李玉嬌，杜廷松，2

（1.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430081）

推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式

李玉嬌1，杜廷松1，2

（1.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430081）

提出了一個(gè)稱(chēng)為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的新概念.在此基礎(chǔ)上，針對(duì)三階導(dǎo)函數(shù)是推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，建立了一些新的Simpson型積分不等式，并應(yīng)用這些不等式導(dǎo)出了一些特殊均值不等式.

凸函數(shù)；推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)；Simpson型不等式

1　引言

設(shè)f：［a，b］→R在（a，b）上是一個(gè)四次連續(xù)可微映射，即

則下面的不等式成立：

眾所周知，這是經(jīng)典的Simpson型不等式.已有眾多學(xué)者對(duì)其作了廣泛研究.例如，文獻(xiàn)［1］介紹了凸函數(shù)的Simpson型不等式；文獻(xiàn)［2］建立了s-凸函數(shù)的Simpson型不等式；文獻(xiàn)［3］對(duì)三階導(dǎo)函數(shù)是推廣的s-凸函數(shù)做了研究，并建立了一些Simpson型積分不等式；文獻(xiàn)［4］研究了一類(lèi)（α，m）-凸函數(shù)的Simpson型不等式.

最近，已有一些學(xué)者關(guān)注到了GA-凸函數(shù)和（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式，比如，文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［6］研究了GA-s-凸函數(shù)，建立一些GA-s-凸函數(shù)的Hadamard型不等式；文獻(xiàn)［7］針對(duì)二次可微的（α，m）-GA-凸函數(shù)構(gòu)造了新的Hermite-Hadamard-like型不等式；文獻(xiàn)［8］對(duì)推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式也進(jìn)行了研究.此外，廣義凸函數(shù)相關(guān)類(lèi)型的不等式以及Simpson型不等式的改進(jìn)和推廣研究可參看文獻(xiàn)［9-16］.

受文獻(xiàn)［6］中GA-s-凸函數(shù)以及文獻(xiàn)［8］中關(guān)于推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式研究的啟發(fā)，先將GA-s-凸函數(shù)的概念拓展到推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，再結(jié)合文獻(xiàn)［3］中推廣的s-凸函數(shù)的Simpson型不等式的構(gòu)造思想，本文研究了一類(lèi)推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式.需要強(qiáng)調(diào)的是，盡管本文與文獻(xiàn)［7］均考慮的是GA-凸函數(shù)，但是本文研究的是推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式，而文獻(xiàn)［7］中研究的是GA-（α，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式.另外，本文與文獻(xiàn)［8］均涉及到推廣的（s，m）-凸函數(shù)，但文獻(xiàn)［8］考慮的是推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式，而本文是對(duì)推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式進(jìn)行研究.

2　預(yù)備知識(shí)

本文中，考慮實(shí)區(qū)間I?R，R0=［0，∞），I?表示區(qū)間I的內(nèi)部.

定義2.1［13］函數(shù)f：［0，b］→R被稱(chēng)為第二種意義下的（s，m）-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，t∈［0，1］且（s，m）∈（0，1］2，有下面的不等式成立：

定義2.2［8］函數(shù)f：［0，b］→R被稱(chēng)為推廣的（s，m）-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，λ∈（0，1）且（s，m）∈［-1，1］×（0，1］，有下面的不等式成立：

定義2.3［7］函數(shù)f：I?R0→R被稱(chēng)為I上的GA-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈I且t∈［0，1］，有下面的式子成立：

其中xty1-t稱(chēng)為正實(shí)數(shù)x和y的加權(quán)幾何平均，tf（x）+（1-t）f（y）稱(chēng)為f（x）和f（y）的加權(quán)算術(shù)平均.

3?。╯，m）-GA-凸函數(shù)和引理

首先，介紹一個(gè)稱(chēng)為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的新概念.

定義3.1函數(shù)f：［0，b］→R被稱(chēng)為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，t∈［0，1］且（s，m）∈［-1，1］×（0，1］，有下面的不等式成立：

注3.1當(dāng)s∈（0，1］，m=1時(shí)，上面定義的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)即是文獻(xiàn)［5-6］中定義的GA-s-凸函數(shù).

為了建立并證明本文主要結(jié)果，我們需要下面的引理.

引理3.1［3］設(shè)f：I?R→R是定義在I?上的一個(gè)三次可微映射，a，b∈I且a＜b.如果f′′∈L［a，b］，則有下面的式子成立：

引理3.2［14］對(duì)于任意的t∈［0，1］，a，b＞0，有

4　主要結(jié)果

下面提出并證明我們的主要結(jié)果.

定理4.1設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，且在［a，b］上遞減.如果是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈［-1，1］且q≥1，則

（1）當(dāng)-1＜s≤1時(shí)，有

（2）當(dāng)s=-1時(shí)，有

推論4.1在定理4.1中，

推論4.2在定理4.1中，

定理4.2設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，f′′∈L［a，b］且|f′′|在［a，b］上遞減.如果|f′′|q是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈（-1，1］且q＞1，則

是著名的Beta函數(shù)，其中x＞0，y＞0.

