曲正偉，郝婉茹，王 寧

（燕山大學(xué) 電力電子節(jié)能與傳動(dòng)控制河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，高智能化精密設(shè)備的大量使用，對(duì)供電質(zhì)量要求越來(lái)越苛刻；同時(shí)由于大量擾動(dòng)負(fù)荷（如非線性負(fù)荷、不對(duì)稱負(fù)荷）接入電網(wǎng)或其他擾動(dòng)源（如線路短路故障、感應(yīng)電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)）存在，使得電能質(zhì)量問(wèn)題日益嚴(yán)重，極大地影響了公用電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行［1］。因此，對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析具有非常重要的意義。

目前常用的電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的分析方法主要有小波變換［2-3］、S 變換［4-5］、數(shù)學(xué)形態(tài)變換［6］、希爾伯特-黃變換（HHT）［7-8］和 Prony 算法［9］等。小波變換是有力的時(shí)頻分析方法，但小波函數(shù)的選擇對(duì)分析結(jié)果的影響較大；S變換雖有較好的時(shí)頻性，但采樣頻率及采樣頻帶的選擇對(duì)其性能影響很大，且抗噪能力較弱；數(shù)學(xué)形態(tài)變換方法是在積分幾何研究成果的基礎(chǔ)上提出的，其性能易受結(jié)構(gòu)元素的影響，針對(duì)復(fù)雜的信號(hào)難以選取合適的結(jié)構(gòu)元素；HHT方法和Prony算法雖能自適應(yīng)地得到信號(hào)的頻率、幅值和相角等局部信息，但這2種算法只能表達(dá)連續(xù)信號(hào)。

原子分解技術(shù)是近年來(lái)信號(hào)處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。該方法源于Mallat及Zhang提出將信號(hào)在過(guò)完備的非正交基上分解的思想［10］。 文獻(xiàn)［11-14］均將原子分解算法應(yīng)用于電能質(zhì)量擾動(dòng)分析中：文獻(xiàn)［11］以離散的Gabor原子庫(kù)和傳統(tǒng)的匹配追蹤算法為基礎(chǔ)，雖能從電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)中提取特征分量，但計(jì)算量相當(dāng)大；文獻(xiàn)［12-13］構(gòu)造出適合電力系統(tǒng)擾動(dòng)信號(hào)的離散相關(guān)原子庫(kù)，相比文獻(xiàn)［11］，在一定程度上降低了計(jì)算量，但仍應(yīng)用傳統(tǒng)的匹配追蹤算法進(jìn)行迭代求解，不利于電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的在線分析；文獻(xiàn)［14］采用粒子群優(yōu)化（PSO）算法對(duì)匹配追蹤過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化并將其應(yīng)用于間諧波的檢測(cè)分析中，但并未對(duì)其他電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。

本文為克服原子分解算法計(jì)算量大的缺點(diǎn)，在離散的相關(guān)原子庫(kù)及傳統(tǒng)匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上，從多方面對(duì)原子分解算法進(jìn)行優(yōu)化，采用優(yōu)化后的快速算法對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)合算例驗(yàn)證了該方法的有效性和正確性。

1 原子稀疏分解

1.1 原子分解理論

原子分解理論中，為了達(dá)到信號(hào)稀疏分解的目的，首先需在信號(hào)空間中構(gòu)建一個(gè)過(guò)完備的展開(kāi)函數(shù)集合，這種過(guò)完備集合中的基稱為原子，由原子組成的過(guò)完備集合稱為原子庫(kù)。信號(hào)可根據(jù)自身的特點(diǎn)在高度冗余的原子庫(kù)中采取貪婪分解策略自適應(yīng)地選出一組最佳匹配原子，這組最佳匹配原子即可用來(lái)表示該信號(hào)，此過(guò)程稱之為原子稀疏分解。

原子稀疏分解有兩大核心問(wèn)題，即如何構(gòu)建合理的原子庫(kù)以及如何自適應(yīng)地尋找最佳匹配原子。

1.2 匹配追蹤算法

信號(hào)的原子稀疏分解過(guò)程通常采用一種貪婪自適應(yīng)的分解策略——匹配追蹤MP（Matching Pursuit）算法。

定義原子庫(kù)D=（gγ）γ?τ，其中γ為原子參數(shù)組，τ為原子參數(shù)組集合，且原子作歸一化處理，即‖gγ‖=1。

其中，〈·，·〉為兩者的內(nèi)積。

對(duì)每次分解出的殘余分量重復(fù)按式（1）、式（2）進(jìn)行迭代分解。

n次迭代分解后，信號(hào)f表示為：

即將信號(hào)f表示為n個(gè)原子的線性組合。

由式（1）—（3）可知，每次分解過(guò)完備原子庫(kù)中的所有原子都要與待分析信號(hào)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，而且要進(jìn)行多次分解，從而使計(jì)算量相當(dāng)大，過(guò)大的計(jì)算量限制了原子分解算法的實(shí)用性。

