李 悅

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,沈陽 110034）

1 背景介紹

廣義逆產(chǎn)生于線性方程組求解的實際需要,其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的關(guān)于積分算子的一種廣義逆，隨后由E.H.Moore在1920年提出任意矩陣的廣義逆定義，然而在其后的30年卻未能引起人們關(guān)注，直到1955年,R.Penrose定義了Moore的廣義逆矩陣之后,廣義逆矩陣的發(fā)展才開拓了一片新的天地。后來人們證明Moore和R.Penrose的兩種廣義逆矩陣是等價的,因而被稱為M一P廣義逆矩陣。至此，廣義逆矩陣正式誕生，此后的逐步發(fā)展也使其具有了廣泛的應(yīng)用。

2 幾種常見廣義逆矩陣的簡單介紹

我們引用方便的M—P方法來定義廣義逆矩陣：

設(shè)任意復(fù)數(shù)矩陣Amn,如果存在復(fù)數(shù)矩陣Bnm，滿足M-P方程，即

（1）ABA=A

（2）BAB=B

（3）（AB）H=AB

（4）（BA）H=BA

的全部或一部分，則稱B為A的廣義逆矩陣。由此易推算廣義逆矩陣有15種。在這里，重點研究和介紹五種，即：A-、自反廣義逆Ar-，極小范數(shù)廣義逆Am-，最小二乘廣義逆Al-及偽逆矩陣A+。

2.1 A-

滿足方程（1）的記為A-，其重要性質(zhì)有：

（1）A廣義逆的轉(zhuǎn)置等于A轉(zhuǎn)置的廣義逆，即（AT）-=（A-）T；

（2）若復(fù)方陣A滿秩，那么A的逆等于A的廣義逆，且A-唯一；

（3）秩（A）≤秩（A-）；

（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；

（5）線性方程組Ax=b有解（相容）當(dāng)且僅當(dāng)AA-b=b。

2.2 自反廣義逆Ar-

滿足方程（1）和（2）的是自反廣義逆。若X、Y都是A的廣義逆矩陣，則Z=XAY是A的自反廣義逆。且形式可表示任何自反廣義逆，其中C、B分別是行滿秩和列滿秩的復(fù)數(shù)矩陣，且矩陣A（秩為r）的滿秩分解式為A=BC。

2.3 極小范數(shù)廣義逆Am-

滿足方程（1）和（4）的是極小范數(shù)廣義逆，Am-可以用來求解相容線性方程組Ax=b，且極小范數(shù)廣義逆就是極小范數(shù)解相對應(yīng)的廣義逆矩陣。

2.4 最小二乘廣義逆Al-

最小二乘廣義逆滿足方程（1）和（3），特別的是，當(dāng)求不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解時可利用Al-，且G=Al-的充分必要條件是x=Gb是不相容方程組Ax=b的最小二乘解。

2.5 偽逆矩陣A+

全部方程均滿足的是偽逆矩陣，它也有很多重要的性質(zhì)，如：

（1）（A+）+=A；

（2）（AAH）+=（AH）+A+=（A+）HA+，（AHA）+=A+（AH）+A+（A+）H；

（3）A+=AH（AAH）+=（AHA）+AH

（4）若A是列滿秩矩陣，則A+=（AHA）-1AH。

這五種重要的、常用的廣義逆矩陣所具有的性質(zhì)在形式上，一定程度地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，更重要的是在系統(tǒng)理論、最優(yōu)化理論、現(xiàn)代控制理論、數(shù)理統(tǒng)計等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如此也更加推動了人們對廣義逆矩陣的深入研究，使之逐漸發(fā)展起來。下面來介紹廣義逆矩陣在科技、生產(chǎn)、生活中的實際應(yīng)用。

3 廣義逆矩陣在實際中的應(yīng)用

3.1 廣義逆矩陣在估計OFDM系統(tǒng)信道中的應(yīng)用

OFDM系統(tǒng)是具有時域和頻域信號的多載波系統(tǒng),在數(shù)學(xué)運算的范疇，這兩種信號都可以用序列的形式表示的特點,可以看成是矩陣的運算,因此可以用矩陣論的相關(guān)知識來討論和認(rèn)識OFDM系統(tǒng)。

為了處理問題的方便，我們應(yīng)用一個很重要的結(jié)論，即：卷積可以表示為矩陣向量的相乘,這樣時域序列的卷積就可以由矩陣向量乘積所表示。經(jīng)過推導(dǎo)可得序列卷積的矩陣形式，并利用兩個序列的變換描述上述結(jié)論，得到：HT=H1TH2。廣義逆矩陣的引入和實際應(yīng)用為人們研究信道對信號的影響開闊了新的思路和新的道路。

3.2 廣義逆矩陣在光學(xué)自動設(shè)計中的應(yīng)用

在透鏡的自動設(shè)計中，主要存在兩大問題：一是如何處理矩陣病態(tài)，二是如何退化和消除相關(guān)象差的影響。而廣義逆矩陣便可以對著兩大問題進行統(tǒng)一處理，在處理過程中適當(dāng)結(jié)合阻尼最小二乘法、逐列的正交化方法和一些適宜的算法、程序，將會得到更佳、更高效的處理效果，實用性也隨之增強。

3.3 廣義逆在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應(yīng)用

廣義逆在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在其對系統(tǒng)中的算法進行改進，達到簡化的目的。以Moore-Penrose廣義逆矩陣為基礎(chǔ)，在靜壓、動壓和修正參數(shù)方面改進算法，并對其進行了收斂性分析,最后的數(shù)字計算驗證由Matlab軟件實現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，改進算法具有明確的高效性，原來求解逆矩陣所需的迭代過程被避免，只需用原有時間的70%就可以達到同樣的精度。因此，通過改進算法可以提高傳感系統(tǒng)的可靠性、實時性要求和精度。

4 結(jié)束語

廣義逆的應(yīng)用非常廣泛，除以上介紹外，還有基于廣義逆矩陣密鑰協(xié)商協(xié)方案及修改、求解離散型動態(tài)投入產(chǎn)出模型、推導(dǎo)PADE逼近的Pfaffian計算公式、研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其推廣等等，這些對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生深入研究高等數(shù)學(xué)及價值具有重要的引導(dǎo)意義，同時，其性質(zhì)也體現(xiàn)了廣義逆形式上和應(yīng)用意義上的數(shù)學(xué)之美。廣義逆的發(fā)展和應(yīng)用前景美好，它將不斷深入發(fā)展，為生產(chǎn)、生活及科技作出更大的貢獻！

[1]姚波,王福忠主編.矩陣論[M].沈陽:遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，2012(08).

[2]林錳主編.矩陣論教程[M].北京：國防工業(yè)出版社，2012(08).