馬穎超，劉文德

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱　150025）

四維Filiform李超代數(shù)的譜序列及上同調(diào)

馬穎超，劉文德

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150025）

利用復(fù)數(shù)域上四維 Filiform李超代數(shù)的分類，通過計算，刻畫了所有四維Filiform李超代數(shù)的譜序列，進而得到所有四維Filiform李超代數(shù)的上同調(diào).

Filiform李超代數(shù)；譜序列；上同調(diào)

1　引言

在同調(diào)代數(shù)中，譜序列是一個非常重要的概念，它既是一種理論，也是研究同調(diào)模的有效方法.二戰(zhàn)期間，J.Leray在研究代數(shù)拓撲學(xué)時，引入了層的概念，從而面臨著計算層上同調(diào)的問題，為此，他提出了一種計算方法稱為Leray譜序列［1］.不久，很多數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，Leray譜序列只是一個特例，譜序列還應(yīng)用于解決纖維化等幾何問題.抽象地說，對合成函子取導(dǎo)函子也會得到譜序列，這樣的譜序列稱為Grothendieck譜序列［2］.1947年，J.L.Koszul將譜序列與代數(shù)理論有機的結(jié)合起來［3］.隨著研究范圍的擴大，譜序列成為計算同調(diào)的重要方法，備受國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，現(xiàn)已成為同調(diào)代數(shù)、代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、環(huán)論及群論等學(xué)科的一種有力的工具.1991年，J.A.Dixon利用譜序列計算了BRS的上同調(diào)［4］.2001年，D.W.Barnes證明了李代數(shù)的擴張的譜序列的長度最多是其商代數(shù)的維數(shù)加一，當代數(shù)是冪零的且擴張是可裂的時，譜序列的有界性能夠得到一個任意大的商代數(shù)［5］.2004年，K.Kuribayashi利用Eilenberg-Moore譜序列計算了函數(shù)空間的上同調(diào)［6］.2006年，A.Romero、J.Rubio和F.Sergeraert優(yōu)化了J.L.Koszul給出的計算譜序列的程序，這些程序能夠計算Serre譜序列，Eilenberg-Moore譜序列等［7］.2012年，B.Edalazadeh計算了李代數(shù)的Hochschild-Serre譜序列，進而得到其上同調(diào)并給出了簡化計算譜序列的方法［8］.2013年，V.J.Barco闡述了簡化計算李代數(shù)譜序列的一些性質(zhì)并計算了低維冪零李代數(shù)的譜序列［9］.

1970年，M.Vergne在計算冪零李代數(shù)的上同調(diào)時，提出了Filiform李代數(shù)的概念［10］.2001年，M.Gilg對復(fù)數(shù)域上維數(shù)小于等于8的Filiform李超代數(shù)進行了分類并給出了Filiform李超代數(shù)Ln，m的形變［11-12］.2006年，A.Fialowski和D.Millionschikov計算了H?（m0）和H?（m1）的上同調(diào)并討論了與表示論的關(guān)系［13］.

事實上，大多數(shù)代數(shù)方面的譜序列是與濾過復(fù)形相關(guān)的.本文利用這種方法并受文獻［9］的啟發(fā)，計算了四維Filiform李超代數(shù)的譜序列，進而得到其上同調(diào).

2　基本概念

設(shè)V，W 為超空間，σ：V→W 是一個線性映射.σ稱為偶的，如果σ（Vα）?Wα；σ稱為奇的，如果

Z2-分次向量空間具有雙線性乘法［，］：g×g→g，稱g是李超代數(shù)，如果滿足以下三條：

定義 2.1［11］設(shè)是冪零李超代數(shù)，稱g的超冪零指數(shù)為（p，q），如果但但其中設(shè)且稱g是Filiform李超代數(shù)，如果它的超冪零指數(shù)是（n，m），記為F（n，m）.

引理 2.1［11］四維Filiform李超代數(shù)在同構(gòu)意義下分為如下三類（用｛X0，X1|Y1，Y2｝表示它的一個齊次基）：

定義 2.2［14］譜序列是一個雙分次Abel群族連同微分算子滿足其中r∈N，p，q∈Z.

3　四維 Filiform李超代數(shù)的譜序列及上同調(diào)

利用文獻［9］中的思想，即由F1，2降中心列的零化子空間構(gòu)造F1，2如下濾過，令

進而有表1，表2成立.

表1　V（n，1）的基及其維數(shù)

表2　V（n，2）的基及其維數(shù)

其中j≥0，u=0，1.下文不加注釋的用V（n，v）表示ΛnV（1，v），v=1，2，簡記F1，2=g.

