俞禮軍 楊燦杰

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州510640)

交通擁堵是快速發(fā)展的大城市交通亟待解決的問題，交通分配是設(shè)計(jì)交通擁堵問題解決方案的理論基礎(chǔ).從對(duì)路段行程時(shí)間的特性，以及駕駛?cè)藢?duì)路段行程時(shí)間的認(rèn)知這兩個(gè)方面的假設(shè)出發(fā)，可將交通分配模型分為4 種類型:其中確定性路網(wǎng)的確定性用戶均衡［1］(DN-DUE)與確定性路網(wǎng)的隨機(jī)用戶均衡(DN-SUE)模型相對(duì)比較簡(jiǎn)單，在30年前已經(jīng)有比較成熟的研究成果［2］. 隨機(jī)路網(wǎng)的確定性用戶均衡(SN-DUE)與隨機(jī)路網(wǎng)的隨機(jī)用戶均衡(SNSUE)模型與算法研究則較滯后. 一般認(rèn)為，隨機(jī)路網(wǎng)條件下的交通分配更加接近實(shí)際路網(wǎng)的特征，因而對(duì)于交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與交通擁堵解決具有重要的應(yīng)用價(jià)值和理論價(jià)值. 文中期望基于新近發(fā)展起來的新隨機(jī)用戶均衡模型以等價(jià)負(fù)效用最小化為路徑選擇準(zhǔn)則反映駕車出行者的路徑選擇行為，嘗試研究風(fēng)險(xiǎn)傾向出行者與路段交通擁堵的關(guān)系.

自20 世紀(jì)80年代以來，國外學(xué)者就已經(jīng)對(duì)隨機(jī)路網(wǎng)的均衡分配問題進(jìn)行了理論研究. Soroush［3］首次基于負(fù)效用函數(shù)給出一個(gè)簡(jiǎn)單的SN-DUE 模型對(duì)應(yīng)的非線性互補(bǔ)問題解析表達(dá)式. Mirchandani等［4］采用風(fēng)險(xiǎn)傾向來描述出行時(shí)間與出行時(shí)間變異性對(duì)于出行者在路徑選擇決策中的作用，并首次將路網(wǎng)的不確定性與出行者的感知誤差引入路徑選擇模型，得到了SN-SUE 模型. Tatineni 等［5］定義風(fēng)險(xiǎn)為出行時(shí)間的隨機(jī)性，根據(jù)出行者風(fēng)險(xiǎn)傾向?qū)⒊鲂姓叻譃? 類:風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)愛好、風(fēng)險(xiǎn)中立.風(fēng)險(xiǎn)一詞在這里指的是推遲到達(dá)目的地的成本或代價(jià)的不確定性.對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)愛好型駕車出行者，他(她)會(huì)選擇行程時(shí)間短，但行程時(shí)間變異性大的路徑.風(fēng)險(xiǎn)中立型駕駛?cè)藙t不會(huì)把行程時(shí)間變異性考慮到他/她的路徑選擇決策中去. Tatineni 等研究發(fā)現(xiàn)，相同路網(wǎng)與特定起迄點(diǎn)之下，確定型與隨機(jī)型兩類模型分配得到的路段交通量上的差異對(duì)于遠(yuǎn)期交通規(guī)劃預(yù)測(cè)沒有明顯差別，但兩種模型分配的交通量對(duì)于短期交通流管理，尤其是對(duì)于使用導(dǎo)航系統(tǒng)出行交通流的預(yù)測(cè)差別十分顯著.Chen 等［1］延續(xù)之前學(xué)者的研究，認(rèn)為駕車出行者在做路徑選擇決策時(shí)，出行時(shí)間的變異性(不確定性)是一種風(fēng)險(xiǎn)(出行成本)，部分出行者愿意為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)而付出額外成本. 大量關(guān)于SN-DUE 與SN-SUE 的研究有一個(gè)共同的特點(diǎn):均假定路段行程時(shí)間(或其通行能力)服從某種隨機(jī)分布形態(tài). 這樣的SN 交通分配模型的計(jì)算十分復(fù)雜，難以被廣大從業(yè)人員理解、應(yīng)用.Cheu 等［6］針對(duì)上述缺陷，在對(duì)路段行程時(shí)間的隨機(jī)分布形態(tài)不做任何假設(shè)的條件下，導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)單的等價(jià)路段負(fù)效用(Simpler ELD)函數(shù)，加入該函數(shù)后的SNDUE 模型可以轉(zhuǎn)化為DN-DUE 模型，從而用傳統(tǒng)的用戶均衡求解方法實(shí)現(xiàn)交通分配，這是一個(gè)新的思路.上述代表性學(xué)者在SN-DUE 與SN-SUE 方面做了開拓性研究.

