劉 琦 邰能靈 范春菊 于仲安 尚

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同塔四回不對(duì)稱參數(shù)線路的相模變換

劉 琦1邰能靈1范春菊1于仲安2尚1

（1. 上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院 上海 200240 2. 江西理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 贛州 341000）

同塔多回線中線路自阻抗的不對(duì)稱增大了矩陣解耦的難度，參數(shù)不對(duì)稱同塔四回線為電力系統(tǒng)的故障分析帶來新的挑戰(zhàn)。在對(duì)以往同塔多回線相模變換進(jìn)行大量研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)同塔四回線相模變換的特點(diǎn)，提出了基于線相解耦法的相模變換與基于相線解耦法的相模變換，這兩種解耦方式對(duì)參數(shù)不對(duì)稱的同塔四回線進(jìn)行解耦。從變換矩陣的特性探索了這兩種相模變換所表現(xiàn)的物理意義，從數(shù)學(xué)角度分析了相模變換解耦過程的順序性與可逆性，并且從相模變換的數(shù)學(xué)方程與物理意義討論了相模變換的適用性，對(duì)相模變換矩陣進(jìn)行了推廣應(yīng)用。仿真結(jié)果表明此方法能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算線路的故障電流，并能很好地適用于不對(duì)稱線路的故障分析。

同塔四回線 不對(duì)稱線路 相模變換 解耦 矩陣變換

0 引言

同塔四回線是指在同一桿塔上架設(shè)四回線路，該四回線路可以是同一電壓等級(jí)，也可是不同的電壓等級(jí)。采用同塔四回線輸電可有效地解決輸電走廊面臨的土地資源問題，并能顯著提升輸電容量[1]。隨著節(jié)約型社會(huì)的不斷推進(jìn)和電網(wǎng)建設(shè)的突飛猛進(jìn)，輸電走廊的征地和建設(shè)費(fèi)用所占比例越來越高，電網(wǎng)輸電線路的傳輸功率也越來越大，國內(nèi)同塔四回線桿塔的比例也日益提升，自阻抗參數(shù)不完全一致的同塔四回線的比例也逐漸提升。

電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的耦合將影響故障電流的計(jì)算，不利于電力系統(tǒng)的故障分析。輸電線路的相模變換（如對(duì)稱分量法）能消去系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程中的互感耦合，得到不含耦合的序分量或模分量，便于故障電流的計(jì)算，序分量電壓、電流的故障特性使系統(tǒng)的故障分析更方便，并在電力系統(tǒng)繼電保護(hù)中得到了廣泛應(yīng)用[2-11]。文獻(xiàn)[12]提出了一種新的單回線相模變換矩陣，使單一模量能反映所有類型的故障。文獻(xiàn)[13]提出了一種同塔多回線的序網(wǎng)參數(shù)修正方法，為同塔多回線的序網(wǎng)結(jié)構(gòu)和故障短路電流計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

隨著同塔多回線的不斷發(fā)展，同塔雙回線的故障分析與相模變換已得到廣泛的研究與應(yīng)用，但同塔四回線的研究相對(duì)較少。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于正序、負(fù)序和零序的復(fù)合序網(wǎng)法，解決同塔雙回線的短路故障。文獻(xiàn)[15-17]采用相分量法分析雙回線的故障。文獻(xiàn)[18]提出了多端口理論解決線路中的多重故障，但簡(jiǎn)單故障時(shí)的計(jì)算較為復(fù)雜繁瑣。文獻(xiàn)[19]提出了一種跨電壓等級(jí)四回線的故障計(jì)算方法，但零序分量未完全解耦，序網(wǎng)圖繪制復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性。

