劉世興李娜 劉暢

（遼寧大學物理學院，沈陽 110036）

Birkhoff框架下Whittaker方程的離散變分算法*

劉世興?李娜 劉暢

（遼寧大學物理學院，沈陽 110036）

本文在Birkhoff框架下，采用離散變分方法研究了非Hamilton系統(tǒng)-Whittaker方程的數(shù)值解法，并通過和傳統(tǒng)的Runge-Kutta方法進行比較，說明了在Birkhoff框架下研究非Hamilton系統(tǒng)可以得到更加可靠和精確的數(shù)值結(jié)果.

Whittaker方程，Birkhoff方程，離散變分方法

引言

Lagrange系統(tǒng)或Hamilton系統(tǒng)具有簡單的辛幾何結(jié)構(gòu)，自動滿足自伴隨性質(zhì)，可以用來描述耗散可忽略的保守動力學系統(tǒng)，并在動力學系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法研究中具有重要意義［1-3］.但是對于本質(zhì)非自伴隨的動力學系統(tǒng)，在保持實驗室可觀測量或動力學函數(shù)物理意義不變的情況下，則不能表示為Lagrange或Hamilton系統(tǒng).我們稱這類不能表示為簡單Lagrange或Hamilton方程的動力學系統(tǒng)為非Lagrange或非Hamilton系統(tǒng)［4］.如Beteman在1931年描述了一個始終不能求解的問題.之后，Tolman根據(jù)這個故事提出了如下問題：是否存在不能由Lagrange函數(shù)得到的方程組？Whittaker提出如下方程［5］：

并確信該方程不能由任何Lagrange函數(shù)導出，即不能將該方程表示成Lagrange方程或Hamilton正則方程組的形式.這個方程就是著名的Whittaker方程，其在Lagrange力學逆問題以及Birkhoff力學的研究和發(fā)展過程中起著重要的作用.物理和工程應用中存在著大量的非Hamilton系統(tǒng)，如非完整系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)，奇異系統(tǒng)等都不能在保持實驗室可觀測量或動力學函數(shù)物理意義的情況下表示為簡單的Hamilton系統(tǒng)，然而，將不滿足自伴隨條件的非Hamilton系統(tǒng)表示為具有一般辛結(jié)構(gòu)的Birkhoff系統(tǒng)，則能夠?qū)崿F(xiàn)動力學系統(tǒng)的自伴隨化，并保持實驗室可觀測量或動力學函數(shù)的物理意義.對于這類系統(tǒng)，由于不具有簡單的辛結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的保辛算法已經(jīng)不再適用，因此需要找到一種較理想的數(shù)值算法來數(shù)值求解這類系統(tǒng)的運動方程問題. Birkhoff動力學是Hamilton動力學的自然推廣，是一般辛結(jié)構(gòu)的局部實現(xiàn)［6］，因此，在Birkhoff框架下研究非Hamilon系統(tǒng)問題，不但可以推廣和深化Hamilton動力學理論，同時通過對Birkhoff系統(tǒng)的幾何數(shù)值積分的研究，也可以間接的實現(xiàn)非Hamilton系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法，從而對解決工程科學中大量的非Hamilton系統(tǒng)問題具有重要的理論意義和工程應用價值.本文以Whittaker方程為例，在Birkhoff意義下，將Whittaker方程表示為自治Birkhoff方程的形式，并采用離散變分方法，給出研究這類非Lagrange或非Hamilton系統(tǒng)的數(shù)值積分子.通過數(shù)值實驗說明了在Birkhoff框架下研究這類系統(tǒng)的幾何數(shù)值積分問題是合理和有效的，從而為研究非Lagrange或非Hamilton系統(tǒng)的幾何數(shù)值積分問題開辟了一條新的途徑.

1　Whittaker方程的Birkhoff表示

如果取a1=x，a2=y，a3=˙x，a4=˙y，則原方程（1）可以寫成如下的1階形式：

該系統(tǒng)有如下的第一積分：

利用Hojman方法，則可以求得Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組：

從所得到的Birkhoff函數(shù)（3）和Biikhoff函數(shù)組（4）可以看出，Whittaker方程的Birkhoff表示為自治Birkhoff方程［6］.

2　自治Birkhoff積分子的構(gòu)造

取離散空間為M×M，并取定時間步長h∈R，定義離散Pfaff函數(shù)Pd：M×M×R→R，從而給出離散作用泛函為［7-10］：

利用離散變分計算δAd=0，并考慮端點條件δa0=δaN=0，則可以得到如下離散自治Birkhoff方程：

這里，DB為離散Birkhoff映射，寫成坐標形式如下：

這里DiPd（i=1，2）表示對Pd中第i個變量的偏導數(shù).如果取

作為中間變量，通過求解隱式方程（10）可以得到ak+1，然后求解顯式方程（11），則得到映射：Pd：（ak，bk）→（ak+1，bk+1），即給出系統(tǒng)隨時間的演化.可以證明，映射Pd保持離散Birkhoff辛形式［10］，從而方程（10）和（11）給出了計算自治Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff辛積分子.可以采用許多方法離散Pfaff函數(shù)，如中點格式，Verlet方法，Runge-Kutta方法等［11］.本文采用Euler中點格式來離散Pfaff函數(shù).

3　Whittaker方程的數(shù)值分析

可以看出，Whittaker方程的解隨時間呈指數(shù)增加.

