，才能反映系統(tǒng)在同一個(gè)平衡工作狀態(tài)下的小偏差運(yùn)動(dòng)特性。

3.結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)自動(dòng)平衡搜索車的控制系統(tǒng)分析，了解到實(shí)際中很多系統(tǒng)都有非線性部分，在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，都需要進(jìn)行線性化，而線性化最基本方法就是小偏差線性化。但是小偏差線性化可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變化，即線性化后的系統(tǒng)穩(wěn)定性可能改變。但是在小偏差的范圍內(nèi)該線性系統(tǒng)是合理的。因此，小偏差線性化系統(tǒng)存在局限性。小偏差線性化方法最常用的是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)取線性部分，而實(shí)際系統(tǒng)十分復(fù)雜，該方法是不合理的，只能使用于一個(gè)非線性元件。實(shí)際中的系統(tǒng)線性化需要在同一個(gè)平衡工作點(diǎn)建立線性化增量方程。

參考文獻(xiàn)：

[1]欒秀春，陽(yáng)光，袁麗英等.一類非線性系統(tǒng)小偏差線性化的計(jì)算機(jī)求解[N].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007-4 Vol.23 No.2.

[2]孟范偉，何朕，王毅等.非線性系統(tǒng)的線性化[N].電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2008-1 Vol.12 No.1.

作者簡(jiǎn)介：郭振緯（1993-），浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)系，指導(dǎo)老師：宋春躍、楊秦敏。