李清富 任高杰

（鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450001）

基于Mathcad的三維桁架有限元分析

李清富 任高杰

（鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450001）

利用Mathcad的計(jì)算優(yōu)勢(shì)與編程特點(diǎn)，根據(jù)普通桿件的單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w平衡方程，將Mathcad和有限元方法相結(jié)合，推導(dǎo)出任意形式的三維桁架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣在Mathcad中的表達(dá)形式；結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，求解出三維桁架的桿件內(nèi)力與支座反力，并與Midas Civil建模結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明：將Mathcad與有限元相結(jié)合，能夠在滿足工程精度要求下高效率地進(jìn)行三維桁架結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析。

Mathcad；有限元；三維桁架

Mathcad是一款工程計(jì)算軟件，它具有線性及非線性方程求解與優(yōu)化、常微分方程和偏微分方程求解、統(tǒng)計(jì)金融分析、信號(hào)和圖像處理等許多方面的功能，并且提供豐富的接口可以調(diào)用第三方軟件的功能，利于自行擴(kuò)展和利用別的軟件擴(kuò)展功能。

1　三維桁架單元總體剛度矩陣推導(dǎo)

圖1　局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系

首先假設(shè)在三維直角坐標(biāo)系中，桿件正好位于局部坐標(biāo)系Xˉ軸，如圖1所示。由于桿件兩端點(diǎn)存在//三個(gè)方向的位移μ/ν/ω和三個(gè)方向的力Fx/Fy/Fz。因此桿件的平衡方程可以寫(xiě)成式（1）所示的矩陣形式。當(dāng)X軸和桿的方向不一致時(shí)，如圖，此時(shí)需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在空間整體坐標(biāo)系中，任意向量（X，Y，Z）換算到局部坐標(biāo)系（）中的換算關(guān)系可以用式（2）表示。

其中，cos（x， y）表示局部坐標(biāo)系X2軸與整體坐標(biāo)系X軸夾角的余弦，其余依次類(lèi)推。為了書(shū)寫(xiě)方便，記

對(duì)于桿單元兩端點(diǎn)所受的力和兩端點(diǎn)位移可以通過(guò)相應(yīng)的矩陣形式得到，因?yàn)镃2是對(duì)稱(chēng)矩陣，CT=C-1，可得到三維桁架單元的整體平衡方程［2］，見(jiàn)式（3）：

2　實(shí)例分析

如圖2所示，有一機(jī)架由空間桁架桿組成，其桿件單元的橫截面積為15 cm2，由鋼制成（E=200GPa），用Mathcad進(jìn)行編程，求解各個(gè)桿件的內(nèi)力。

圖2　工程實(shí)例

具體求解過(guò)程如下：

2.1根據(jù)Top矩陣以及各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求出各桿件的單元?jiǎng)偠染仃?，如式?）所示：

2.2單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成總體剛度矩陣K，K的行列式為零，表明其不可逆，必須根據(jù)邊界條件對(duì)其修正［4］，修正后的總體剛度矩陣為Kmod。

2.3可見(jiàn)修正后的Kmod行列式不為零，利用修正后的總體剛度矩陣求解各節(jié)點(diǎn)位移，然后根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求解支座反力和桿件內(nèi)力，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1、表2。

表1　支座反力結(jié)果對(duì)比（單位：KN）

表2　桿件內(nèi)力結(jié)果對(duì)比（單位：KN）

2.4與Midas Civil建模結(jié)果進(jìn)行對(duì)比

為了校驗(yàn)以上編程求解結(jié)果的精確性，利用Midas Civil對(duì)文中的工程實(shí)例進(jìn)行了建模分析，Midas Civil計(jì)算結(jié)果與Mathcad編程結(jié)果如表1所示，結(jié)果表明：利用Mathcad的編程計(jì)算結(jié)果和Midas civil的建模計(jì)算結(jié)果一樣，接近于理論解。

3　結(jié)語(yǔ)

本文的研究結(jié)果表明，基于Mathcad的三維桁架有限元分析結(jié)果滿足工程精度要求，同時(shí)根據(jù)Mathcad的編程特點(diǎn)，對(duì)于其他的三維桁架結(jié)構(gòu)，只需要改變編程過(guò)程中的Top矩陣和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)就可以直接計(jì)算出任意三維桁架單元的內(nèi)力和各約束節(jié)點(diǎn)的支座反力。

［1］張曉丹，李祥林，李曉紅等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：Mathcad在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2012.

FiniteElement Analysisof 3-D Trussbased on Mathcad

Li Qingfu Ren Gaojie
（School of Water Conservancy&Environment，Zhengzhou University，Zhengzhou Henan 450001）

By the calculation advantages and programming characteristics of Mathcad，on the basis of element stiffness matrix and the general balance equation of ordinary bar，Mathcad and finite element method are combined to deduce stiffness matrix expressive of any 3-D truss structures in Mathcad；support reaction and internal force of the 3-D truss are calculated through an engineering example and compared with the Midas Civil modeling results，it turns out that combining Mathcad and finite element method could carry out a high-efficient mechanism analysis of 3-D truss meeting the precision requirement of engineering.

Mathcad；finite element method；3-D truss

TU323.4

A

1003-5168（2015）12-0095-2

2015-12-11

李清富（1966-），男，博士，教授，研究方向：結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的研究。