姜鳳華羅恩

（1.臺(tái)州學(xué)院建筑工程學(xué)院，臺(tái)州 318000）（2.中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣州 510275）

平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理*

姜鳳華1?羅恩2

（1.臺(tái)州學(xué)院建筑工程學(xué)院，臺(tái)州 318000）（2.中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣州 510275）

根據(jù)古典陰陽(yáng)互補(bǔ)和現(xiàn)代對(duì)偶互補(bǔ)的基本思想，通過(guò)羅恩提出的一條簡(jiǎn)單而統(tǒng)一的新途徑，系統(tǒng)地建立了平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)的各類(lèi)非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理.文中首先給出平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)的廣義虛功原理的表式，然后從該式出發(fā)，不僅能得到平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)的虛功原理，而且通過(guò)所給出的廣義Legendre變換，還能系統(tǒng)地成對(duì)導(dǎo)出平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)的5類(lèi)變量分原理的互補(bǔ)泛函，以及1類(lèi)變量和相空間非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理的泛函.同時(shí)，通過(guò)這條新途徑還能清楚地闡明這些原理的內(nèi)在聯(lián)系.

框架結(jié)構(gòu)，彈塑性動(dòng)力學(xué)，相空間，非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理，初值-邊值問(wèn)題

引言

結(jié)構(gòu)的彈塑性分析一般都相當(dāng)復(fù)雜，因此，目前大多數(shù)都將非線(xiàn)性的本構(gòu)關(guān)系簡(jiǎn)化為分段線(xiàn)性彈性的本構(gòu)關(guān)系.對(duì)于平面框架折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)，可建立相應(yīng)的增量變分原理，然后采用基于增量變分原理的增量有限元法進(jìn)行分析.

對(duì)于靜力學(xué)增量變分原理的研究，1976年Horrigmoe和Bergan［1］在傳統(tǒng)變分原理的基礎(chǔ)上通過(guò)考慮增量變形來(lái)解決非線(xiàn)性問(wèn)題，并與有限元結(jié)合，放松單元的連續(xù)性要求，修正了傳統(tǒng)的增量變分原理；同年，Pian［2］給出了小位移問(wèn)題增量變分原理和放松連續(xù)性要求的修正的增量變分原理；1980年Mason［3］給出了固體力學(xué)和殼體理論中的增量能量方法，明確提出了增量變分原理的概念，并給出了兩條得到增量變分原理的途徑；1984年劉正興［4］建立了基于增量變分原理的柔韌梁和柔韌板單元；鐘萬(wàn)勰［5］給出了小位移彈性問(wèn)題中的各類(lèi)增量變分原理；1993年Grzegorz［6］給出了線(xiàn)彈性摩擦接觸問(wèn)題的增量變分原理；2007年Lahellec和Suquet［7］給出了非線(xiàn)性非彈性復(fù)合材料的增量變分原理.2000年賀國(guó)京和陳大鵬［8］提出了結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)的雜交混合幅值增量變分原理.但是，有關(guān)框架結(jié)構(gòu)的一些重要的增量型基本原理，例如增量虛功原理和能反映其初值-邊值問(wèn)題的全部特征各類(lèi)非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理至今國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有系統(tǒng)建立.

本文根據(jù)文獻(xiàn)［9］提出的一條簡(jiǎn)單而統(tǒng)一的新途徑，系統(tǒng)地建立了框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)的廣義增量虛功原理和增量虛功原理、以及各類(lèi)非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理和相空間非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理.這種新的增量變分原理能反映這種動(dòng)力學(xué)初值-邊值問(wèn)題的全部特征.

1　平面框架折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)基本方程及條件

（1）速度位移關(guān)系

式中v=［vs，vr］T，u=［us，ur］T.

（2）動(dòng)量速度關(guān)系

式中p=［ps，pr］T.

（3）運(yùn)動(dòng)方程

（4）廣義應(yīng)變與位移關(guān)系

式中=［εs，κ］T.

（5）廣義內(nèi)力和廣義應(yīng)變關(guān)系

對(duì)于一般彈塑性問(wèn)題，有

式中，Φ（κ）和Ψ（Q）分別為應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度.

將增量段的廣義內(nèi)力和廣義應(yīng)變關(guān)系線(xiàn)性化，一般彈塑性問(wèn)題簡(jiǎn)化為折線(xiàn)型彈塑性問(wèn)題后，有：

圖1　折線(xiàn)型彎矩曲率關(guān)系Fig.1 Piecewise linear relationship of moment-curvature

（6）結(jié)構(gòu)邊界條件

對(duì)于結(jié)構(gòu)的整體直角坐標(biāo)系x，z，給定節(jié)點(diǎn)外力的節(jié)點(diǎn)條件和給定節(jié)點(diǎn)位移的支撐節(jié)點(diǎn)條件分別為：

（7）初始條件

（8）梁柱交結(jié)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)條件

①梁柱交結(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件：

②梁柱交結(jié)點(diǎn)的力平衡條件：

2　增量廣義虛功原理、增量虛功原理

可以證明，對(duì)于任意無(wú)關(guān)的p，Q，u，有下列積分關(guān)系式成立：

上式即為平面框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的廣義虛功原理.

