王 斌

（興義民族師范學院， 貴州 興義 562400）

一類具有二次和三次項的非線性振子方程的一種簡單解法

王 斌

（興義民族師范學院， 貴州 興義 562400）

應用何氏頻率-振幅公式對一類具有二次和三次項的非線性振子方程獲得了一個周期解，該方法簡單，通過直接計算和計算機數(shù)值模擬表明獲得的非線性振子方程的周期解是有效的。

何氏頻率-振幅公式；二次和三次項；非線性；數(shù)值模擬；周期解

近年來，隨著非線性科學的發(fā)展，各種方法已被廣泛地應用于處理非線性問題。如變分方法（Variational Method）[1-4]，參數(shù)展開法（Parameter Expansion Method）[5，6], 同倫攝動法(Homotopy Perturbation Method）[7-10]，指數(shù)函數(shù)法（Exp-function Method）[11-12]，能量平衡法（Energy Balance Method），以及 L-P法(Lindstedt-Poincare)，諧波平衡法（Harmonic Balance），平均法（The Method of Averaging），多尺度法（Multiple Scales），漸進法（KBM）等。用這些方法處理各種非線性問題，各有其特點，但通常都比較復雜。在本文中，針對一類具有二次和三次項的非線性振子方程（1），通過應用何氏頻率-振幅公式，給出了一種簡單，直接，高精度的近似解法，并通過計算機數(shù)值模擬，驗證了這種解法的有效性。

一、何氏頻率-振幅公式與近似周期解

根據(jù)何氏頻率-振幅公式，我們使用兩個試函數(shù)u1（t）=Acost和u2（t）=Acosωt，它們分別是下面兩個振子方程的解：

其中ω為振子方程（1）的頻率.將u1（t）和u2（t）分別代入方程（1），整理得到如下殘量

由文獻[20,21]得何氏頻率-振幅公式

其中t1和t2是局部點，通常取t1=T1/12，t2=T2/12，其中T1和T2分別是試函數(shù)u1（t）=Acost和u2（t）=A-cosωt的周期，即

由（3）（4）（5）（6）得

因此，可得系統(tǒng)(1)的近似周期解

二、數(shù)值模擬

在MATLAB7.8.0環(huán)境中進行計算機數(shù)值模擬（以下圖示中：虛線表精確值，實線表近似值）。

a

b

c

d

e

對計算機數(shù)值模擬的分析總結：以上6種情況表明，在一定范圍內，通過何氏頻率－振幅公式所求得近似周期解具有較高的精度，通常情況下，在小時間范圍內曲線擬合得較好，即具有較高的精度，但隨著時間的增大，由于誤差的累積傳播，將會導致曲線擬合程度逐漸變差。因此，小時間范圍內的解是可靠的。

三、結語

在一定范圍內，對一類具有二次和三次項的非線性振子方程應用何氏頻率-振幅公式求近似周期解，方法簡單，直接，計算機數(shù)值模擬表明它具有較高的精度，因而是一種有效的方法，一般情況下能滿足實際計算的精度要求，具有一定的應用價值。

[1]HE Ji-Huan.Variational approach for nonlinear oscillators [J]. Chaos，Solitons &Fractals.2007，34(5)：1430–1439.

[2]HE Ji-Huan.Variational iteration method some recent results and new interpretations [J]. Comput.Appl. Math..2007,207(1)：3-17.

[3]HE Ji-Huan.Variational iteration method:New development and applications[J].Comput.Math.Appl..2007，54(7)：881-894.

[4]XU Lan,Variational approach to solitons of nonlinear dispersive K(m,n) equations[J]. Chaos Solitons& Fractals. 2008,37(1):137-143.

[5]WANG Shu-Qiang,HE Ji-Huan.Nonlinear oscillator with discontinuity by parameter-expansion method[J].Chaos Solitons& Fractals. 2008,35:688-691.

[6]SHOU Da-Hua,HE Ji-Huan.Ap plication of parameter-expanding method to strongly nonlinear oscillators[J].Int. J. Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 2007,8(1):113-116.

[7]HE Ji-Huan.Homotopy perturbation technique[J]. Comput.Methods Appl. Mech.Engrg.1999，178(3)：257-262.

[8]HE Ji-Huan.Homotopy perturbation method:A new nonlinear analytical technique [J]. Appl. Math.Comput. 2003,135:73-79.

[9]HE Ji-Huan.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities [J]. Appl.Math. Comput.2004,151:287-292.

[10]廖世俊.建立在同倫基礎之上的一種非線性分析方法[J].上海力學，1995，16(2)：128-138.

[11]HE Ji-Huan,Zhang Li-Na.Genera lized solitary solution and compacton-like solution of the Jaulent-Miodek equations using the Exp-function method [J]. Phys.Lett.A .2008,372(7):1044-1047.

[12]HE Ji-Huan,Abdoub M.A.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp function method[J]. Chaos Solitons & Fractals. 2007,34(5):1421-1429.

A Simple Solution for a Nonlinear Oscillator with Quadratic and Cubic Nonlinearities

WANG Bin
（Xingyi Normal University for Nationalities，Xingyi，Guizhou562400, China）

In this paper, He’s frequency-amplitude formulation is used to obtain a periodic solution for a nonlinear oscillator with quadratic and cubic nonlinearities. The method is simple, by direct calculate and computer numerical simulations showthat using the method to obtain the periodic solution for the nonlinear oscillator equation is effective.

He’s frequency-amplitude formulation;quadratic and cubic terms;nonlinearities;numerical simulation;periodic solution

1009—0673（2015）01—0118—03

O175.12

A

2014—12—03

王 斌（1975— ），男，貴州興義人，興義民族師范學院數(shù)學學院副教授，碩士，主要研究方向：非線性泛函微分方程。

責任編輯：張仕清