索江鐳，胡志堅(jiān)，劉宇凱，張子泳，王 尉

（1.武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.西安交通大學(xué) 電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；3.廣州供電局有限公司，廣東 廣州 510260）

0 引言

近年來(lái)，隨著“西電東送”戰(zhàn)略的實(shí)施以及特高壓交直流示范工程的建成，我國(guó)電網(wǎng)已初步形成了大規(guī)模、跨區(qū)域遠(yuǎn)距離的輸電模式。這大幅提升了我國(guó)能源的優(yōu)化調(diào)配能力，而同時(shí)也增加了系統(tǒng)發(fā)生區(qū)域低頻振蕩的危險(xiǎn)，給電力系統(tǒng)造成了極大的安全隱患[1]。廣域測(cè)量系統(tǒng) WAMS（Wide Area Measurement System）的發(fā)展與應(yīng)用給監(jiān)測(cè)和控制系統(tǒng)低頻振蕩創(chuàng)造了有利的條件，基于WAMS的廣域阻尼控制器 WADC（Wide Area Damping Controller）成為了解決系統(tǒng)區(qū)域振蕩問(wèn)題的有效方法之一[2]。目前我國(guó)包括清華大學(xué)、武漢大學(xué)、南方電網(wǎng)科學(xué)研究院、北京四方繼保自動(dòng)化股份有限公司等科研技術(shù)單位正致力于WADC的實(shí)際工程應(yīng)用，這是實(shí)現(xiàn)未來(lái)智能電網(wǎng)“自愈性”的重要措施之一[3]。

目前，對(duì)于WADC的設(shè)計(jì)方法大多基于經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論，主要有極點(diǎn)配置法、留數(shù)法、魯棒控制法、線(xiàn)性矩陣不等式法等[4]。這些方法需首先建立系統(tǒng)的詳細(xì)模型，然后在系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性化，再利用降階技術(shù)得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，最后完成控制器設(shè)計(jì)。對(duì)于大型互聯(lián)電力系統(tǒng)而言，其詳細(xì)模型往往難以準(zhǔn)確建立，并且隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷發(fā)展，大量新能源發(fā)電、FACTS、HVDC等先進(jìn)技術(shù)的廣泛應(yīng)用也將增加系統(tǒng)建模的難度。而在實(shí)際運(yùn)行中，系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)整以及運(yùn)行方式的變化也會(huì)對(duì)基于建模法得到的WADC產(chǎn)生不利影響[5]。因此，應(yīng)尋求更為實(shí)用有效的模型處理方法，以滿(mǎn)足WADC的實(shí)際工程應(yīng)用。

系統(tǒng)辨識(shí)理論的發(fā)展給WADC模型的建立提供了有效的解決辦法，由于其避免了建模法的諸多弊端，因此在近年來(lái)受到了廣泛的關(guān)注[6]。文獻(xiàn)[7]采用Prony算法對(duì)互聯(lián)電力系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，指出Prony算法具有計(jì)算速度快、辨識(shí)精度高的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也存在對(duì)噪聲敏感度大、對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)要求高的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]采用了子空間辨識(shí)方法，該方法不需要進(jìn)行迭代優(yōu)化，僅依靠一些簡(jiǎn)單的線(xiàn)性算法，具有實(shí)現(xiàn)容易的優(yōu)點(diǎn)，但由于該算法在辨識(shí)過(guò)程中需進(jìn)行QR分解和奇異值分解，在數(shù)據(jù)量較大時(shí)，其計(jì)算量將劇增，這對(duì)于在線(xiàn)辨識(shí)極為不利。文獻(xiàn)[9]采用了自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型辨識(shí)方法，該方法具有對(duì)激勵(lì)要求低、方法簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)，但在辨識(shí)過(guò)程中需通過(guò)最小二乘算法求解模型的自回歸部分和滑動(dòng)平均部分，若遇到系統(tǒng)輸入、輸出點(diǎn)較多時(shí)，將耗費(fèi)大量時(shí)間用于計(jì)算協(xié)方差矩陣，這限制了該方法在電力系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用。