證明類(lèi)似定理4.1的證明方法，并利用H?lder積分不等式，可得

推論4.3在定理4.2中，當(dāng)s=1且m=1，則

定理4.3設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，f′′∈L［a，b］且|f′′|在［a，b］上遞減.如果|f′′|q是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈（-1，1］且q＞1，則

證明類(lèi)似定理4.2的證明方法，用H?lder積分不等式的另外一種形式，有

推論4.4在定理4.3中，當(dāng)s=1且m=1，則

5　應(yīng)用

命題5.1設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q≥1，則

命題5.2設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q＞1，則

命題5.3設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q＞1，則

［1］Ujevi? N.Double integral inequalities of Simpson type and applications［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2004，14（1/2）：213-223.

［2］Sarikaya M Z，Set E，?zdemir M E.On new inequalities of Simpson′s type for s-convex functions［J］.Computers&Mathematics with Applications，2010，60：2191-2199.

［3］Chun L，Qi F.Inequalities of Simpson type for functions whose third derivatives are extended s-convex functions and applications to means［J］.Journal of Computational Analysis&Applications，2015，19（3）：555-569.

［4］Qaisar S，He C J，Hussain S.A generalizations of Simpson′s type inequality for differentiable functions using（α，m）-convex functions and applications［J］.Journal of Inequalities and Applications，2013.http：//www.journal of inequalities and applications.com/content/2013/1/158.

［5］Hua J，Xi B Y，Qi F.Hermite-Hadamard type inequalities for geometric-arithmetically s-convex functions［J］.Communications of the Korean Mathematical Society，2014，29（1）：51-63.

［6］Shuang Y，Yin H P，Qi F.Hermite-Hadamard type integral inequalities for geometric-arithmetically s-convex functions［J］.Analysis，2013，33：197-208.

［7］Park J.New Hermite-Hadamard-like type inequalities for twice differentiable（α，m）-GA-convex functions［J］.International Journal of Mathematical Analysis，2013，7（51）：2503-2515.

［8］Xi B Y，Wang Y，Qi F.Some integral inequalities of Hermite-Hadamard type for extended（s，m）-convex functions［J］.Transylvanian Journal of Mathematics and Mechanics，2013，5（1）：69-84.

［9］宋振云，涂瓊霞.關(guān)于P-凸函數(shù)的Hadamard型不等式［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27（3）：313-317.

［10］宋振云.關(guān)于P-凸函數(shù)的積分型Jessen不等式［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（1）：36-40.

［11］何曉紅.指數(shù)凸函數(shù)的積分不等式及其在Gamma函數(shù)中的應(yīng)用［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（1）：69-76.

［12］聞道君，龔黔芬.Simpson不等式的改進(jìn)及其應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，21（40）：159-162.

［13］Eftekhari N.Some remark on（s，m）-convexity in the second sense［J］.Journal of Mathematical Inequalities，2014，8（3）：489-495.

［14］Liao Y M，Deng J H，Wang J R.Riemann-Liouville fractional Hermite-Hadamard inequalities.Part I：for once differentiable geometric-arithmetically s-convex functions［J/OL］.Journal of Inequalities and Applications，2013.http：//www.journal of inequalities and applications.com/content/2013/1/443.

［15］Chen F X，F(xiàn)eng Y M.New inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose first derivatives absolute values are s-convex［J］.Italian Journal of Pure and Applied Mathematics，2014，32：213-222.

［16］Chen F X.A note on Hermite-Hadamard inequalities for products of convex functions via Riemann-Liouville fractional integrals［J］.Italian Journal of Pure and Applied Mathematics，2014，33：299-306.

On Simpson type inequalities for functions whose derivatives are extended（s，m）-GA-convex functions

Li Yujiao1，Du Tingsong1，2

（1.College of Science，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.Hubei Province Key Laboratory of System Science in Metallurgical Process，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China）

Firstly，the authors propose a new concept，which called extended（s，m）-GA-convex function.Then，we establish some new inequalities of Simpson type for functions whose third derivatives are extended（s，m）-GA-convex functions，and apply these inequalities to derive some inequalities of special means.

convex function，extended（s，m）-GA-convex functions，Simpson type inequality

O178；O174.6

A

1008-5513（2015）05-0487-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.008

2015-03-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金（61374028）；湖北省自然科學(xué)基金（2013CFA131）；三峽大學(xué)培優(yōu)基金（2015PY075）.

李玉嬌（1989-），碩士生，研究方向：分析不等式和凸分析.

杜廷松（1969-），碩士，教授，研究方向：凸分析及最優(yōu)化理論與算法.

2010 MSC:26D15，26D10