侯作奎

統計的基本思想方法是用樣本估計總體，即從總體中抽取一個樣本，通過對這個樣本的觀察、研究而得出結果，去估計總體的相應結果.這個統計思想為求解某些整數列問題開辟了一條新的途徑.

如果具有某些性質的整數在自然數列（“總體”）中的分布具有某種均勻性，那么就可考慮用統計思想方法.

下面舉例說明.1求某些整數列的指定項

例1從自然數列1，2，3，…，中依次劃去3的倍數，4的倍數，但其中5的倍數均保留（例如15，20都不劃去），將劃完后剩下的數依從小到大排列，構成數列{an}，其中a1=1，a2=2，a3=5，a4=7，…，那么a1997的值是（）.

A.3328B.3321C.3330D.3329

解①估計：前100項中，3的倍數共33個；4的倍數共25個；12的倍數共8個；15的倍數共6個；20的倍數共5個；60的倍數1個.

將自然數列的前n項按要求劃去所述各數后，剩下的數的個數設為φ（n），則

φ（100）=100-（33+25-8）+（6+5-1）=60.所以φ（100）100=35.

設{an}的前1997項是從數列{n}的前m項中取出的，則1997m≈35m≈3328項，即a1997近似3328或3329.

②驗證：為方便計算，取n=3330.

把前3330項自然數按要求劃去所述各數，其中3的倍數1110個；4的倍數832個；12的倍數277個；15的倍數共222個；20的倍數共166個；60的倍數55個.

所以φ（3330）=3330-（1110+832-277）+（222+166-55）=1998.即自然數列{n}的前3330中，含有數列{an}的前1998項.

因為3330不劃去，所以a1998=3330，因3329不劃去，故a1997=3329.選D.

評這里取前100個自然數為“樣本”，求出該樣本中“事件A”（{an}的前r項）的容量與樣本容量的比值，由此去估計出總體容量m（即數列{n}的項數）.然后對m及其附近的值加以驗算、修正即可獲得答案.

例2（1994年全國高中數學聯賽第2試第2題）將與105互素的所有正整數從小到大排成數列，試求出這個數列的第1000項.

解①估計：因105=3×5×7，那么與105互素的數，即是從自然數列1，2，3，…，中依次劃去3的倍數、5的倍數、7的倍數后剩下的數，設這些剩下的數依從小到大排序構成數列{an}.

考慮自然數列前105項中與105互素的自然數的個數.

3的倍數35個；5的倍數21個；7的倍數15個；15的倍數7個；21的倍數5個；35的倍數3個；105的倍數1個.

將自然數列的前n項按要求劃去所述各數后，剩下的數的個數設為φ（n），則φ（105）

=105-（35+21+15）+（7+5+3）-1=48.所以φ（105）105=48105=1635，即在自然數列的前105項中與105互素的數有48個，與樣本容量之比為1635.

于是數列{an}取前1000項時，自然數列{n}的項數大約為1000÷1635≈2187，即a1000在2187附近.

②驗證：把前2187個自然數按要求劃去所述各數，其中3的倍數共729個；5的倍數共437個；7的倍數共312個；15的倍數共145個；21的倍數共104個；35的倍數共62個；105的倍數共20個.

所以φ（2187）=2187-（729+437+312）+（145+104+62）-20=1000.即數列{n}的前2187項中含有數列{an}的前1000項.

因2187{an}，2186在數列{an}中，故a1000=2186.2求某些整數列的項數

例3（1987年上海高三數學競賽試題）已知等差數列{an}：5，8，11，…，與等差數列{bn}：1，5，9，…，均有300項，則有個數同時出現在這兩個數列中.

解{an}的第300項為a300=5+299×3=902，即為自然數列{n}的第902項；{bn}的第300項為b300=1+299×4=1197，即是{n}的第1197項.這兩個等差數列公差的最小公倍數是12.設數列{n}的前902項中，同時出現在這兩個數列中的項構成數列{cn}，問題即求{cn}的項數n.

實際上，數列{cn}是從數列{n}中，自第5項起，以間隔為12，依次取出各數，按原序排列構成的一個等差數列.故取數列{n}的前12項為“樣本”，其中僅有1項（即5）同在{an}與{bn}中，為樣本容量的112.則n902=112，由此估計n≈75.

驗證：因c75=5+（75-1）×12=893在{an}、{bn}中，但893+12=905>a300，即不在{an}中.故所求的n=75.

例4（普通高中課程標準實驗教科書，必修5第46頁第6題）有兩個等差數列2，6，

10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，求這個新數列的各項之和.

解{an}：2，6，10，…，190是從數列{n}中，自第2項起，以間隔為4，依次取出各數，按原序排列而成的數列；{bn}：2，8，14，…，200是從數列{n}中，自第2項起，以間隔為6，依次取出各數，按原序排列而成的數列；現從數列{n}中，自第2項起，以間隔為12，依次取出各數，按原序排列構成一數列{cn}.顯然{cn}是等差數列，且cn=2+12（n-1）同時出現在{an}、{bn}中，設其項數為n.

仿例3的求法，有n190=112，估計n=15或16.因c16=2+12×15=182<190，

c17=194不在數列{an}中.所以n=16.

所以{cn}前16項之和為16=16（2+182）2=1472.

例5（江蘇第三屆高二數學通訊賽題）設f（x）=x2+5x+6，且={0，1，2，…，1994}，

a∈，f（a）能被6整除，具有這樣性質的a的個數是.

解①估計：f（a）=a2+5a+6=a（a+5）+6.設a∈，f（a）被6整除，即a（a+5）被6整除的數，按從小到大排成一列，構成數列{an}，需求數列{an}的項數n.

考慮a在“樣本”：0，1，2，3，4，5中取值，易知a=0，1，3，4時滿足要求，此時a的取值個數與樣本容量的比值為23，的容量為1995.則

n1995=23n=1330.

②驗證：因1995=332×6+3，當a=6k+i（i=0，1，3，4）時，a（a+5）能被6整除.故將中的元素按從小到大，每連續(xù)6個數分為一組，可分為332組，余下三數：1992，1993，1994，每組有4項及1992，1993均在數列{an}中，但1994不在此數列中.

所以數列{an}中共有4×332+2=1330項.