本文針對(duì)線路自阻抗矩陣不一致的同塔四回線模型（簡(jiǎn)稱不對(duì)稱同塔四回線），對(duì)傳統(tǒng)的對(duì)稱同塔多回線的相模變換進(jìn)行了研究，探索了不對(duì)稱同塔四回線的相模變換方式，并研究了基于線相解耦的相模變換與基于相線解耦的相模變換兩種解耦方式的區(qū)別及優(yōu)缺點(diǎn)。分別從物理意義和數(shù)學(xué)分析的角度闡釋了相模變換的本質(zhì)與充要性，根據(jù)相模變換的數(shù)學(xué)方程與物理意義提出相模變換的適用性，對(duì)相模變換矩陣進(jìn)行了推廣，并利用文中所述的解耦方法進(jìn)行了故障短路電流的仿真。

1 不對(duì)稱參數(shù)的四回線的線路參數(shù)特點(diǎn)

12序分量法對(duì)線間耦合阻抗的考慮過于理想化[20-22]，在實(shí)際模型中，因?yàn)榭臻g位置與線間距離的差異，各回線間的互阻抗是不可能完全相等的。文獻(xiàn)[23]采用更接近實(shí)際的線路阻抗模型解決上述問題，提出12序分量擴(kuò)展法實(shí)現(xiàn)了對(duì)稱同塔四回線的阻抗解耦與故障分析，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)驗(yàn)證。不對(duì)稱同塔四回線路則是在接近實(shí)際線路阻抗模型的基礎(chǔ)上，考慮線路自阻抗不完全一致的情況，因此阻抗矩陣的解耦更為復(fù)雜與繁瑣。

圖1 不對(duì)稱參數(shù)同塔四回線的線間互阻抗

由于桿塔結(jié)構(gòu)存在一定的左右對(duì)稱性，考慮線路互阻抗與空間距離的關(guān)系，圖1結(jié)構(gòu)中存在以下關(guān)系：Ⅰ、Ⅲ回線間的線間互阻抗和Ⅱ、Ⅳ回線間的線間互阻抗相同；Ⅰ、Ⅳ回線間的線間互阻抗和Ⅱ、Ⅲ回線間的線間互阻抗相同；而Ⅰ、Ⅱ回線之間的線間互阻抗和Ⅲ、Ⅳ回線間的線間互阻抗不同。

不對(duì)稱參數(shù)的同塔四回線電壓-電流關(guān)系為

式中

12序分量擴(kuò)展法雖然能夠完全解耦對(duì)稱同塔四回線，但對(duì)式（1）進(jìn)行相似變換后得到的矩陣并非對(duì)角矩陣，解耦后阻抗矩陣的非對(duì)角線元素中，存在3類非零元素，其表達(dá)式為

2 不對(duì)稱同塔四回線的解耦方法

2.1 基于線相解耦法的解耦方法

傳統(tǒng)的雙回線和四回線相模變換均遵循先進(jìn)行線間解耦，再進(jìn)行相間解耦的方式實(shí)現(xiàn)多回線路的相模變換，這里統(tǒng)稱為線相解耦法。對(duì)于不對(duì)稱四回線路，也遵循同樣原則，即使用線相解耦法進(jìn)行解耦。對(duì)式（1），選擇相似矩陣

式中

線路結(jié)構(gòu)確定，可得到式（1）所示的線路矩陣，再計(jì)算式（3）的不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)。引入不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)，可較好地反映線路的空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。若線路完全對(duì)稱，則和的值為1；線路的不對(duì)稱度越大，和值越遠(yuǎn)離1。

式（1）經(jīng)過式（2）的相似變換后，得到分塊對(duì)角矩陣，此時(shí)各回線分量已完成了線間解耦，解耦后的各回線均與其他回線相互獨(dú)立，因此只需再完成回線內(nèi)三相線路的解耦，即可完成不對(duì)稱四回線的完全解耦。變換后的分塊對(duì)角陣中，每一個(gè)小的分塊矩陣均與單回線的阻抗矩陣類似，因此可以選擇相似矩陣

式中，矩陣表示單回三相線路解耦所使用的各種變換矩陣，如對(duì)稱分量法的復(fù)數(shù)矩陣、卡倫鮑爾變換矩陣或克拉克變換矩陣等。經(jīng)變換后得到