近年來(lái)，辨識(shí)領(lǐng)域出現(xiàn)了如輔助模型辨識(shí)思想、多新息辨識(shí)思想、耦合辨識(shí)思想等一系列新方法[10]，給電力系統(tǒng)狀態(tài)空間辨識(shí)帶來(lái)了新的思路。鑒于此，本文從理論上分析了采用傳統(tǒng)最小二乘算法用于多輸入多輸出系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)造成計(jì)算量大的根本原因，引入了耦合最小二乘算法解決上述問(wèn)題，結(jié)合多新息思想推導(dǎo)了多新息耦合最小二乘算法的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了利用類(lèi)噪聲信號(hào)完成電力系統(tǒng)狀態(tài)空間辨識(shí)。4機(jī)2區(qū)以及10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 電力系統(tǒng)狀態(tài)空間辨識(shí)方法

1.1 問(wèn)題描述

電力系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)附近通常可用如下?tīng)顟B(tài)空間模型描述：

其中，A?Rn×n、B?Rn×r、C?Rm×n為系統(tǒng)矩陣；x（t）?Rn為狀態(tài)變量；u（t）?Rr為輸入變量；y（t）?Rm為輸出變量。通過(guò)Laplace變換后得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

其中，adj[]表示求矩陣的伴隨矩陣；det[]表示求矩陣的行列式；I為單位矩陣；α（s）和 Q（s）分別為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和矩陣多項(xiàng)式，其表達(dá)式如式（3）所示。

將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型，則有：

若系統(tǒng)存在隨機(jī)干擾項(xiàng) v（t）?Rm，則有：

此時(shí)，將式（3）代入式（5），則有：

定義參數(shù)矩陣θ、α、輸入信息向量φ（t）以及輸出信息矩陣ψ（t）如下：

則式（6）可轉(zhuǎn)化為如下形式：

其中，θ和α為待辨識(shí)參數(shù)矩陣。為方便計(jì)算，將參數(shù)矩陣θ和α合并為 ?，并定義信息矩陣Φ（t）如下：

其中，θi（i=1，2，…，m）為 θ 的第 i列；“?”表示求向量積；Im為單位矩陣，下標(biāo)代表維數(shù)。

則式（7）可表示為：

上式即為本文所采用的待辨識(shí)模型，對(duì)其展開(kāi)可得：

其中，ψi（t）為輸出信息矩陣 ψ（t）的第 i行。

對(duì)于如式（9）所示的待辨識(shí)模型，通?？刹捎米钚《朔ɑ蛘唠S機(jī)梯度法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，但值得注意的是，辨識(shí)模型中的信息矩陣Φ（t）包含了大量的零元。當(dāng)系統(tǒng)輸入輸出點(diǎn)較多時(shí)，將造成辨識(shí)計(jì)算量非常大，難以滿(mǎn)足在線(xiàn)辨識(shí)的要求。

1.2 最小二乘法

由于?中包含了所有待辨識(shí)參數(shù)，因此通過(guò)下述遞推算法則可得到第t時(shí)刻的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果：

其中，L（t）和 P（t）分別為增益矩陣和協(xié)方差矩陣。而對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，需將上述辨識(shí)過(guò)程以行為單位分解成為若干個(gè)子系統(tǒng)再分別進(jìn)行辨識(shí)，其過(guò)程如圖1所示，圖中 ym（t）、Φm（t）、Pm（t）分別為輸出變量、信息矩陣和協(xié)方差矩陣第t時(shí)刻迭代的第m 行，和分別為第 t時(shí)刻和第t-1時(shí)刻迭代結(jié)果的第m行。

最小二乘法的基本原理是通過(guò)極小化如下最小二乘準(zhǔn)則函數(shù)完成辨識(shí)過(guò)程：

圖1 多輸入多輸出系統(tǒng)遞推最小二乘法辨識(shí)示意圖Fig．1 Schematic diagram of MIMO system identification by recursive least square algorithm

由圖1可知，每個(gè)子系統(tǒng)的每次迭代過(guò)程都將計(jì)算高維協(xié)方差矩陣（總維數(shù)為（n+mnr）×（n+mnr），其中n、r、m分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量的維數(shù)）。而對(duì)于電力系統(tǒng)這樣的大系統(tǒng)，雖然最小二乘法辨識(shí)精度較高，但在進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)時(shí)往往因其計(jì)算量較大而難以滿(mǎn)足實(shí)際工程應(yīng)用的要求。因此，減少辨識(shí)過(guò)程中的冗余計(jì)算是采用遞推最小二乘法進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)的關(guān)鍵。