Cheu 等［6］提出的方法實(shí)現(xiàn)了用傳統(tǒng)的用戶均衡求解方法處理SN-DUE 的交通分配. 筆者將文獻(xiàn)［6］思路推廣到更為一般的SN-SUE 情況，即基于具有一般代表性的Weibull 型隨機(jī)用戶均衡模型開展隨機(jī)路網(wǎng)中有風(fēng)險(xiǎn)傾向的駕車出行者的路徑選擇與交通分配研究，并分析風(fēng)險(xiǎn)傾向與路段交通擁擠現(xiàn)象之間的關(guān)系.

有必要指出的是，雖然Castillo 等［8］提出并研究了Weibull 型隨機(jī)用戶均衡模型，但并未探討交通分配實(shí)現(xiàn)的算法，文中就此提出了效用最小化作為路徑選擇準(zhǔn)則的SN-Weibull SUE 模型中的實(shí)現(xiàn)算法.此外，還首次研究了典型SN-SUE 模型框架下風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)等參數(shù)與路段流量之間的敏感性. 還需要說明的是，目前國際上實(shí)證、一般理論研究中多假定出行者的出行風(fēng)險(xiǎn)傾向?qū)儆陲L(fēng)險(xiǎn)中立或規(guī)避型［1、6-7］，這種假設(shè)和筆者在部分城市調(diào)查的實(shí)際情況不符.筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，整體駕車者屬于風(fēng)險(xiǎn)愛好傾向(此結(jié)果可能與我國的懲罰制度有關(guān)). 因此文中的算例研究中采用風(fēng)險(xiǎn)愛好型的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，駕車者整體的風(fēng)險(xiǎn)愛好傾向能夠部分解釋一些路段的擁擠加劇現(xiàn)象，由此可從機(jī)理上得到我國城市交通擁擠加劇現(xiàn)象的一個(gè)新的解釋.

1 模型

考慮網(wǎng)絡(luò)G=(N，A)，其中N 是節(jié)點(diǎn)集，A 是有向路段集.令a 為一路段，a∈A.對(duì)整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)做以下假設(shè):(1)網(wǎng)絡(luò)是強(qiáng)連通的;(2)路段阻抗函數(shù)是關(guān)于路段流量的連續(xù)可微的嚴(yán)格增函數(shù)并且只取正值.

1.1 路段阻抗與負(fù)效用函數(shù)

DN-DUE 與DN-SUE 根據(jù)路段阻抗函數(shù)求解;SN-DUE 與SN-SUE 基于路段負(fù)效用函數(shù)求解［1］.

1)路段阻抗函數(shù)

路段出行時(shí)間采用美國公路局開發(fā)的路段阻抗公式BPR 路阻函數(shù)，其形式為

2)路段負(fù)效用函數(shù)

文獻(xiàn)［1、3-4］中慣用的描述隨機(jī)路網(wǎng)中風(fēng)險(xiǎn)偏好駕車出行者的路段負(fù)效用函數(shù)為

式中，DUa為路段a 的負(fù)效用，b、φ 均為正的常數(shù)，ta為路段行程時(shí)間.