式中

線相解耦法采用先進(jìn)行線間解耦，再進(jìn)行相間解耦的方式實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱參數(shù)四回線的解耦。其中，線間解耦矩陣為矩陣，相間解耦矩陣為矩陣。由式（2）可知，線間解耦變換矩陣的物理意義沒有12序分量擴(kuò)展法明顯。在不對(duì)稱線路中，Ⅰ回線的每個(gè)分量與Ⅲ回線和Ⅵ回線中的所有分量均相關(guān)，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ回線也有類似情況。若將矩陣等效為對(duì)稱分量法的復(fù)數(shù)矩陣，則經(jīng)過相模變換后得到的各序分量中，Ⅰ回線的每個(gè)分量與Ⅲ回線和Ⅳ回線中的零序分量有關(guān)，而與Ⅲ回線和Ⅳ回線的正序分量和負(fù)序分量無關(guān)。由此可見，先進(jìn)行線間解耦再進(jìn)行相間解耦，會(huì)使矩陣物理意義變?nèi)?，且必須依賴矩陣才能更好地解釋變換矩陣所表達(dá)的物理意義，降低了線間解耦變換和相間解耦變換物理意義的獨(dú)立性。

2.2 基于相線解耦法的解耦

2.1節(jié)提出用線相解耦法進(jìn)行不對(duì)稱參數(shù)四回線的解耦，考慮變換矩陣的特殊性及矩陣乘法原則，可調(diào)整相模變換中解耦的順序。即先進(jìn)行各回線內(nèi)的相間解耦，再進(jìn)行線間解耦，從解耦角度同樣能夠?qū)崿F(xiàn)四回線的完全解耦[24]，這里稱之為相線解耦法。

對(duì)式（1）選擇相似矩陣，其表達(dá)式如式（4）所示。變換后的阻抗矩陣為

至此已完成各回線內(nèi)部的相間解耦，再進(jìn)行線間解耦，即可實(shí)現(xiàn)矩陣的完全解耦。由式（6）可知，線間耦合量均集中在零序分量中，正序分量與負(fù)序分量已實(shí)現(xiàn)完全解耦。

由式（4）和式（7）可得到相線解耦法的綜合變換式

由式（8）和式（9）可知，相線解耦法采用的變換矩陣與12序分量擴(kuò)展法的變換矩陣略有區(qū)別，即矩陣中線間互感位置所對(duì)應(yīng)的元素不同。在12序分量擴(kuò)展法的變換矩陣中，3階分塊方陣都是由單位矩陣構(gòu)成，而相線解耦法則由矩陣構(gòu)成，非零元素只集中在第一列且與線路的不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)直接相關(guān)。

對(duì)于正序分量和負(fù)序分量，e分量和f分量分別為Ⅰ回線與Ⅱ回線的同向分量與反向分量，g分量和h分量分別為Ⅲ回線和Ⅳ回線的同向分量和反向分量。零序分量與每回線均相關(guān)，e分量為四回線線間的同向分量，f分量、g分量和h分量為四回線線間的環(huán)流量。

相線解耦法分解得到的零序分量如圖2所示。其中，e分量為四回線組間的同分量；f、g和h分量為四回線組間的環(huán)流量；和為不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)。若將同塔四回線進(jìn)行兩兩分組，即Ⅰ回線與Ⅱ回線一組，Ⅲ回線與Ⅳ回線為一組，則e分量為組間同向且組內(nèi)同向的分量組，f分量為組間同向但組內(nèi)反向的分量組，g分量為組間反向但組內(nèi)同向的分量組，h分量為組間反向且組內(nèi)反向的分量組。當(dāng)線路對(duì)稱時(shí)，可得到，此時(shí)同向分量和環(huán)流量將與12序分量擴(kuò)展法所對(duì)應(yīng)的同向分量與環(huán)流量基本一致。