1.3 耦合最小二乘法

由圖1可知，每個(gè)子系統(tǒng)的辨識(shí)過(guò)程是相對(duì)獨(dú)立的，而這忽略了它們之間的聯(lián)系，造成了大量的冗余計(jì)算。為消除這樣的冗余計(jì)算過(guò)程，可在對(duì)第i個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)的時(shí)候，利用第i-1個(gè)子系統(tǒng)的辨識(shí)結(jié)果，辨識(shí)過(guò)程如圖2所示。

由于待辨識(shí)系統(tǒng)中包含了共同的參數(shù)向量α，因此隨著迭代的不斷進(jìn)行，α的估計(jì)值將不斷收斂于真實(shí)值，即第i-1個(gè)子系統(tǒng)在第t時(shí)刻的估計(jì)值ai-1（t）將比第 i個(gè)子系統(tǒng)在第 t-1 時(shí)刻的估計(jì)值ai（t-1）更接近于真實(shí)值。由于待辨識(shí)系統(tǒng)中包含了共同的信息向量φ，因此利用第i-1個(gè)子系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣 Pi-1（t）計(jì)算第 i個(gè)子系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣 Pi（t）也將大幅減少計(jì)算量。耦合最小二乘法的具體計(jì)算公式如下所示：

1.4 多新息耦合最小二乘算法

多新息辨識(shí)理論是系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域新出現(xiàn)的重要分支，該理論將傳統(tǒng)單新息修正技術(shù)拓展到多新息修正技術(shù)，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)變可提高辨識(shí)的精度[11]。在辨識(shí)過(guò)程中，通過(guò)不斷對(duì)估計(jì)值進(jìn)行修正，可逐漸逼近真值，這樣的過(guò)程可由下式表示：

其中，e（t）為新息。 通過(guò)式（20）與式（11）的對(duì)照，有：

將上式中的 y（t）和 Φ（t）分別用式（22）和式（23）替代，則單新息 e（t）則轉(zhuǎn)化為多新息形式 E（p，t），其中p為新息長(zhǎng)度。

將式（22）和式（23）分別替代式（14）—（19）中的yi（t）和 Φi（t），則可得到多新息耦合最小二乘算法。

至此，上述辨識(shí)過(guò)程可總結(jié)如下。

b.收集輸入數(shù)據(jù) u（t）和輸出數(shù)據(jù) y（t），構(gòu)成φ（t）、Y（p，t）以及 Γi（p，t）（i=1，2，…，m），其中 Γi（p，t）為Γ（p，t）的第 i行。

c.分別由式（12）和式（13）計(jì)算第1個(gè)子系統(tǒng)的增益矩陣 L1（t）和協(xié)方差矩陣 P1（t），并由式（14）刷新估計(jì)值。

d.對(duì)于第 i個(gè)子系統(tǒng)，分別由式（15）和式（16）計(jì)算增益矩陣 Li（t）和協(xié)方差矩陣 Pi（t），并由式（17）刷新估計(jì)值，直至第 m 個(gè)子系統(tǒng)。

2 電力系統(tǒng)狀態(tài)空間辨識(shí)相關(guān)問(wèn)題

2.1 激勵(lì)信號(hào)的選取

就系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題而言，激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)的可辨識(shí)性息息相關(guān)，在選取激勵(lì)信號(hào)時(shí)，通常期望其能夠激發(fā)系統(tǒng)所有的振蕩模態(tài)，并且具有一定的持續(xù)性。常用的激勵(lì)信號(hào)有方波信號(hào)、白噪聲信號(hào)或者如下激勵(lì)信號(hào)[12]：

圖2 耦合遞推最小二乘法辨識(shí)示意圖Fig.2 Schematic diagram of coupling recursive least square algorithm

其中，0≤t≤2T0，T0=T／2，T 為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)的周期；P0為激勵(lì)信號(hào)頻譜的幅值；[f1，fh]為持續(xù)信號(hào)頻帶范圍。上述激勵(lì)信號(hào)的優(yōu)點(diǎn)是在頻帶范圍內(nèi)的不同頻率點(diǎn)都具有相同的激勵(lì)強(qiáng)度，其波形如圖3所示（圖中Pd為標(biāo)幺值）。