1.3 電能質(zhì)量擾動(dòng)的連續(xù)相關(guān)原子庫(kù)

為提高信號(hào)分解的精度與速度，原子庫(kù)中的原子可根據(jù)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)加以構(gòu)造。這種針對(duì)特定信號(hào)構(gòu)造的原子庫(kù)稱為相關(guān)原子庫(kù)［15］。

a.基波原子庫(kù)。

基波是電網(wǎng)信號(hào)中的主要成分，為了對(duì)電網(wǎng)中的擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行更精確的分析，需首先將基波分量提取出來(lái)。為此，根據(jù)基波信號(hào)的特點(diǎn)構(gòu)建基波原子為：

其中，原子包含 4 個(gè)參數(shù)（ f1，φ1，ts1，te1），f1為基波頻率，φ1為基波的相位，ts1與te1分別為基波的開(kāi)始與終止時(shí)刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ1為原子的歸一化系數(shù)。設(shè)待分析信號(hào)f（t）采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N，采樣頻率為fs，則基波原子參數(shù)的取值范圍為49 Hz≤f1≤51 Hz，1 /fs≤ts1＜te1≤N /fs，0≤φ1≤2π。

b.類基波原子庫(kù)。

電壓暫升、電壓暫降及電壓中斷等擾動(dòng)信號(hào)的頻率與基波頻率相同，統(tǒng)稱這類擾動(dòng)信號(hào)為類基波擾動(dòng)［12］。為此，構(gòu)建類基波原子為：

其中，原子包含 3 個(gè)參數(shù)（φ2，ts2，te2），φ2為擾動(dòng)的相位，ts2與 te2分別為擾動(dòng)的開(kāi)始與終止時(shí)刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ2為原子的歸一化系數(shù)。類基波原子的參數(shù)取值范圍為 0≤φ2≤2π，1 /fs≤ts2＜te2≤N /fs。

c.脈沖原子庫(kù)。

將持續(xù)時(shí)間非常短的電壓尖峰、電壓切痕等擾動(dòng)統(tǒng)稱為脈沖擾動(dòng)。為此，根據(jù)電網(wǎng)中該擾動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)造脈沖原子為：

其中，原子包含 2 個(gè)參數(shù)（ts3，te3），ts3與te3分別為擾動(dòng)的開(kāi)始與終止時(shí)刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ3為原子的歸一化系數(shù)。脈沖原子的參數(shù)取值范圍為1/fs≤ts3＜te3≤N /fs。

d.振蕩原子庫(kù)。

將電網(wǎng)中衰減振蕩、發(fā)散振蕩、諧波及間諧波等擾動(dòng)信號(hào)統(tǒng)稱為振蕩擾動(dòng)，根據(jù)電網(wǎng)中該信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)造的振蕩原子為：

其中，包含 5 個(gè)參數(shù)（f4，φ4，ρ，ts4，te4），f4為擾動(dòng)頻率，φ4為擾動(dòng)的相位，ρ為衰減系數(shù)，ts4與te4分別為擾動(dòng)的開(kāi)始與終止時(shí)刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ4為原子的歸一化系數(shù)。振蕩原子的參數(shù)取值范圍為1/fs≤ts4＜te4≤N /fs，0≤φ4≤2π，1 Hz≤f4≤1600 Hz，衰減系數(shù)的范圍可根據(jù)振蕩信號(hào)的類型來(lái)具體確定。

e.閃變?cè)訋?kù)。

根據(jù)電網(wǎng)中閃變信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)造的閃變?cè)訛椋?/p>

其中，包含 4 個(gè)參數(shù)（f5，φ5，ts5，te5），f5為擾動(dòng)的頻率，φ5為擾動(dòng)的相位，ts5與te5分別為擾動(dòng)的開(kāi)始與終止時(shí)刻；u（t）為單位階躍函數(shù)；kγ5為原子的歸一化系數(shù)。閃變?cè)拥膮?shù)取值范圍為0.05 Hz≤f5≤35 Hz，1 /fs≤ts5＜te5≤N /fs，0≤φ5≤2π。

設(shè)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的幅值為A，若上述原子gγ（t）的參數(shù)能匹配擾動(dòng)信號(hào)，則有：

傳統(tǒng)MP算法采用遍歷的方法來(lái)找尋最匹配原子，因此只能通過(guò)原子參數(shù)離散化來(lái)構(gòu)造與傳統(tǒng)MP算法相配合的冗余原子庫(kù)，而參數(shù)的離散值中可能不含設(shè)定值，這樣會(huì)導(dǎo)致分解結(jié)果不夠準(zhǔn)確，在相同的逼近誤差下，重構(gòu)目標(biāo)信號(hào)所需的離散原子數(shù)目將遠(yuǎn)大于連續(xù)原子，考慮到上述缺陷，本文不再對(duì)每種原子的參數(shù)進(jìn)行離散化處理。