針對(duì)式(2)可得簡(jiǎn)化的等價(jià)路段負(fù)效用函數(shù)為［6］:

由文獻(xiàn)［6］知，φ ＞1 表示風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型出行者，φ=1 表示風(fēng)險(xiǎn)中立型出行者，φ ＜1 表示風(fēng)險(xiǎn)愛好型出行者. 式(3)類似于BPR 函數(shù)，對(duì)于使用BPR 形式阻抗函數(shù)隨機(jī)路網(wǎng)的交通分配問題，它不僅免除了對(duì)路段行程時(shí)間概率分布假設(shè)，還簡(jiǎn)化了計(jì)算的復(fù)雜度.

1.2 隨機(jī)路網(wǎng)Weibull-SUE 模型

設(shè)某OD 點(diǎn)對(duì)w，w∈W 之間每個(gè)出行者選擇他期望路徑負(fù)效用最小的路徑為路徑k 的實(shí)際時(shí)間(阻抗)，εk為隨機(jī)變量. 在通常使用的BPR 路段阻抗函數(shù)中用φα 的值直接替換BPR 函數(shù)中的參數(shù)α 得到BPR 形式的等價(jià)路段負(fù)效用函數(shù)，令為路徑k 與l 的路徑負(fù)效用，路徑k 的選擇概率為，k∈Rw.其中，Pr(·)表示求概率. 假定服從獨(dú)立Weibull 分布［8］，即，其中ξw為位置參數(shù)，為尺度參數(shù)，ηw為形狀參數(shù)，可得隨機(jī)路網(wǎng)中路徑選擇概率公式:

從形式上看，隨機(jī)路網(wǎng)Logit 選擇概率模型是式(4)的特例，因而隨機(jī)路網(wǎng)Weibull 型隨機(jī)用戶均衡模型更具有一般性.

設(shè)OD 點(diǎn)對(duì)w，w ∈W 之間的交通需求為qw，基于Weibull-SUE 模型得到的路段流量為xa=式中為0 -1 變量，若OD 對(duì)間的路段a 在路徑k 上，則取1;反之，取0.若可得則Weibull-SUE 模型存在且有唯一的不動(dòng)點(diǎn)［9］.由文獻(xiàn)［8］知，在上述條件下Logit-SUE 與Weibull-SUE 是等價(jià)的. 應(yīng)用DN-SUE 算法，即完成SN-SUE 模型的求解.

2 隨機(jī)路網(wǎng)交通分配算法與敏感性分析

2.1 隨機(jī)路網(wǎng)Weibull-SUE 交通量分配算法

只要算法設(shè)計(jì)得當(dāng)，則隨機(jī)路網(wǎng)Weibull-SUE模型解存在、唯一的結(jié)論保證能夠找到原問題的解.文中提出如下組合迭代算法求解隨機(jī)路網(wǎng)Weibull-SUE 模型.具體算法步驟為:

步驟1 初始化.給定每一OD 對(duì)w 的出行需求量qw、每一路段的BPR 形式負(fù)效用函數(shù)及對(duì)應(yīng)的參數(shù)αa(αa=φαa隨機(jī)路網(wǎng)考慮風(fēng)險(xiǎn))、βa和;給定關(guān)聯(lián)矩陣(若OD 對(duì)w 的路徑k 包含路段a，則=1，否則為0);給定松弛系數(shù)ρ(可取0.2)，0 ＜ρ ＜1(其取值類似于線性方程組的低松弛迭代)、容許誤差ε、最大迭代次數(shù)itermax.確定每一OD 對(duì)w 對(duì)應(yīng)的Weibull 分布的位置參數(shù)以及形狀參數(shù)［10］ηw，給定每一個(gè)路段初始交通量xa，令iter=0.

步驟2 負(fù)效用函數(shù)的計(jì)算.基于xa計(jì)算路段負(fù)效用ta，置迭代次數(shù)iter=iter+1，令

步驟3 路徑選擇概率的計(jì)算.由路段阻抗ta及關(guān) 聯(lián) 矩 陣， 根 據(jù) 求 得 的 路 徑 負(fù) 效 用基于，由得到對(duì)應(yīng)于每條路徑的尺度參數(shù)的估計(jì)值，由算得OD對(duì)w 間路徑k 的選擇概率.