圖3 激勵(lì)信號(hào)波形Fig.3 Waveform of exciting signal

由于電力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜龐大的系統(tǒng)，并且其電源結(jié)構(gòu)、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)逐年發(fā)生著新的變化，若在每次辨識(shí)時(shí)都在不同節(jié)點(diǎn)處額外注入如上文所述的特殊激勵(lì)信號(hào)，這無(wú)疑增加了辨識(shí)過(guò)程的復(fù)雜性，也不利于實(shí)際工程的應(yīng)用。因此，本文將利用電力系統(tǒng)中存在的因負(fù)荷變化、機(jī)組投切等隨機(jī)小擾動(dòng)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。

2.2 數(shù)據(jù)采樣的處理

對(duì)于電力系統(tǒng)狀態(tài)空間在線(xiàn)辨識(shí)問(wèn)題，信號(hào)采樣周期與采樣窗口長(zhǎng)度的選取對(duì)于辨識(shí)速度和精度都會(huì)造成一定的影響。本文在進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣的時(shí)候，主要根據(jù)以下3條原則：

a.根據(jù)奈奎斯特采樣定理，對(duì)于周期為T(mén)的激勵(lì)信號(hào)，采樣周期Ts應(yīng)滿(mǎn)足Ts＜T／2，但采樣周期不宜過(guò)小，否則將增加不必要的計(jì)算量；

b.應(yīng)保證采樣數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度ts＞T，通過(guò)增加數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度ts，可一定程度上提高辨識(shí)精度；

c.采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)N=ts／Ts不宜過(guò)大，否則將降低辨識(shí)速度。

2.3 輸入輸出位置的選取

由于本文對(duì)電力系統(tǒng)狀態(tài)空間進(jìn)行辨識(shí)的主要目的是用于WADC的設(shè)計(jì)，因此在選擇系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)的時(shí)候，可采用相關(guān)模式的能控／能觀指標(biāo)作為選取依據(jù)。但當(dāng)WADC采用多輸入多輸出控制結(jié)構(gòu)時(shí)，該方法不宜采用。因?yàn)樵谟?jì)算能控／能觀指標(biāo)時(shí)需首先得到系統(tǒng)矩陣A、B、C，這需要收集全部待選信號(hào)（如全網(wǎng)發(fā)電機(jī)功角、聯(lián)絡(luò)線(xiàn)有功等），得到一個(gè)高維多輸入多輸出系統(tǒng)，再通過(guò)辨識(shí)方法才能得到系統(tǒng)矩陣，這大幅增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)，不利于實(shí)際應(yīng)用。為解決此問(wèn)題，本文通過(guò)參與因子法作為選取的依據(jù)[13]。

其中，φji和ψji分別為左、右特征向量第j行第i列元素，反映了第j個(gè)狀態(tài)變量與第i個(gè)振蕩模式之間的相關(guān)性，是一個(gè)能控和能觀的綜合性指標(biāo)。由于矩陣A反映系統(tǒng)固有特性，與控制器輸入輸出點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，因此可任意選擇一組觀測(cè)信號(hào)，進(jìn)行單輸入單輸出的系統(tǒng)辨識(shí)，得到系統(tǒng)矩陣A，然后可通過(guò)左、右特征向量方便計(jì)算相關(guān)因子。

2.4 電力系統(tǒng)在線(xiàn)辨識(shí)流程與阻尼控制結(jié)構(gòu)

通過(guò)上述分析，電力系統(tǒng)在線(xiàn)辨識(shí)流程可用圖4表示。其中數(shù)據(jù)預(yù)處理環(huán)節(jié)主要是通過(guò)去趨勢(shì)、零均值化、規(guī)格化以及低通濾波等處理過(guò)程，將辨識(shí)信號(hào)中存在的信號(hào)偏移、直流分量、干擾噪聲等對(duì)辨識(shí)結(jié)果不利的部分去除，以達(dá)到提高辨識(shí)精度的目的。而對(duì)于辨識(shí)模型定階問(wèn)題，本文將采用貝葉斯準(zhǔn)則BIC（Bayesian Information Criterion）進(jìn)行處理。

圖4 電力系統(tǒng)在線(xiàn)辨識(shí)流程圖Fig.4 Flowchart of online power system identification

通過(guò)上述辨識(shí)過(guò)程，可得到電力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，然后根據(jù)如圖5所示的WADC設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)WADC的在線(xiàn)設(shè)計(jì)。

圖5 WADC在線(xiàn)設(shè)計(jì)示意圖Fig.5 Schematic diagram of WADC online design

3 仿真算例

3.1 4機(jī)2區(qū)測(cè)試系統(tǒng)