圖2 基于相線解耦法的零序電流

3 解耦的數(shù)學(xué)分析與推廣

3.1 解耦法的數(shù)學(xué)解釋

對(duì)式（1）相模變換過程的本質(zhì)就是對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行對(duì)角化的過程。由數(shù)學(xué)分析可知，式（1）中的阻抗矩陣一定能對(duì)角化，因此必存在相似矩陣，使得阻抗矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)角化。其中，對(duì)角矩陣與原阻抗矩陣的特征值相對(duì)應(yīng)，相似矩陣由特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成。

結(jié)合同塔多回線的阻抗矩陣的特性，可將阻抗矩陣視為分塊矩陣，因此可將矩陣對(duì)角化的過程劃分為兩個(gè)階段?？紤]變換的可逆性與順序性，可得

式中，矩陣用于實(shí)現(xiàn)分塊矩陣內(nèi)部的對(duì)角化，即物理意義上的相間解耦，其表現(xiàn)形式如式（4）所示；矩陣與矩陣用于實(shí)現(xiàn)分塊矩陣間的對(duì)角化，即物理意義上的線間解耦矩陣，且矩陣為前置線間解耦矩陣，為后置線間解耦矩陣。因此，線相解耦法和相線解耦法解耦得到的序分量是一致的，但因前置線間解耦矩陣與后置線間解耦矩陣的不同，導(dǎo)致兩種方法解耦過程的物理意義發(fā)生變化。兩個(gè)線間解耦矩陣之間的關(guān)系為

對(duì)于同塔四回對(duì)稱線路，矩陣可分解為由3階單位矩陣構(gòu)成的12階分塊矩陣，考慮單位矩陣的特性，因此有

對(duì)于對(duì)稱線路，先進(jìn)行線間解耦再進(jìn)行相間解耦，與先進(jìn)行相間解耦再進(jìn)行線間解耦，在數(shù)學(xué)計(jì)算與物理意義上不存在任何區(qū)別，即線相解耦法和相線解耦法所使用的數(shù)學(xué)方程與所表達(dá)的物理意義完全一致。但對(duì)不對(duì)稱線路，由于線間解耦矩陣存在不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)，因此不能推導(dǎo)出式（12），從而導(dǎo)致前置解耦矩陣和后置解耦矩陣是兩個(gè)不同的矩陣。

3.2 相模變換的推廣

考慮相線解耦法的線間解耦矩陣物理意義較明顯，因此在相線解耦法的基礎(chǔ)上，引入廣義矩陣，用表示?？煞纸鉃?個(gè)矩陣。即

式中，矩陣為單回線內(nèi)部解耦因子，是由單回線變換矩陣構(gòu)成的對(duì)角陣；矩陣為線間對(duì)稱解耦因子；矩陣為線間不對(duì)稱修正因子，用于線間不對(duì)稱部分的解耦和修正分解后各序存在的耦合。由此可將對(duì)稱線路的變換矩陣與不對(duì)稱線路的變換矩陣統(tǒng)一表示。對(duì)于對(duì)稱線路，不需進(jìn)行不對(duì)稱修正，故為單位陣，在計(jì)算中不影響結(jié)果，在進(jìn)行對(duì)稱線路計(jì)算時(shí)可被忽略。同時(shí)，由于矩陣的特性，矩陣與矩陣的位置可互換，即可通過線相解耦法和相線解耦法解耦，且兩者的、矩陣均相同。

當(dāng)四回線均不對(duì)稱，線間將不存在任何線間對(duì)稱，所以矩陣將退化為單位陣，由矩陣負(fù)責(zé)完成線間的不對(duì)稱解耦，實(shí)現(xiàn)變換矩陣表現(xiàn)形式的統(tǒng)一。在解耦時(shí)，矩陣將四回線的阻抗矩陣變換成如式（6）的形式，然后提取出未解耦的零序分量，利用矩陣對(duì)4階矩陣進(jìn)行再次解耦。一方面使得解耦的過程具有良好的物理意義，同時(shí)簡(jiǎn)化不對(duì)稱參數(shù)四回線的解耦難度，從12階矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)?階矩陣的解耦。

