何名慰

蘇教版教材指出：在不引起混淆時，導函數(shù)f′（x）也簡稱為f（x）的導數(shù)；人教版也有類似的說法：本書中，如果不特別指明求某一點的導數(shù)，那么求導數(shù)指的就是求導函數(shù)。

言外之意，“導函數(shù)”跟“導數(shù)”可能被混淆？“導數(shù)”、“導函數(shù)”，你們到底是幾個意思？

欲知答案，且聽我慢慢道來。

先請各位觀賞一下我的一個小伙伴完成的一道練習題：

“已知函數(shù)f（x）=x³，則該函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為y=3x³-3x²+1。”

此解一出，全班的小伙伴們都驚呆了！這個方程表示的圖形顯然連直線都不是，太不合理了。

后來我才知道，他的真相是這樣的：

“先求切點f（1）=1，所以切點為（1，1），再求導數(shù)f′（x）=3x²，由導數(shù)就是切線斜率和直線的點斜式得切線方程為y-1=3x²（x-1），化簡得y=3x³-3x²+1”。

其實這就是混淆了導數(shù)與導函數(shù)的結(jié)果，當我們講“導數(shù)就是切線斜率”這句話時，真實的含義是“函數(shù)f（x）在x-x₀處的導數(shù)就是該函數(shù)圖象在點P（x₀，f（x₀））處的切線斜率”，而這里“導數(shù)”肯定是一個數(shù)值，不是函數(shù)，當然就不是“導函數(shù)”的簡稱了。

這么說來“導數(shù)”跟“導函數(shù)”確實不是一個意思，但它們也不是相互獨立的兩個意思。

實際上我們可以像“求某個數(shù)的平方”、“求某個數(shù)的倒數(shù)”一樣把“求函數(shù)f（x）在某處的導數(shù)”也看成一種對應(yīng)法則，在函數(shù)f（x）是可導函數(shù)的前提下，定義域中的每一個實數(shù)x都會對應(yīng)唯一的切線斜率，即導數(shù)，這時“求函數(shù)f（x）在某處的導數(shù)”這個對應(yīng)就是一個名副其實的函數(shù)了，也就是我們所講的“導函數(shù)f′（x）”。

也許可以這樣理解導數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系，比如一個服裝生產(chǎn)商的兩個部門，一個負責給客戶定制服裝，另一個負責流水線生產(chǎn)不同型號、不同款式的服裝，“函數(shù)f（x）在x=x。處的導數(shù)”就是定制；“導函數(shù)f′（x）”就是流水線生產(chǎn)。

但是從數(shù)學上講，“定制”函數(shù)f（x）在x=x。處的導數(shù)與“流水線生產(chǎn)”函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）并沒有什么質(zhì)量上的差別，唯一的差別就是“定制”效率低，只能求一處的導數(shù)；“流水線”效率高，求出了導函數(shù)f′（x）更方便于求各處的導數(shù)，事實上，“函數(shù)f（x）在x=x。處的導數(shù)”就是導函數(shù)f′（x）的一個函數(shù)值f′（x）。

回到開始處，那名可愛的小伙伴犯錯誤的地方，顯然切線的斜率應(yīng)該為“k=f′（1）=3”，所以切線方程為“y-1=3（x-1）”，化簡得“y=3x-2”。

其實，從導數(shù)概念發(fā)展的歷史上來看，求曲線的切線問題和求即時速度的問題在公元17世紀廣泛地被人們研究，研究者當中有許多的著名數(shù)學家、物理學家甚至天文學家，經(jīng)過了幾代人的努力，終于有了那么一兩個人發(fā)現(xiàn)，這兩種問題其實本質(zhì)是相同的，并且運用函數(shù)、極限的思想給出了一般性的解決方法，接下來不斷有人在研究這個問題，一晃200多年過去了，直到公元19世紀60年代，“導數(shù)”或者說“導函數(shù)”才有了現(xiàn)在的嚴格定義（我們的課本中還不是定義的“最高版本”），從這個角度來看，“導數(shù)”也好“導函數(shù)”也罷，他們其實都是函數(shù)思想、極限思想的成功運用，如果從廣義上把“導數(shù)”就理解為這樣的研究方法，“導函數(shù)”簡稱為“導數(shù)”恐怕也就好理解了。

課堂上我會問那些小伙伴們“這道求切線的問題用什么方法做呀？”，通常會得到這樣的齊聲回答“導數(shù)”，同樣的兩個字，有的同學可能是“有口無心”，有的則以為求了“導函數(shù)”就完事了，更多的同學則明確地知道求了“導函數(shù)”還要代入具體的橫坐標，得到的函數(shù)值才是切線斜率，這是正確的做法，當然可能也還有同學會深刻體會到，“導數(shù)”，這是多少研究者積淀下來的思想精華，其核心就是逼近再逼近，然后顯現(xiàn)出極限，切線是這種極限，瞬時變化率是這種極限，導數(shù)、導函數(shù)都是這種極限。

導數(shù)與導函數(shù)到底是幾個意思？可以說它們是一個意思，因為導數(shù)是導函數(shù)的簡稱；可以說它們是兩個不同的意思，因為在求切線方程時，某一點處的導數(shù)是個數(shù)值，而導函數(shù)是個函數(shù)；當然，導數(shù)與導函數(shù)還可以就是一個意思，那是同一種數(shù)學思想，同一種文化的味道。endprint