郭振緯 王中豪

摘要：通過對自動平衡搜索車建立物理模型，建立物理方程式，在工作平衡點附近進行小偏差線性化。然后通過求解特征方程以及勞斯判據(jù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。結果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但實際系統(tǒng)是穩(wěn)定的，得出結論系統(tǒng)線性化后可能會導致穩(wěn)定性變化。但是該線性化系統(tǒng)在小偏差范圍內(nèi)是合理的。進而對小偏差線性化方法進行學習研究。

關鍵詞：自動平衡搜索車;穩(wěn)定性分析;小偏差線性化

1.自動平衡搜索車系統(tǒng)分析

1.1自動平衡搜索車系統(tǒng)物理模型圖

1.2物理量

M-小車的質(zhì)量，kg;

m-擺桿的質(zhì)量，kg;

u（t）-外作用力，N;

z（t）-小車的移動距離，m;

θ（t）-擺桿相對于直立方向的偏離角，rad。

1.3系統(tǒng)原理介紹

自動平衡搜索車由小車以及車上的倒置擺桿組成，實際上是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型。姿態(tài)控制的目的是保持空間起飛助推器在垂直位置上。因此控制系統(tǒng)的作用是在施加控制作用u（t）后，使擺直立不倒。

1.4系統(tǒng)假設

假設1：小車與擺桿僅作平面運動，擺桿質(zhì)量，風力，摩擦等略去不計。

假設2：擺桿只在垂直位置附近作微小的擺動。由于該系統(tǒng)的目的就是使擺桿保持直立不倒，因此該假設合理。

假設3：閉環(huán)系統(tǒng)反饋的作用是力圖抑制或消除偏差，因此可以認為θ，dθ/dt接近于零，從而可以忽略微小的高次項，而保留θ，dθ/dt項。

1.5系統(tǒng)分析

1.5.1擺的運動可看作由牽引運動（小車平移）和相對運動（擺桿轉動）的合成。擺的水平運動為： 。

1.5.2在垂直于擺桿的方向，擺的運動也由兩部分合成;一部分為小車平移運動在該方向的投影 ;另一部分為擺的圓周運動 。

1.6系統(tǒng)方程式

1.6.1根據(jù)牛頓定律，沿水平方向：

根據(jù)牛頓定律，沿擺桿轉動方向：

1.6.2在運動方程式中，有變量的乘積和三角函數(shù)，這是非線性方程，我們需要線性化方程

由假設2可知，θ很小，那么三角函數(shù)就可以簡化。

則微分方程可近似為：

① ?②

1.6.3由①②兩式可得θ與u以及z與u的數(shù)學模型

1.7系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1.7.1傳遞函數(shù)：

1.7.2方法1：特征方程求解：

分析：由于均存在一個大于0的特征根，因此系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

1.7.3方法2：勞斯判據(jù)

勞斯陣列1

勞斯陣列2

分析：第一列的符號均發(fā)生了變化，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

1.7.4那么問題來了，z（t）是不穩(wěn)定的容易理解，隨著u（t）的作用，z（t）是不斷增大的，不會趨于一個穩(wěn)定值。但是θ（t）應該是穩(wěn)定的，那么問題出在哪里？

在上述的分析過程中，我們將原方程線性化了，而線性化需要一個前提條件，這個前提條件就是θ十分小。因此，該線性化方程只能在θ很小的條件下使用，當θ增大到一定角度時就不能使用該數(shù)學模型。所得的數(shù)學模型只有在所取的平衡工作點附近的小范圍內(nèi)才能保證線性化的準確性。

1.7.5由上述穩(wěn)定性分析可知系統(tǒng)在平衡工作點小偏差線性化后可能會改變系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1.7.6由假設3可知當系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時，θ的高階微分項可以消除，可以得到，當θ穩(wěn)定時， 。

2.小偏差線性化

該模型是非線性系統(tǒng)，但是由于閉環(huán)反饋使得輸出值是十分微小的，就可以通過小偏差線性化的方法將其線性化。非線性系統(tǒng)的線性化是控制系統(tǒng)中十分重要的部分，對系統(tǒng)的分析和設計起到十分重要的作用。通過思考和查閱資料，我更加深入地學習了小偏差線性化方法。

2.1小偏差線性化定義

自動控制系統(tǒng)通常情況下都有一個正常的工作狀態(tài)，即穩(wěn)態(tài)。我們想要研究的問題往往是系統(tǒng)在正常工作狀態(tài)附近的行為。當系統(tǒng)的輸入或輸出相對于正常工作狀態(tài)發(fā)生偏差時，即所謂的“小偏差”。因此，在這樣的一個小偏差范圍內(nèi)，可以將非線性部分準確地用直線來代替，這就是小偏差線性化方法。

2.2泰勒級數(shù)展開

將非線性函數(shù)圍繞平衡點展開成泰勒級數(shù)并保留其線性項的方法，是一種最基本的小偏差線性化方法。該方法廣泛地應用于實際系統(tǒng)中[1]。

2.3泰勒展開局限性

一般認為只要對非線性方程采用泰勒展開式就是線性化，但是泰勒展開法只適用于原始的非線性函數(shù)。一般實際的非線性系統(tǒng)的方程式是經(jīng)過許多復雜的推導而得到的，如果只根據(jù)推導出的方程式簡單地采用泰勒展開法來進行線性化，那么所得的結果有可能是錯誤的[2]。

2.4取偏導數(shù)線性化

有些非線性方程在導出過程中包含有求偏導的過程，可以通過在工作點取偏導數(shù)得出線性化方程。

2.5平衡工作點

如果系統(tǒng)中非線性元件不只是一個，則必須依據(jù)實際系統(tǒng)中各元件所對應的平衡工作點建立線性化增量方程，才能反映系統(tǒng)在同一個平衡工作狀態(tài)下的小偏差運動特性。

3.結語

通過對自動平衡搜索車的控制系統(tǒng)分析，了解到實際中很多系統(tǒng)都有非線性部分，在進行系統(tǒng)分析時，都需要進行線性化，而線性化最基本方法就是小偏差線性化。但是小偏差線性化可能會導致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變化，即線性化后的系統(tǒng)穩(wěn)定性可能改變。但是在小偏差的范圍內(nèi)該線性系統(tǒng)是合理的。因此，小偏差線性化系統(tǒng)存在局限性。小偏差線性化方法最常用的是泰勒級數(shù)展開取線性部分，而實際系統(tǒng)十分復雜，該方法是不合理的，只能使用于一個非線性元件。實際中的系統(tǒng)線性化需要在同一個平衡工作點建立線性化增量方程。

參考文獻：

[1]欒秀春，陽光，袁麗英等.一類非線性系統(tǒng)小偏差線性化的計算機求解[N].哈爾濱商業(yè)大學學報（自然科學版），2007-4 Vol.23 No.2.

[2]孟范偉，何朕，王毅等.非線性系統(tǒng)的線性化[N].電機與控制學報，2008-1 Vol.12 No.1.

作者簡介：郭振緯（1993-），浙江大學控制科學與工程學系，指導老師：宋春躍、楊秦敏。