根據(jù)（9）式，對(duì)于互不相關(guān)的任意函數(shù)pi，Qi，ui可得

對(duì)于互不相關(guān)的任意函數(shù)pi+Δp，Qi+ΔQ，ui+Δu可得

將式（11）和式（10）相減，可得

式（12）是本文給出的一個(gè)重要關(guān)系式，在力學(xué)上可稱(chēng)為平面框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)增量廣義虛功原理.從該式出發(fā)，不僅能系統(tǒng)建立增量虛功原理和平面框架結(jié)構(gòu)材料非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理，而且能清楚地闡明這些原理之間的內(nèi)在聯(lián)系.

當(dāng)Δp，ΔQ滿(mǎn)足方程（3a，c）和條件（6b），（7b，d），（8e-h）；Δu滿(mǎn)足方程（1a，b），（4a，b）和條件（6a），（7a，c），（8a-d）時(shí)，由式（12）可得

式（13）可以看成是平面框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)增量虛功原理的表式，它反映廣義動(dòng)力可能狀態(tài)與廣義運(yùn)動(dòng)可能狀態(tài)之間的最一般關(guān)系，或者說(shuō)，它反映陰變量Δu，Δv，Δκ與陽(yáng)變量Δf，Δp，ΔQ這兩組對(duì)偶變量之間的最一般關(guān)系.

3　平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)增量變分原理

3.15類(lèi)變量增量變分原理

對(duì)于互不相關(guān)的任意函數(shù)p和v，有下列關(guān)系式：

式中，K（v）=ρAvTv/2，K*（p）=pTp/2ρA，B（v，p）=（ρAv-p）T（ρAv-p）/2ρA，K（v）和K*（p）分別為動(dòng)能密度和余動(dòng)能密度.

根據(jù)式（14），對(duì)于增量段，可得

將式（14c）和式（14b）相減，可得

式中

其中

當(dāng)Q與κ分別是互不相關(guān)的任意函數(shù)時(shí)，可以得到下列關(guān)系式

式中

根據(jù)式（18a），對(duì)于增量段，可得

將式（19b）和式（19a）相減，可得

考慮到增量段線(xiàn)性化的廣義內(nèi)力與廣義應(yīng)變關(guān)系，于是有

式中

同理

式中

而

式中

由式（19）～（26）可得

當(dāng)且僅當(dāng)ΔQ和Δκ之間滿(mǎn)足式（5）時(shí)，才有

上述的（17）和（27）式是本文給出的廣義Legendre變換式.

將式（12）的T2-T3+T5-T6+T7+T8變換為

式中

其中帶上標(biāo)°的量為限制變分量.

定理1 當(dāng)且僅當(dāng)Δp，Δv，ΔQ，Δκ，Δu是混合問(wèn)題（1a，b），（2a，b），（3a，c），（4a，b），（5a，c），（6a，b），（7a-d），（8a-h）式的解，則必定滿(mǎn)足下列變分式

證明 將（31b）式對(duì)自變函數(shù)Δp，Δv，ΔQ，Δκ，Δu變分，可得

3.21類(lèi)變量增量變分原理

當(dāng)Δp，Δv，Δu滿(mǎn)足（1a，b）和（2a，b）式，Δκ，，注意到（33）式，由于δΔp，δΔv，δΔQ，δΔκ，δΔu的任意性，并根據(jù)變分法的有關(guān)引理，故由此可得（1a，b），（2a，b），（3a，c），（4a，b），（5a，c），（6a，b），（7a-d），（8a-h）式，即Δp，Δv，ΔQ，Δκ，Δu是混合問(wèn)題（1a，b）～（8a-h）式的解. Δu滿(mǎn)足（4a，b）式時(shí)，泛函就變成為

3.3相空間非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理

當(dāng)Δp與Δv和Δκ與Δu分別滿(mǎn)足（2a，b）式和（4a，b）式時(shí)，泛函就變?yōu)?/p>

或者

和邊界條件（6a，b）與初始條件（7a-d）及聯(lián)結(jié)條件（8a-h）.

為了揭示Hamilton正則方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就要打破傳統(tǒng)概念的限制，引進(jìn)新概念.為此，將（37）式寫(xiě)成矩陣形式

式（39）揭示了Hamilton正則方程和相應(yīng)的相空間非傳統(tǒng)Hamilton變分原理都具有自然辛結(jié)構(gòu).

