呂廣玉

我們知道，絕對(duì)值|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|a-2|的幾何意義是：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到2的距離，由此可以求絕對(duì)值方面的最小值問(wèn)題，所以簡(jiǎn)稱(chēng)雙值合一。

一、探究結(jié)論

探究1求|x+4|的最小值，顯然，當(dāng)x=-4時(shí)，最小值為0。將探究1中的一個(gè)點(diǎn)改為三個(gè)點(diǎn)變?yōu)椋?/p>

探究2求|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值。

由絕對(duì)值的幾何意義可知：該題本質(zhì)就是在數(shù)軸上求一點(diǎn)x，使該點(diǎn)到-4、-1、2三數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和最小。如圖：

由圖形可知，-1的左邊和-1的右邊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-4、-1、2三數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和均大于2-（-4）=6，而-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4、-1、2三數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和均等于6。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值為6，此時(shí)，x=-1。

將探究3中的三個(gè)點(diǎn)改為五個(gè)點(diǎn)變?yōu)椋禾骄?求|x+4|+|x+3|+|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由絕對(duì)值的幾何意義可知：該題本質(zhì)就是在數(shù)軸上求一點(diǎn)x，使該點(diǎn)到-4、-3、-1、1、2五數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和最小。如圖：

由圖形可知，-1的左邊和-1的右邊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-4、-3、-1、1、2五數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和均大于2-（-4）{1-（-3）=10，而-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4、-3、-1、1、2三數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和均等于10。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值為10，此時(shí)，x=-1。

結(jié)論1：由探究1、探究2、探究3可知：在數(shù)軸上有奇數(shù)個(gè)間隔相等的點(diǎn)，在其上找一點(diǎn)x，使得這一點(diǎn)到這些點(diǎn)的距離和最小，這點(diǎn)就是這些點(diǎn)中間的那個(gè)點(diǎn)（這些點(diǎn)要由小到大排列），其最小值為最左邊的點(diǎn)與最右邊的點(diǎn)的距離、最左邊的第二點(diǎn)與最右邊的第二點(diǎn)的距離、……所有這些距離之和。將奇數(shù)個(gè)點(diǎn)改為偶數(shù)個(gè)點(diǎn)繼續(xù)探究。

探究4求：|x+4|+|x-2|的最小值

由絕對(duì)值的幾何意義可知：該題本質(zhì)就是在數(shù)軸上求一點(diǎn)x，使該點(diǎn)到-4與2兩數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和最小。如圖：

顯然，-4的左邊，2的右邊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-4與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和均大于2-（-4）=6，而-4與2之間（包含一4和2）的任一數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和均等于6。所以，|x+4|+|x-24|的最小值為6。此時(shí)，-4≤x≤2。將上題中的兩個(gè)點(diǎn)改為四個(gè)點(diǎn)變?yōu)椋?/p>

探究5求：|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由絕對(duì)值的幾何意義可知：該題本質(zhì)就是在數(shù)軸上求一點(diǎn)x，使該點(diǎn)到-4、-2、1、2四數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和最小。如圖

由圖形可知，-2的左邊，1的右邊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-4、-2、1、2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和均大于2-（-4）+1-（-2）=9，而-2與1之間（包含-2和1）的任一數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4、-2、1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和均等于9。所以，|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值為9，此時(shí)，-2≤x≤l.

結(jié)論2由探究3和探究4可知：在數(shù)軸上有偶數(shù)個(gè)間隔相等的點(diǎn)，在其上找一點(diǎn)x，使得這一點(diǎn)到這些點(diǎn)的距離和最小，這點(diǎn)在這些點(diǎn)的中間兩個(gè)點(diǎn)之間（包含兩個(gè)端點(diǎn)）（這些點(diǎn)要由小到大排列），其最小值為最左邊的點(diǎn)與最右邊的點(diǎn)的距離、最左邊的第二點(diǎn)與最右邊的第二點(diǎn)的距離、……所有這些距離之和。

二、實(shí)際應(yīng)用

問(wèn)題1在同一家公司上班的阿偉、阿明、阿紅住在A、B、C三個(gè)小區(qū)，如圖所示

A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且AB=100m，BC=200m，為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，他們打算合乘一輛車(chē)去上班，為使三個(gè)人步行到汽車(chē)的路程之和最小，請(qǐng)問(wèn)汽車(chē)應(yīng)?？吭谶@條直線上的何處？此時(shí)，三個(gè)人步行的最短路程是多少？

此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，顯然，由結(jié)論1可知，汽車(chē)應(yīng)停在點(diǎn)B處，三個(gè)人步行的最短路程是200+300=500（m）。

問(wèn)題2如圖所示：甲、乙、丙、丁四個(gè)小區(qū)在同一條直線上，為了響應(yīng)國(guó)家全民

健身的號(hào)召，四個(gè)小區(qū)的老年人準(zhǔn)備一起編排大型舞蹈，各小區(qū)參加編排的老年人分別是：甲區(qū)有600人，乙區(qū)有520人，丙區(qū)有500人，丁區(qū)有394人，為了方便老年人行走，使他們所走的總路程之和最小，請(qǐng)問(wèn)他們的編排場(chǎng)所應(yīng)設(shè)在這條直線的何處？

此問(wèn)題不能簡(jiǎn)單地把甲、乙、丙、丁四個(gè)小區(qū)看作四個(gè)點(diǎn)，然后利用結(jié)論2把編排場(chǎng)所設(shè)在乙丙之間（含乙丙），這是因?yàn)槊總€(gè)小區(qū)人數(shù)不等，可這樣去思考，甲區(qū)的600人相當(dāng)于600個(gè)相等的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，同樣，乙、丙、丁分別相當(dāng)于520個(gè)、500個(gè)、394個(gè)相等的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這樣共有2014個(gè)點(diǎn)，此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到這2014個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和最小，由結(jié)論2可知編排場(chǎng)所應(yīng)設(shè)在第1007和第1008之間（含這兩個(gè)點(diǎn)），而第1007和第1008在乙小區(qū)，所以編排場(chǎng)所應(yīng)設(shè)在乙小區(qū)。

后記：通過(guò)以上問(wèn)題探討，我們平時(shí)應(yīng)善于總結(jié)規(guī)律，然后再利用這些規(guī)律去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，即數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們覺(jué)得數(shù)學(xué)有用、可用、好用，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本所在。