為驗(yàn)證本文算法的有效性，首先采用4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，如圖6所示，模型具體參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[14]。

圖6 4機(jī)2區(qū)測(cè)試系統(tǒng)Fig.6 4-machine 2-area test system

對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行特征值分析可知，系統(tǒng)存在3組振蕩模式，其中頻率為1.14 Hz和1.16 Hz的為區(qū)內(nèi)模式，頻率為0.61 Hz的為區(qū)間模式。區(qū)內(nèi)模式的阻尼通過(guò)本地電力系統(tǒng)穩(wěn)定器PSS（Power System Stabilizer）能得到有效提升，而對(duì)于區(qū)間模式的阻尼，可通過(guò)WADC進(jìn)行附加控制加以改善。

為模擬實(shí)際系統(tǒng)中因負(fù)荷的隨機(jī)投切產(chǎn)生的小擾動(dòng)類(lèi)噪聲信號(hào)，本文向節(jié)點(diǎn)7和節(jié)點(diǎn)9注入如圖7所示的經(jīng)低通濾波的高斯白噪聲信號(hào)（圖中幅值為標(biāo)幺值），其幅值為負(fù)荷水平的1%，系統(tǒng)各發(fā)電機(jī)功角與區(qū)域聯(lián)絡(luò)線(xiàn)有功時(shí)域響應(yīng)如圖8所示（圖中有功功率為標(biāo)幺值）。

圖7 隨機(jī)小擾動(dòng)信號(hào)Fig.7 Stochastic small disturbance signal

圖8 各發(fā)電機(jī)功角以及區(qū)域聯(lián)絡(luò)線(xiàn)有功的時(shí)域響應(yīng)Fig.8 Time-domain response of generator power angle and areal tie-line active power

根據(jù)上文所述原則，選取采樣周期Ts為0.05 s，數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度ts為20 s。并將發(fā)電機(jī)G1勵(lì)磁電壓和區(qū)域聯(lián)絡(luò)線(xiàn)有功作為系統(tǒng)矩陣A辨識(shí)的觀測(cè)信號(hào)。由于該辨識(shí)過(guò)程目的主要用于參與因子的計(jì)算，對(duì)于辨識(shí)精度要求要低于系統(tǒng)完整狀態(tài)空間的辨識(shí)，因此選用耦合最小二乘法進(jìn)行初步辨識(shí)，并通過(guò)貝葉斯準(zhǔn)則進(jìn)行模型定階，得到一個(gè)9階的初步辨識(shí)結(jié)果，然后計(jì)算各發(fā)電機(jī)功角的參與因子。

表1為初步辨識(shí)結(jié)果與實(shí)際系統(tǒng)特征值的比較，由于系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式的頻率和阻尼比能夠反映系統(tǒng)矩陣A的辨識(shí)精度，因此該辨識(shí)結(jié)果表明通過(guò)耦合最小二乘算法得到的辨識(shí)結(jié)果能夠基本表征系統(tǒng)矩陣A的主要特征。圖9為各發(fā)電機(jī)功角在模式1下參與因子的辨識(shí)結(jié)果與實(shí)際理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比。由圖9可知，雖然辨識(shí)系統(tǒng)與原系統(tǒng)的參與因子計(jì)算存在一定的誤差，但各發(fā)電機(jī)之間的相對(duì)關(guān)系并沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)變化，即同步發(fā)電機(jī)G1、G3、G4的參與因子相對(duì)于同步發(fā)電機(jī)G2要大，因此本文選擇同步發(fā)電機(jī) G3、G4與同步發(fā)電機(jī) G1的功角差 Δδ13和 Δδ14作為待辨識(shí)系統(tǒng)的反饋信號(hào)，將同步發(fā)電機(jī)G1和G3的發(fā)電機(jī)勵(lì)磁電壓作為待辨識(shí)系統(tǒng)的控制信號(hào)。進(jìn)行離線(xiàn)辨識(shí)時(shí)，可選取相對(duì)較大的新息長(zhǎng)度。而若采用本文方法進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)時(shí)，則新息長(zhǎng)度的選取應(yīng)在辨識(shí)誤差和耗時(shí)上進(jìn)行折中，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整試驗(yàn)。值得注意的是：表2中的采樣長(zhǎng)度也是影響辨識(shí)精度與速度的關(guān)鍵因素，其選取不宜過(guò)大或過(guò)小，應(yīng)根據(jù)2.2節(jié)原則b與c進(jìn)行選取，以保證辨識(shí)精度的同時(shí)盡量避免耗時(shí)較長(zhǎng)。