線路的對(duì)稱與否由線路的表現(xiàn)形式?jīng)Q定，因此可認(rèn)為對(duì)稱線路是不對(duì)稱線路的一種特殊情況，并對(duì)線路按照不對(duì)稱線路的方式進(jìn)行解耦，則矩陣將退化為單位矩陣，線間耦合因子全部由矩陣負(fù)責(zé)解耦。此時(shí)可得到不對(duì)稱補(bǔ)償系數(shù)，零序分量的解耦方式與12序分量擴(kuò)展法一致，驗(yàn)證了對(duì)稱線路是不對(duì)稱線路的一種特殊情況。因此，相線解耦法不僅能夠解耦不對(duì)稱參數(shù)的同塔四回線，同時(shí)還可解耦對(duì)稱同塔四回線，實(shí)現(xiàn)對(duì)稱同塔四回線解耦的一個(gè)矩陣為

式中，矩陣1的表達(dá)式如式（9）所示，1表示第1列為1，其余元素為0的三階矩陣。

4 計(jì)算與仿真驗(yàn)證

4.1 故障計(jì)算

通過前文可計(jì)算適于不對(duì)稱線路的解耦矩陣，在發(fā)生線路故障時(shí)，可得到故障時(shí)的邊界條件，利用的逆矩陣可將邊界條件轉(zhuǎn)換為各解耦后的序分量之間的約束關(guān)系，從而構(gòu)建序分量間的綜合序網(wǎng)圖。如A相接地（IAG）故障，其故障邊界條件經(jīng)過的逆矩陣變換后得到

（16）

圖3 IAG故障時(shí)的綜合序網(wǎng)

4.2 系統(tǒng)模型與參數(shù)設(shè)定

本文采用PSCAD/EMTDC對(duì)不對(duì)稱解耦方法進(jìn)行仿真與驗(yàn)證。仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示，線路模型采用總長(zhǎng)為100km的TLine模型。TLine模型使用Frequency Dependent（Phase）Model進(jìn)行仿真，線路換相方式采用僅回線內(nèi)換相，各回線間不換相，其他參數(shù)參見附錄。桿塔空間結(jié)構(gòu)、導(dǎo)線模型等如附圖所示，PSCAD計(jì)算的單位線路阻抗矩陣見附表1和附表2所示。

圖4 不對(duì)稱參數(shù)同塔四回線路仿真模型

附圖 PSCAD輸電線路桿塔模型

附表1 輸電線路阻抗矩陣電阻部分

附表2 輸電線路阻抗矩陣感抗部分

4.3 仿真結(jié)果

在傳統(tǒng)多回線路故障仿真與計(jì)算中，當(dāng)線路發(fā)生短路故障時(shí)，均認(rèn)為故障為金屬性接地。在實(shí)際短路故障中，故障點(diǎn)處存在一定的過渡電阻，該過渡電阻將影響故障綜合序網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與序電流的大小，即影響故障時(shí)的各相故障電流。仿真時(shí)考慮了不同類型故障在不同接地電阻情況下的特點(diǎn)，金屬性故障的仿真結(jié)果見表1，有過渡電阻的故障仿真結(jié)果見表2。其中，羅馬字母Ⅰ、Ⅱ表示故障回線，英文字母A、B、C表示故障相，英文字母G表示接地故障，如IBCG表示Ⅰ回線B、C兩相接地故障。

表1 不同故障類型下的故障電流（Rg=0）

表2 不同故障類型下的故障電流（Rg=50W）

由表1可知，基于相線解耦法的不對(duì)稱參數(shù)四回線解耦方法能夠較好地實(shí)現(xiàn)故障分析，計(jì)算誤差較小。由表2可知，相線解耦法具有較好的故障過渡電阻處理能力，且故障時(shí)的相對(duì)誤差與金屬性短路故障的誤差接近。因此，相線解耦法能夠很好地用于不對(duì)稱線路的故障分析。