步驟6 路段交通量組合松弛迭代計(jì)算.根據(jù)已有的交通量xa和步驟4 分配的交通量x′a，對(duì)路段交通量進(jìn)行更新:xa=(1-ρ)xa+ρx′a(a∈A).轉(zhuǎn)步驟2.

步驟7 結(jié)果輸出.如果≤ε，iter≤itermax，輸出路段交通量xa和路徑阻抗及其選擇概率;否則，停止運(yùn)算，輸出迭代itermax次后未收斂的警告.

文中模型及算法適用于一般網(wǎng)絡(luò).

2.2 參數(shù)的敏感性分析

根據(jù)前述分配算法，聯(lián)立BPR 形式的負(fù)效用函數(shù)、路徑選擇概率算式、路段交通量計(jì)算式，可得計(jì)算路段交通量的一般表達(dá)式為

由式(13)可以直接得敏感性分析表達(dá)式［11］.令表示g(·)中除去xa、之外的變量與參數(shù).由xa=g(xa，，ψ)可得路段流量對(duì)于參數(shù)的敏感性分析算式進(jìn)一步處理可得在通常情況下，計(jì)算、使用無量綱的相對(duì)比值將其用于相對(duì)敏感度分析并做橫向比較更為便利.

3 算例

采用Maher 等［12］所用的路網(wǎng)作為測(cè)試路網(wǎng)，具體如圖1 所示.該路網(wǎng)一共有9個(gè)節(jié)點(diǎn)和24個(gè)單向路段，路網(wǎng)中共有4個(gè)出行OD 對(duì)，起-訖點(diǎn)分別是1 -5、5 -1、3 -7、7 -3. 數(shù)值模擬中使用BPR 形式路段費(fèi)用函數(shù)，αa=1，βa=4，a∈A.每個(gè)路段自由流條件下的時(shí)間(阻抗)、通行能力與風(fēng)險(xiǎn)傾向的系數(shù)φαa如表1 所示，其中，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)由調(diào)查得到，φ =0.5476.出行需求量、出行路徑如表2 所示.

圖1 測(cè)試路網(wǎng)Fig.1 An example network

表1 路網(wǎng)特性參數(shù)Table 1 Parameters of the example network

續(xù)表1

表1 風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)φ 獲得方法如下［6］:假設(shè)在一個(gè)OD 對(duì)之間只連接著兩條平行的路段1 與2，假定路段1 的行程時(shí)間為常數(shù)t1，路段2 行程時(shí)間的最小值和平均值分別為和.在人為給定值和值之后，讓駕車出行者指定一個(gè)使其對(duì)兩條路段具有相同負(fù)效用的t1值，把調(diào)查數(shù)據(jù)代入式(3)可以得到每一個(gè)出行者的φ 值.

Logit-SUE 模型參數(shù)θw均取0. 195，Weibull-SUE 模型參數(shù)ηw分別取3.5、2.45、1.75、2.45，ξw分別取40、45、50、45，w 為表2 的OD 對(duì).θw、ηw的取值是為了使得確定型路網(wǎng)中Weibull-SUE 模型和經(jīng)典的Logit-SUE 有基本相似的分配結(jié)果. 根據(jù)前述算法，基于不考慮風(fēng)險(xiǎn)的BPR 函數(shù)和考慮風(fēng)險(xiǎn)的路段負(fù)效用函數(shù)分別應(yīng)用獨(dú)立Gumbel 分布和獨(dú)立Weibull 分布SUE 模型編程求解得到的路段交通量結(jié)果如表3 所示.

路段交通量xa關(guān)于參數(shù)的敏感度計(jì)算結(jié)果如表4 所示. 由于它們的數(shù)目比較多，從中選取一部分來進(jìn)行說明，表4 中第1 列為需要計(jì)算敏感度的參數(shù)，以后各列為對(duì)應(yīng)路段的敏感度的絕對(duì)值，敏感度的相對(duì)值使用括弧表明，并寫在相應(yīng)值的正下方.敏感度值越大，其對(duì)路段交通量的影響也就越大. 以下參數(shù)αa的數(shù)值等于φαa，后面針對(duì)φ 的敏感性分析均用αa表示.