表1 實(shí)際模型和辨識(shí)模型特征值分析對(duì)比Table 1 Comparison of eigenvalues between actual model and identification model

圖9 辨識(shí)系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)的參與因子對(duì)比Fig.9 Comparison of participation factors between identification system and actual system

為直觀說(shuō)明本文辨識(shí)方法的有效性，將辨識(shí)模型與實(shí)際系統(tǒng)在相同持續(xù)激勵(lì)下的輸出響應(yīng)進(jìn)行比較。圖10和圖11分別表示的是在新息長(zhǎng)度為1、3和5這3種情況下，同步發(fā)電機(jī)G3、G4與同步發(fā)電機(jī)G1的功角差 Δδ13和 Δδ14（均為標(biāo)幺值）的辨識(shí)結(jié)果與實(shí)際測(cè)量結(jié)果的對(duì)比。圖中數(shù)據(jù)都是從第6秒開(kāi)始，這是因?yàn)楸孀R(shí)算法需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能收斂。由圖10和圖11可知，當(dāng)新息長(zhǎng)度的增加時(shí)，辨識(shí)結(jié)果與測(cè)量結(jié)果更為接近。

為進(jìn)一步比較不同新息長(zhǎng)度對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，本文將測(cè)試系統(tǒng)的2個(gè)輸出通道的誤差取平均值進(jìn)行比較，如表2所示。

上述仿真結(jié)果為本文采用的辨識(shí)算法在主頻為2.80 GHz的CPU、內(nèi)存為1.85 GB的PC上通過(guò)MATLAB 7.10.0版本進(jìn)行的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。由表2可知，采用傳統(tǒng)方法，即新息長(zhǎng)度為1時(shí)，辨識(shí)誤差較大。隨著新息長(zhǎng)度的提升，可降低辨識(shí)的相對(duì)誤差，但當(dāng)新息長(zhǎng)度增加到一定程度時(shí)，辨識(shí)誤差的減少幅度并不顯著，而耗時(shí)則大幅提升。因此，若采用本文方法

圖10 不同新息長(zhǎng)度下G3與G1功角差的辨識(shí)值與測(cè)量值的對(duì)比Fig.10 Comparison between identified and measured power angle difference between G1and G3for different innovation lengths

圖11 不同新息長(zhǎng)度下G4與G1功角差的辨識(shí)值與測(cè)量值的對(duì)比Fig.11 Comparison between identified and measured power angle difference between G1and G4for different innovation lengths

表2 新息長(zhǎng)度對(duì)辨識(shí)誤差和計(jì)算耗時(shí)的影響Table 2 Impact of innovation length on identification error and calculation time

3.2 New England測(cè)試系統(tǒng)

為說(shuō)明本文算法對(duì)于不同系統(tǒng)的適用性，選取New England測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行上述仿真試驗(yàn)，測(cè)試系統(tǒng)單線(xiàn)圖如圖12所示，測(cè)試系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。為模擬實(shí)際系統(tǒng)中存在的因負(fù)荷投切和參數(shù)波動(dòng)產(chǎn)生的隨機(jī)擾動(dòng)，向各負(fù)荷點(diǎn)注入經(jīng)低通濾波的高斯白噪聲信號(hào)，此時(shí)測(cè)試系統(tǒng)46條傳輸線(xiàn)有功響應(yīng)（標(biāo)幺值）如圖13所示。

圖12 New England測(cè)試系統(tǒng)Fig．12 New England test system

圖13 New England測(cè)試系統(tǒng)各線(xiàn)路有功響應(yīng)Fig．13 Active power response of each line of New England test system

選取同步發(fā)電機(jī)G1的勵(lì)磁電壓和節(jié)點(diǎn)9-39的聯(lián)絡(luò)線(xiàn)有功作為待辨識(shí)系統(tǒng)的觀測(cè)信號(hào)，通過(guò)貝葉斯準(zhǔn)則得到13階系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行特征值分析并與原系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比，如圖14所示。

從圖14可知，辨識(shí)系統(tǒng)能基本反映原系統(tǒng)的振蕩模式，由此可進(jìn)行系統(tǒng)參與因子的計(jì)算?？紤]到本文辨識(shí)目的主要用于WADC的設(shè)計(jì)，因此選取頻率為0.61 Hz和0.84 Hz的2個(gè)區(qū)域模式作為選擇依據(jù)，并將發(fā)電機(jī)功角參與因子較大者列入表3。

