張鴿，胡宏昌，張宇

（湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435000）

AANA序列的半?yún)?shù)模型的強(qiáng)相合性

張鴿，胡宏昌，張宇

（湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435000）

討論漸近幾乎負(fù)相依序列的半?yún)?shù)模型，利用最小二乘法和非參數(shù)加權(quán)的估計(jì)方法，得到參數(shù)、非參數(shù)和誤差方差的估計(jì)，并在合適的條件下得到這些估計(jì)量的強(qiáng)相合性，推廣了負(fù)相依序列的半?yún)?shù)模型的相應(yīng)結(jié)論.

半?yún)?shù)模型；漸近幾乎負(fù)相依；強(qiáng)相合性

1　引言

討論如下半?yún)?shù)模型：

其中 （xi，ti）為隨機(jī)設(shè)計(jì)點(diǎn)列，β為待估的未知參數(shù)，g（·）是定義在閉區(qū)間 ［0，1］上未知的可測(cè)函數(shù)，隨機(jī)誤差序列 ｛εi｝為漸近幾乎負(fù)相依序列 （簡(jiǎn)記為 AANA，定義見(jiàn)定義 1.1），且

假設(shè)存在定義在［0，1］上的某一函數(shù)h（·），有［1］

其中｛ηi｝是獨(dú)立同分布序列，Eηi=0，且｛ηi｝與｛εi｝相互獨(dú)立.

定義 1.1［2］稱(chēng)隨機(jī)變量序列 ｛Xn，n≥1｝是 AANA序列，如果存在非負(fù)實(shí)數(shù)序列對(duì)所有n，k≥1滿足：

其中f和g是對(duì)所有方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙颠B續(xù)的函數(shù).

NA序列［2］在八十年代被引入，由于其在可靠性理論、滲透理論及多元統(tǒng)計(jì)分析中的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注，對(duì)于誤差為NA序列的半?yún)?shù)回歸模型，目前已經(jīng)得到了許多重要的結(jié)果.例如：文獻(xiàn)［3］研究了NA樣本半?yún)?shù)回歸模型的矩相合性；文獻(xiàn)［4］研究了NA序列下半?yún)?shù)模型中小波估計(jì)的收斂速度；文獻(xiàn)［5］研究了NA樣本下半?yún)?shù)模型的漸近性質(zhì)；文獻(xiàn)［6］研究了誤差為NA的半?yún)?shù)模型的弱相合性等.由此可見(jiàn)對(duì)于NA序列的半?yún)?shù)模型的研究具有一定的意義.AANA序列是一類(lèi)廣泛的負(fù)相依序列，對(duì)其研究具有一定的價(jià)值.目前，已經(jīng)有大量的文獻(xiàn)研究AANA序列，如文獻(xiàn)［7］研究了Marcinkiewicz和Zygmund因變量的強(qiáng)大數(shù)定律的擴(kuò)展；文獻(xiàn)［8］研究了漸近幾乎負(fù)相依隨機(jī)變量的Rosenthal型不等式及其應(yīng)用.若隨機(jī)變量序列是NA序列，則它們一定是AANA序列，反之不真［7］.因此，AANA誤差的半?yún)?shù)回歸模型是NA誤差的半?yún)?shù)回歸模型的一個(gè)自然推廣，從而研究前者將具有重要的意義.目前誤差為AANA序列的半?yún)?shù)回歸模型的研究還沒(méi)有開(kāi)始，因此本文初步研究模型（1）和模型（2）.

2　估計(jì)方法及主要結(jié)果

注2.1相對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)誤差而言，結(jié)論中的矩條件要減弱.但要減弱以上結(jié)論中關(guān)于｛εi｝的矩條件，則需要減弱下文引理3.2和引理3.3中的矩條件.然而減弱引理3.2和引理3.3中的矩條件也許是一件非常困難的事，因此實(shí)質(zhì)性地減弱以上結(jié)果的條件并非易事.若｛εi｝為NA序列，則以上結(jié)論仍成立，由此可知，這些結(jié)論推廣了NA序列的半?yún)?shù)模型的相應(yīng)結(jié)論.另外，上述結(jié)論很容易推廣到多維的情形.

3　主要結(jié)果的證明

為了證明的需要，先給出如下引理：

引理3.1［9］隨機(jī)變量｛Xn，n≥1｝是AANA序列，其混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝，｛fi，i≥1｝是非增（或非減）的函數(shù)，則｛fn（Xn），n≥1｝仍是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列.

引理 3.2假定｛εi；1≤i≤n｝是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列，且滿足

引理 3.3假定｛εi；1≤i≤n｝是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列，且滿足

又設(shè)定義在閉區(qū)間［0，1］上的實(shí)函數(shù)序列｛ani（·），1≤i≤n，n≥1｝滿足：

引理3.4當(dāng)條件A1和A2滿足時(shí)，有

引理 3.5［10］設(shè)｛ηi；1≤i≤n｝是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，又設(shè)Wnj（t）是定義在［0，1］的權(quán)函數(shù)，且滿足下述條件：

定理2.1的證明由（3）式和模型（1），可得

定理2.2的證明由（4）式和模型（1）可得

定理2.3的證明由（5）式和模型（1）可得

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The strong consistency of semiparametric model with AANA errors

Zhang Ge，Hu Hongchang，Zhang Yu

（College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi435002，China）

We consider the semiparametric model with almost asymptotically negatively dependent errors.Using the least squares estimate and the weight function method，we obtain estimators of parameter，nonparameter and error variance，and discuss their strong consistency under some suitable conditions.We generalize the corresponding conclusion about semiparametric regression models with negatively associated random errors.

semiparametric model，asymptotically almost negatively associated，strong consistency

O212.2

A

1008-5513（2015）03-0296-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.011

2014-12-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471105，11471223）.

張鴿（1990-），碩士生，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì).

胡宏昌（1971-），博士，教授，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì).

2010 MSC：65U05