4　結(jié)語(yǔ)

本文所建立的平面框架結(jié)構(gòu)折線(xiàn)型彈塑性動(dòng)力學(xué)各類(lèi)變量非傳統(tǒng)Hamilton型增量變分原理都是限制變分原理，它們能反映空間框架結(jié)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)初值-邊值問(wèn)題的全部特征.文中所建立的這些新的增量變分原理，不僅在平面框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論及建立有關(guān)工程實(shí)用理論方面有重要的意義，而且為建立基于增量變分原理的直接解法，如有限元法等提供了重要的理論基礎(chǔ).因篇幅所限，有關(guān)這些變分原理的應(yīng)用研究，將另文闡述.

1 Horrigmoe G，Bergan P G.Incremental variational principles and finite element models for nonlinear problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1976，7（2）：201～217

2 Pian T H H.Variational principles for incremental finite element methods.Journal of the Franklin Institute，1976，302（5-6）：473～488

3 Mason J.Variational incremental and energy Methods in solid mechanics and shell theory.Amsterdam：Elsevier Scientific Publisher Company，1980

4 劉正興.基于增量變分原理的柔韌梁和柔韌板單元.計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1984，1（4）：49～59（Liu Z X. Flexible beam and fexible plate element based on incremental variational principle.Computational Structural Mechanics and Application，1984，1（4）：49～59（in Chinese））

5 鐘萬(wàn)勰.數(shù)值計(jì)算方法.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1991：15～20（Zhong W X.Calculating numerical method.Beijing：China Architecture Building Press，1991：15～20（in Chinese））

6 Grzegorz Z.The incremental variational principle and finite element displacement approximation for the frictional contact problem of linear elasticity.International Journal of Non-Linear Mechanics，1993，28（1）：13～28

7 Lahellec N，Suquet P.On the effective behavior of nonlinear inelastic composites：I.Incremental variational principles.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2007，21（5）：85～89

8 賀國(guó)京，陳大鵬.結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)的雜交/混合幅值增量變分原理.鐵道學(xué)報(bào)，2000，22（2）：60～66（He G W，Chen D P.Hybrid/mixed amplitude incremental variational principle for nonlinear vibration of structures.Journal of theChina Railway Society，2000，22（2）：60～66（in Chinese））

9 羅恩.關(guān)于線(xiàn)彈性動(dòng)力學(xué)中各種Gurtin型變分原理.中國(guó)科學(xué)（A輯），1987（9）：936～948（Luo E.On the Gurtin-type variational principles in linear elastodynamics.Science in China（Series A），1987（9）：936～948（in Chinese））

10 姜鳳華，羅恩.分段線(xiàn)性彈性薄板動(dòng)力學(xué)非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理.振動(dòng)與沖擊，2008，27（11）：109～114（Jiang F H，Luo E.The unconventional Hamilton-type incremental variational principles for piecewise linear elstodynamics of thin plates.Journal of Vibration and Shock，2008，27（11）：109～114（in Chinese））

THE UNCONVENTIONAL HAMILTON-TYPE INCREMENTAL VARIATIONAL PRINCIPLES FOR PIECEWISE LINEAR ELASTODYNAMICS OF FRAME STRUCTURE*

Jiang Fenghua1?Luo En2
（1.School of Engineering and Architecture，Taizhou University，Taizhou 318000，China）
（2.Department of Applied Mechanics and Engineering，Zhongshan University，Guangzhou 510275，China）

According to the basic idea of classical yin-yang complementarity and modern dual-complementarity，in a simple and unified new way proposed by Luo，the unconventional Hamilton-type incremental variational principles for broken line elasto-plastic dynamics of frame structure can be established systematically.The unconventional Hamilton-type incremental variational principle can fully characterize the initial-boundary-value problem of broken line elasto-plastic dynamics of frame structure.In this paper，an important integral relation was given，which can be considered as the expression of the generalized principle of virtual work for broken line elasto-plastic dynamics of frame structure.Based on this relation，it is possible to derive systematically the complementary functionals for five-field，and the functional for one-field unconventional Hamilton-type incremental variational principles and the unconventional Hamilton-type incremental variational principle in phase space by the generalized Legendre transformations were also given.Furthermore，with this new approach，the intrinsic relationship among various principles can be explained clearly.

frame structure，elasto-plastic dynamics，phase space，unconventional Hamilton-type incremental variational principle，initial-boundary-value problem

25 May 2013，revised 17 June 2013.

E-mail：jfhzsu@tzc.du.cn

10.6052/1672-6553-2014-016

2013-05-25收到第1稿，2013-06-17收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10772203）和浙江省科技廳公益技術(shù)應(yīng)用研究資助項(xiàng)目（2011C31032）

E-mail：jfhzsu@tzc.du.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（10772203）and the Public Eechnology Applied Research Foundation of Science technology Department of Zhejiang province（2011C31032）