根據(jù)上述參與因子計(jì)算結(jié)果，選擇同步發(fā)電機(jī)G5、G7、G10勵(lì)磁側(cè)電壓作為待辨識(shí)系統(tǒng)輸入信號(hào)，選擇同步發(fā)電機(jī)功角差 Δδ5-10、Δδ7-10、Δδ9-10（同步發(fā)電機(jī)G10為平衡機(jī)）作為待辨識(shí)系統(tǒng)輸出信號(hào)。選擇新息長(zhǎng)度p=5，數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為2000個(gè)采樣點(diǎn)，在此情況下采用多新息耦合最小二乘算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，其結(jié)果與實(shí)際系統(tǒng)的在相同持續(xù)激勵(lì)下的輸出響應(yīng)如圖15所示（縱軸均為標(biāo)幺值）。

圖14 辨識(shí)系統(tǒng)與原系統(tǒng)特征值對(duì)比Fig．14 Comparison of eigenvalues between identification system and original system

表3 發(fā)電機(jī)功角參與因子Table 3 Power angle participation factor of synchronous generators

圖15 辨識(shí)模型與實(shí)際模型的輸出響應(yīng)對(duì)比Fig．15 Comparison of output response between identification model and actual model

由圖15可知，系統(tǒng)辨識(shí)模型與實(shí)際模型輸出響應(yīng)基本吻合，這說(shuō)明本文辨識(shí)結(jié)果精度較高。為進(jìn)一步量化辨識(shí)誤差與辨識(shí)時(shí)間，將結(jié)果列入表4，并與多新息最小二乘算法進(jìn)行比較。經(jīng)分析可知，本文方法在相同新息長(zhǎng)度情況下，誤差要略高于多新息最小二乘算法，但由于采用了耦合辨識(shí)思想，辨識(shí)時(shí)間要明顯優(yōu)于多新息最小二乘算法，這更符合WADC在線(xiàn)設(shè)計(jì)的要求。

表4 新息長(zhǎng)度對(duì)辨識(shí)誤差和計(jì)算耗時(shí)的影響Table 4 Impact of innovation length on identification error and calculation time

4 結(jié)論

a.本文從理論上分析了采用傳統(tǒng)最小二乘算法用于多輸入多輸出系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)將造成計(jì)算量大的根本原因在于，每次迭代過(guò)程都重復(fù)計(jì)算高維協(xié)方差矩陣，這使得最小二乘算法難以應(yīng)用于WADC的在線(xiàn)設(shè)計(jì)。

b.本文推導(dǎo)了多新息耦合最小二乘算法的基本計(jì)算方法，并提出采用該方法對(duì)電力系統(tǒng)狀態(tài)空間進(jìn)行辨識(shí)，避免了采用傳統(tǒng)最小二乘算法計(jì)算量大的問(wèn)題，克服了單新息最小二乘算法誤差高的問(wèn)題，具有一定在線(xiàn)辨識(shí)的能力。

c.本文提出的多新息耦合最小二乘算法隨著新息長(zhǎng)度的增加，辨識(shí)精度也會(huì)進(jìn)一步提升。但增加到一定程度后，辨識(shí)精度的提升并不明顯，而辨識(shí)時(shí)間卻大幅增加。因此在利用該方法進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，避免新息長(zhǎng)度選取過(guò)大或者過(guò)小造成的辨識(shí)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或者辨識(shí)精度過(guò)低的問(wèn)題。

d.本文提出的多新息耦合最小二乘算法在相同新息長(zhǎng)度上的辨識(shí)誤差上要略高于多新息最小二乘算法，但在耗時(shí)上要明顯優(yōu)于后者。因此，多新息最小二乘算法更符合在線(xiàn)辨識(shí)的要求。

e.本文提出利用電力系統(tǒng)中因符合投切、參數(shù)波動(dòng)等小幅擾動(dòng)進(jìn)行狀態(tài)空間辨識(shí)，避免了傳統(tǒng)辨識(shí)方法在每次辨識(shí)時(shí)需額外附加激勵(lì)才能進(jìn)行辨識(shí)的弊端，能方便在線(xiàn)完成系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的更新，具有較高的實(shí)用價(jià)值。