5 結(jié)論

本文基于不對(duì)稱同塔四回線的數(shù)學(xué)模型，對(duì)不對(duì)稱同塔四回線的相模變換進(jìn)行了研究，提出了相線解耦法的分解方式，推導(dǎo)了數(shù)學(xué)變換的充要條件，從數(shù)學(xué)和物理意義上闡述了相模變換的意義，對(duì)變換矩陣進(jìn)行了推廣，并研究了相模變換的適用性。分析表明，相線解耦法不僅能夠完全解耦不對(duì)稱線路，還適用于對(duì)稱線路的故障分析，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，便于分析。仿真結(jié)果表明，基于相線解耦法的不對(duì)稱參數(shù)四回線解耦方法不僅能夠較準(zhǔn)確地計(jì)算線路故障時(shí)的電流，而且很好地用于不對(duì)稱線路的故障分析。

附 錄

PSCAD的桿塔結(jié)構(gòu)如附圖所示。其中，C1～C3為第一回線；C4～C6為第二回線；C7～C9為第三回線；C10～C12為第四回線。桿塔的空間整個(gè)結(jié)構(gòu)與文章的圖2對(duì)應(yīng)。桿塔的導(dǎo)線使用PSCAD自帶的Chukar模型進(jìn)行仿真。通過設(shè)置桿塔的空間參數(shù)生成線路的阻抗矩陣，PSCAD輸出的線路阻抗矩陣見附表1和附表2。

PSCAD電源阻抗部分使用集中參數(shù)模型，電源電壓為230kV，M端電源的正序阻抗為j12W、零序阻抗為0.349 05+j19.996 95W，N端電源的正序阻抗為j10W、零序阻抗為0.261 79+j14.997 72W。

由附表1和附表2可知，Ⅰ、Ⅲ回線間的線間互阻抗和Ⅱ、Ⅳ回線間的線間互阻抗相同，而Ⅰ、Ⅱ回線間的線間互阻抗和Ⅲ、Ⅳ回線間的線間互阻抗不同，與文章中圖2的互阻抗的關(guān)系相對(duì)應(yīng)，進(jìn)而構(gòu)建出如式（1）的矩陣表達(dá)式。此時(shí)各回線內(nèi)互阻抗的不對(duì)稱度接近5%，有些達(dá)到10%。

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Phase-Mode Transformation of Asymmetry-Parameter Four-Parallel Lines on the Same Tower

11121

（1. Shanghai Jiaotong University Shanghai 200240 China 2. Jiangxi University of Science and Technology Ganzhou 341000 China）

Due to the asymmetrical self-impedance of the multi-circuit lines, it becomes much more difficult to decouple the network equation and brings new challenges for fault analysis with four-parallel lines on the same tower. According to the studies of existing phase-mode transformation and the characteristics of the four-parallel-line phase-mode transformation, two new decoupling methods are proposed to decouple the asymmetrical impedance matrix. One is to decouple the matrix with the original decouple steps, while the other uses the contrary order. The physical meanings of the two phase-mode transformations are discussed according to the characteristics of the transformation matrix, and their mathematical calculation is deduced to explore the sequentiality and the reversibility of the decouple steps. Applicability of the phase-mode transformations is explained according to their physical meanings and mathematical equations, and the phase-mode transformation form is also generalized. The simulation results indicate that the new method is suitable for the fault analysis involved in four-parallel lines with asymmetrical self-impedance.

Four-parallel lines on the same tower, asymmetry-parameter lines, phase-mode transformation, decoupling, matrix transformation

TM773

劉 琦 男，1987年生，博士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)保護(hù)與控制。

邰能靈 男，1972年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事電力系統(tǒng)保護(hù)與控制及電力市場(chǎng)方向的教學(xué)與研究工作。

2013-09-10 改稿日期 2014-01-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51177066、51377104）。