孟廣偉，王暉，周立明，李鋒，李霄琳

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含孔功能梯度壓電材料板的力電耦合無網(wǎng)格伽遼金法

孟廣偉，王暉，周立明，李鋒，李霄琳

(吉林大學 機械科學與工程學院，吉林 長春，130022)

為提高含孔功能梯度壓電材料板的計算精度，基于變分原理和功能梯度壓電材料的本構關系、幾何關系、邊界條件等，推導出功能梯度壓電材料的無網(wǎng)格方程，提出含孔功能梯度壓電材料板的力電耦合無網(wǎng)格伽遼金法。求解含孔功能梯度壓電材料板的力學問題，研究孔邊環(huán)向應力分布及力電集中問題，討論材料參數(shù)按某一方向呈指數(shù)函數(shù)梯度變化時功能梯度壓電材料的力學響應，與ANSYS計算結果進行比較，數(shù)值算例結果表明本方法正確可行且具有較高的精度，可求解任意梯度函數(shù)的功能梯度壓電材料問題。

功能梯度壓電材料；無網(wǎng)格伽遼金法；力電耦合

壓電材料以其獨特的力電耦合特性既可作為傳感元件，又能作為驅動元件，在智能結構和微機電系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用，應用范圍廣闊。近年來，隨著科技的發(fā)展，功能梯度的概念被引入到壓電材料的設計中，研制了功能梯度壓電材料。它是將壓電材料和功能梯度材料有機結合起來的一種新材料，兼?zhèn)鋲弘姾凸δ芴荻榷叩膬?yōu)點，即具有良好的機電耦合特性，同時又能消除層間界面，大大減緩層間界面處的集中應力，充分發(fā)揮各組分材料的優(yōu)良性能。功能梯度壓電材料已應用到航空航天、核能、生物醫(yī)學等高新技術領域。在工程實際中，由于用功能梯度壓電材料制作的器件往往以板和殼的結構形式出現(xiàn)，在力電耦合作用下，常常會因制造和使用過程中出現(xiàn)的夾雜和孔洞引起的應力和電場集中而導致功能喪失，因此研究含孔洞的功能梯度壓電材料板對提高相關器件性能和使用可靠性是十分必要的[1?5]。目前，國內外對功能梯度壓電材料的研究已取得大量的成果。Zhong等[6]對功能梯度壓電材料平板進行了力電耦合精確分析，Almajid等[7]基于經(jīng)典層合板理論，考慮電場作用下的力電耦合效應，分析了功能梯度壓電板的離面位移和應力場；Lezgy-Nazargah等[8]用有限元方法對功能梯度壓電材料梁進行了動態(tài)分析；Pak[9?10]用分布位錯法計算了有限裂紋鑲嵌在無限大的壓電介質中的電彈性場和能量釋放率，加載方式為力電同時加載。Kogan等[11]推出了橫觀各向同性體中含有橢球夾雜的極限情況圓幣型裂紋受軸對稱加載的強度因子。Chen等[12]利用Green方程探究了板受法向集中力和集中力偶作用時孔周的應力集中現(xiàn)象。Liu等[13]用擴展有限元法分析了功能梯度壓電材料瞬態(tài)熱沖擊斷裂問題。隨著功能梯度壓電材料的應用領域不斷擴大，功能梯度壓電材料的非均勻性和一些特殊的應用給功能梯度壓電材料結構的常規(guī)數(shù)值方法分析增加了難度。無網(wǎng)格法是近20多年發(fā)展起來的一類數(shù)值方法，該方法完全采用基于節(jié)點的近似，避免網(wǎng)格再生成的復雜過程，非常適合分析裂紋擴展、大變形、多場耦合問題。在眾多無網(wǎng)格方法中，無網(wǎng)格伽遼金法以其方法穩(wěn)定、精度高、對離散點分布不敏感和適合結構分析等優(yōu)點受到了較多的關注[14?19]。但在國內鮮有學者開展該方法在功能梯度壓電材料方面的研究。鑒于此，本文作者推導出功能梯度壓電材料的無網(wǎng)格方程，提出含孔功能梯度壓電材料的力電耦合無網(wǎng)格伽遼金法，采用伽遼金弱形式進行求解，研究孔邊環(huán)向應力分布及力電集中問題，討論了材料參數(shù)按某一方向呈指數(shù)函數(shù)梯度變化時功能梯度壓電材料的力學響應，與ANSYS軟件計算結果進行比較。

1 功能梯度壓電材料基本方程

功能梯度壓電材料場方程為

應變和電場相容方程為

本構方程為

在功能梯度壓電材料中，材料參數(shù)是在某一方向上按某一特定函數(shù)連續(xù)變化的。文中研究的功能梯度壓電材料參數(shù)服從指數(shù)分布

在平面應變情況下，壓電材料被看成是橫觀各向同性的，并將1?2平面定義為各向同性面。2軸為平面問題的厚度方向，3軸垂直于該平面，于是研究的是1?3平面內的問題。本構關系表示矩陣形式為

2 力電耦合無網(wǎng)格伽遼金法

使場函數(shù)的近似在各個節(jié)點的誤差的加權平方和最?。?/p>

式中：為函數(shù)在節(jié)點處的值；為節(jié)點在處的權函數(shù)值，它是以為中心的緊支函數(shù)；為影響域包含的接點數(shù)，因此，＞0。當達到最小值時，有如下關系式：

即

其中：

由式(14)得：

將式(18)代入式(10)，即可得無網(wǎng)格法近似函數(shù)：

同理

求解域內的勢能表達式：

在系統(tǒng)達到平衡時，系統(tǒng)的勢能最小，由式(9)得平衡方程：

式中：

3 數(shù)值算例

如圖1所示，含圓孔的功能梯度PZT?4壓電材料板，邊長=0.4 m，圓孔半徑與板邊長比/=1:10。板底邊電勢為0 V，上邊給定電勢0=?0.72 MV，板的上下邊應力=7.5 MPa，設其極化方向為3軸正向。材料的梯度變化方向為3軸正向，梯度函數(shù)，本文中取為0.5。

圖1 含圓孔功能梯度壓電板

底邊材料參數(shù)[14]為：=13.9×1010N/m2，= 7.78×1010N/m2，=7.43×1010N/m2，=11.5×1010N/m2，=2.56×1010N/m2，=?5.2 C/m2，=12.7 C/m2，=15.1 C/m2，=13.06×10?9C×m/V，=11.51×10?9C×m/V。

在求解域內離散1 656個節(jié)點，如圖2所示，采用40×40個背景網(wǎng)格，每個網(wǎng)格均采用4×4高斯點進行積分，節(jié)點影響域因子為1.7，采用三次樣條權函數(shù)來進行求解。其中力場罰函數(shù)取值為主對角線上最大元素的108倍，電場罰函數(shù)為主對角線上最大元素的106倍。

圖2 節(jié)點分布圖

由力電耦合無網(wǎng)格數(shù)值方法求得全場應力分布，圖3所示為ANSYS軟件計算的結果與無網(wǎng)格法計算的應力云圖對比，其中ANSYS采用6 256個網(wǎng)格作為參考解，通過對比發(fā)現(xiàn)，EEFGM求解結果與ANSYS軟件計算結果吻合地很好。