1)路段19 與路段8、15 不同在一個(gè)路徑上，無相互作用，因而路段8、15 交通量對(duì)路段19 的參數(shù)α19的敏感度值為0.路段19 的參數(shù)α19增加則其交通量減少，故路段19 交通量對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)阻抗參數(shù)α19的敏感度值小于0. 路段5、20 與路段19 有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，路段19 參數(shù)α19增加，則路段5、20 流量增加，對(duì)應(yīng)的敏感度值大于0. 路段19 與路段2、16 在同一路徑上，若路段19 參數(shù)α19增加，則路段2、19、16 的

流量均減少，即相應(yīng)的敏感度小于0. 另外，對(duì)于冒險(xiǎn)性的駕駛者而言，若假定其他因素不變化，則意味著α19(因風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)小于1)減少，故對(duì)應(yīng)的路段5、20交通量減少.

表2 出行路徑與OD 需求量Table 2 Flows of OD-pairs and paths in the example network

表3 SUE 模型路段交通量的比較1)Table 3 Comparison of link flows resulting from different SUE models

表4 敏感度分析表Table 4 Sensitivities analysis table

2)表中數(shù)據(jù)較多，僅以位置參數(shù)ξ3為例說明.ξ3是第3個(gè)OD 對(duì)間所有路徑自由流條件下的最小阻抗.路段2、5、16、19、20 由于不包含在第3個(gè)OD對(duì)間的任一路徑上，故其交通量的敏感度為0;而由于路段8、15 包含在其路徑上，故其對(duì)應(yīng)的交通量敏感度值不為0. 類似的可以就特定路段交通量關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的敏感性展開分析，此處不再贅述.

4 結(jié)論

結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)偏好型出行者的等價(jià)路段負(fù)效用函數(shù)與Weibull 隨機(jī)用戶均衡構(gòu)建隨機(jī)路網(wǎng)Weibull 隨機(jī)用戶均衡模型，文中將SN-DUE 推廣到更為一般的SN-SUE 情況并設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)模型的求解算法，基于測(cè)試算例，得到如下研究結(jié)論:

1)若組合系數(shù)選擇合適，組合迭代算法能夠有效用于SN-Weibull SUE 模型且計(jì)算效果理想;

2)路段交通量對(duì)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的敏感度分析表明，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)對(duì)于部分路段的交通量有顯著的影響. 風(fēng)險(xiǎn)偏好駕車出行者會(huì)加劇某些路段的交通擁堵，基于隨機(jī)路網(wǎng)中風(fēng)險(xiǎn)愛好出行者的交通分配能夠解釋部分路段交通擁擠加劇的現(xiàn)象;

3)基于算例可知，確定型路網(wǎng)與隨機(jī)路網(wǎng)條件下Logit-SUE 模型、Weibull-SUE 模型針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中立，風(fēng)險(xiǎn)愛好出行者的交通分配結(jié)果有差異，隨機(jī)路網(wǎng)中風(fēng)險(xiǎn)愛好傾向的駕車出行者使得路網(wǎng)總的行走時(shí)間增加.一定條件下的Logit-SUE 模型、Weibull-SUE模型的分配結(jié)果差異不顯著，這和文獻(xiàn)［8］結(jié)論一致;

4)將風(fēng)險(xiǎn)偏好融合到BPR 形式負(fù)效用函數(shù)中，免除了對(duì)路段行程時(shí)間概率分布的假設(shè)，還簡(jiǎn)化了計(jì)算的復(fù)雜度，可以幫助運(yùn)輸系統(tǒng)建模者實(shí)現(xiàn)隨機(jī)路網(wǎng)中對(duì)應(yīng)的隨機(jī)均衡交通分配，協(xié)助分析交通規(guī)劃、管理問題.

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