表3　E0的基及其維數(shù)

其中j≥0，u=0，1，v=1，2.

證明由（6）式知，表6，表7成立.

表6　的基及其維數(shù)

表6　的基及其維數(shù)

n E0，n0的基　dimE0，n00??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2，X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2，Y?2∧Y?2 4 ≥3　X?u∧j1Y?1∧n-j1-1Y?2 X?0∧X?1∧j2Y?1∧n-j2-2Y?2 4n-4 ∧j3Y?1 ∧n-j3Y?2

表7　的基及其維數(shù)

表7　的基及其維數(shù)

n E1，n-10　　的基　dimE1，n-100 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1，∧nY?1 4

其中0≤j1≤n-2，0≤j2≤n-3，0≤j3≤n-1，u=0，1.

由（7）式知，表8，表9成立.

表8　的基及其維數(shù)

表8　的基及其維數(shù)

n E0，n1　　的基dimE0，n10??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2，X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2 3 ≥3　X?0∧n-1Y?2，X?1∧n-2Y?1∧Y?2　∧n-1Y?1∧Y?2，X?0∧X?1∧n-3Y?1∧Y?2 4

表9　的基及其維數(shù)

表9　的基及其維數(shù)

n E1，n-11　　的基　dimE1，n-110 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1，∧nY?1 4

由（8）式知，表10，表11成立.

表10　=的基及其維數(shù)

表10　=的基及其維數(shù)

n E0，n2　=E0，n∞　的基　dimE0，n2　=E0，n∞0，1　?　?　0 2 X?0∧Y?2 ?1 ≥3　X?0∧n-1Y?2 X?0∧X?1∧n-2Y?2 2

表11　=的基及其維數(shù)

表11　=的基及其維數(shù)

n E1，n-1 2　=E1，n-1∞　的基　dimE1，n-1 2　=E1，n-1∞0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 2 X?1∧Y?1 X?0∧X?1，Y?1∧Y?1 3 ≥3　X?1∧n-1Y?1 ∧nY?1 2

表12　E0的基及其維數(shù)

表13　E1的基及其維數(shù)

表14　E2=E∞的基及其維數(shù)

其中j≥0，u=0，1，v=1，2.

證明類似定理3.1的證明可得表12，表13，表14.

表15　E0的基及其維數(shù)

表16　E1的基及其維數(shù)

表17　E2=E∞的基及其維數(shù)

證明類似定理3.1的證明可得表15，表16，表17.

注3.1當n為奇（偶）數(shù)時，文中所有的表格的第2列為偶（奇）元素，第三列為奇（偶）元素.

由（9）式，可得到四維Filiform李超代數(shù)的任意階同調(diào)群，于是有如下推論.

表18　的基及其維數(shù)

表18　的基及其維數(shù)

n Hn（F（1）1，2）的基　dimHn（F（1）1，2）0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?0∧n-1Y?2，X?1∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?2，∧nY?1 4

表19　的基及其維數(shù)

表19　的基及其維數(shù)

n Hn（F（2）1，2）的基　dimHn（F（2）1，2）0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?0∧n-1Y?1，X?0∧n-1Y?2-X?1∧n-1Y?2　X?0∧X?1∧n-2Y?2，∧nY?1 4

表20　的基及其維數(shù)

表20　的基及其維數(shù)

n Hn（F（3）1，2）的基dimHn（F（3）1，2）0 i ?1 ≥1　X?0∧n-1Y?2 （n-1）X?0∧X?1∧n-2Y?2+Y?1∧n-1Y?2 2

［1］Leray J.L′anneau d′homologie d′une représentation［J］.C.R.Acad.Sci.，1946，222：1366-1368.

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［3］Koszul J L.Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau［J］.C.R.Acad.Sci.Paris.，1947，225：217-219.

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Spectral sequences and cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras

Ma Yingchao，Liu Wende

（Department of Mathematics，Harbin Normal University，Heilongjiang150025，China）

In this paper，employing the classification of Filiform Lie superalgebras of dimension 4 over the complex field，we determine all spectral sequences of four-dimensional Filiform Lie superalgebras by means of computation.As a result，we obtain all cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras.

Filiform Lie superalgebras，spectral sequences，cohomology

O154.2

A

1008-5513（2015）03-0282-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.009

2015-01-01.

國家自然科學(xué)基金（11171055，11471090）；黑龍江省杰出青年基金（JC201004）.

馬穎超（1990-），碩士生，研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

劉文德（1965-），博士，教授，研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

2010 MSC：17B30，16E40，55T99