將Whittaker方程的Birkhoff表示（3）和（4）代入（5）中的P（a，˙a）=Rμ（）a（）-B a，并采用Euler中點格式可以得到離散Pfaff函數(shù)：

將其代入離散Birkhoff方程（9）就可以得到離散Birkhoff積分子，從而可以數(shù)值計算求解出Whit-taker方程的數(shù)值解，從而得出系統(tǒng)隨時間演化的曲線.

圖1和圖2分別表示計算所得的x和y的相對誤差，實線表示在Birkhoff框架下采用本文方法算得的結(jié)果，而點線表示在原方程框架下采用2階R-K方法算得的結(jié)果，從圖中可以看出，雖然兩種框架下算得的結(jié)果的相對誤差都隨時間的增加而發(fā)散，但在Birkhoff框架下采用離散變分方法算得的x和y相對精確解的誤差要遠遠小于在原方程框架下采用R-K法算得的結(jié)果，且發(fā)散的較慢，這充分說明在Birkhoff框架下采用離散變分方法計算這類問題相比較而言具有較好的穩(wěn)定性，能夠得到相對真實的結(jié)果.

圖1　x的相對誤差Fig.1 Relativity error of x

圖2　y的相對誤差Fig.2 Relativity error of y

4　結(jié)論

通過對Whittaker方程的數(shù)值研究，說明在求解這類不能表示成Lagrange方程或Hamilton方程的非Hamilton系統(tǒng)的數(shù)值解時，為了得到更好的數(shù)值結(jié)果，可以將該系統(tǒng)的運動方程轉(zhuǎn)化為具有自伴隨特性的Birkhoff方程的形式，從而在Birkhoff框架下研究非Hamilton系統(tǒng)的數(shù)值積分問題，以得到更加可靠、精確的數(shù)值結(jié)果.

1 馮康，秦孟兆.哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法.杭州：浙江科學技術(shù)出版社，2003（Feng K，Qin M Z.Symplectic geometric algorithms for Hamiltonian systems.Hangzhou：Zhejiang Science and Technology Press，2003（in Chinese））

2 Hairer E，Lubich C，Wanner G.Geometric numerical integration structure-preserving algorithms for ordinary differential equations.Berlin：Springer，2002

3 高強，鐘萬勰.Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法.動力學與控制學報，2009，7（3）：193～199（Gao Q，Zhong W X.The Symplectic and energy preserving method for the integration of Hamilton system.Journal of Dynamics and Control，2009，7（3）：193～199（in Chinese））

4 劉暢，宋端，劉世興，郭永新.非齊次Hamilton系統(tǒng)的Birkhoff表示.中國科學：物理學、力學、天文學，2013，43（3）：541～548（Liu C，Song D，Liu S X，Guo Y X. Birkhoffian representation of non-homogenous Hamiltonian systems.Scientia Sinica Physica，Mechanica and Astronomica，2013，43（3）：541～548（in Chinese））

5 梅鳳翔.關(guān)于Whittaker方程和Hojman-Urrutia方程.力學與實踐，2012，34：62～63（Mei F X.About Whittaker equation and Hojman-Urrutia equation.Mechanics in Engineering，2012，34：62～63（in Chinese））

6 梅鳳翔，史榮昌，張永發(fā)，吳惠彬.Birkhoff系統(tǒng)動力學.北京：北京理工大學出版，1996（Mei F X，Shi R C，Zhang Y F，Wu H B.Dynamics of Birkhoff systems.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，1996（in Chinese））

7 Liu S X，Liu C，Guo Y X.Geometric formulations and variational integrators of discrete autonomous Birkhoff systems. Chinese Physics B，2011，20（3）：034501

8 宋端，劉世興.Birkhoff意義下Hojman-Urrutia方程的離散變分計算.動力學與控制學報，2013，11（3）：199～201（Song D，Liu S X.Discrete variational calculation of Hojman-Urrutia equation in the Birkhoffian sense.Journal of Dynamics and Control，2013，11（3）：199～201（in Chinese））

9 Liu S X，Hua W，Guo Y X.Research on the discrete variational method for a Birkhoffian system.Chinese Physics B，2014，23（6）：064501

10 劉世興，劉暢，郭永新.Birkhoff意義下Henon-Heiles方程的離散變分計算.物理學報，2011，60（6）：060000（Liu S X，Liu C，Guo Y X.Discrete variational calculation of Henon-Heiles equation in the Birkhoffian sense. Acta Physica Sinica，2011，60（6）：060000（in Chinese））

11 Marsden J E，West M.Discrete mechanics and variational integrators.Acta Numerica，2001：357～514

DISCRETE VARIATIONAL CALCULATION OF WHITTAKER EQUATION IN THE BIRKHOFFIAN FRAMEWORK*

Liu Shixing?Li Na Liu Chang
（College of Physics，Liaoning University，Shenyang 110036，China）

In this paper，the numerical algorithms of Whittaker equation，which is a non-Hamiltonian system，are researched by using the discrete variational method in the framework of Birkhoffian.Compared with Runge-Kutta method，the numerical results show that the more reliable and accurate numerical results are obtained when the non-Hamilton systems without simple symplectic structure are studied in the Birkhoffian framework.

Whittaker equation，Birkhoff equations，discrete variational methods

15 December 2014，revised 31 December 2014.

E-mail：liushixing@lnu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-005

2014-12-15收到第1稿，2014-12-31收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11472124，11202090，11172120和11301350），遼寧省博士啟動基金資助（20141050），遼寧省教育廳科學技術(shù)研究一般項目（L2013005）

E-mail：liushixing@lnu.edu.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472124，11202090，11172120 and 11301350），the Dr.Start-up fund in liaoning province（20141050）andthe General science and technologyResearch Plans of Liaoning Educational Bureau（L2013005）