2 原子分解算法的優(yōu)化

2.1 降低原子庫(kù)的規(guī)模

快速傅里葉變換（FFT）是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法，可對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。由于衰減振蕩、諧波等擾動(dòng)信號(hào)的頻率范圍非常寬，如果直接采用振蕩原子庫(kù)進(jìn)行搜索提取，計(jì)算量將很大。為了減少計(jì)算量，可以在匹配追蹤計(jì)算前，采用FFT對(duì)最優(yōu)原子的頻率進(jìn)行預(yù)求解，目的是降低原子庫(kù)的規(guī)模。該方法的具體步驟如下：

a.采用FFT計(jì)算電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的頻譜；

b.找尋與頻譜極值相對(duì)的頻率fr；

c.將頻率fr量化為原子的頻率，以該頻率為中心，采用MP算法在小范圍內(nèi)搜索最優(yōu)原子的頻率。

2.2 PSO匹配追蹤算法

PSO算法是通過(guò)模擬鳥(niǎo)群覓食行為而發(fā)展起來(lái)的一種基于群體協(xié)作隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法［16］。采用PSO算法優(yōu)化MP算法是將原子與信號(hào)或信號(hào)殘差內(nèi)積的絕對(duì)值作為適應(yīng)度函數(shù)，每個(gè)原子看作為一個(gè)粒子，粒子中變量作為待尋優(yōu)參數(shù)，例如，提取衰減振蕩信號(hào)時(shí)，其待尋優(yōu)參數(shù)為（f4，φ4，ρ，ts4，te4）；提取閃變信號(hào)時(shí)，其待尋優(yōu)參數(shù)為（f5，φ5，ts5，te5）。

PSO算法優(yōu)化的MP算法的具體步驟如下。

a.初始化粒子群，設(shè)最大迭代次數(shù)為M，種群大小為Nm，在既定范圍內(nèi)隨機(jī)生成粒子中參變量的位置和速度。

c.將個(gè)體極值pbestnd與粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行對(duì)比，若當(dāng)前值更優(yōu)，則用當(dāng)前值更換pbestnd，并用該粒子的位置更替?zhèn)€體最優(yōu)位置。

d.將全局極值gbestd與粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行對(duì)比，若比gbestd更優(yōu)，則用此值更替gbestd，并用該粒子的位置更替全局最優(yōu)位置。

e.分別利用式（11）、式（12）更換粒子的速度和位置。

其中，w為慣性權(quán)重，c1與c2為加速系數(shù)，本文采用文獻(xiàn)［16］中的參數(shù)選取方法，選 w=0.729 8，c1=c2=1.4962間的隨機(jī)數(shù)為第 m 次迭代時(shí)第n個(gè)粒子的第d維的速度為第m次迭代時(shí)第n個(gè)粒子的第d維的當(dāng)前位置為第m次迭代時(shí)第n個(gè)粒子的第d維的個(gè)體極值點(diǎn)的位置為整個(gè)粒子群在第m次迭代時(shí)第d維的全局極值點(diǎn)的位置。

f.重復(fù)步驟b—e，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)M時(shí)終止迭代。

在迭代分解過(guò)程中，采用連續(xù)變量作為中間變量，得到的結(jié)果也是連續(xù)值，這樣在采用PSO算法優(yōu)化MP算法的同時(shí)也完成了離散參數(shù)連續(xù)化的目的。

3 原子分解快速算法在擾動(dòng)信號(hào)特征提取中的應(yīng)用

采用原子分解的快速算法對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取的具體步驟如下。

a.采用基波原子庫(kù)及PSO算法優(yōu)化的MP算法，提取出基波分量，獲取殘余信號(hào)。

b.根據(jù)擾動(dòng)信號(hào)的不同，采用相應(yīng)的連續(xù)相關(guān)原子庫(kù)。

c.如果采用振蕩原子庫(kù)提取衰減振蕩、諧波等信號(hào)，則在匹配追蹤計(jì)算前，采用FFT對(duì)最優(yōu)原子的頻率進(jìn)行預(yù)先求解。

d.采用PSO算法優(yōu)化的MP算法，在連續(xù)的相關(guān)原子庫(kù)中搜尋與當(dāng)前信號(hào)內(nèi)積最大的原子，獲得最匹配的原子，存儲(chǔ)該原子并計(jì)算殘余信號(hào)及殘余能量值。

e.當(dāng)殘余能量值小于設(shè)定的閾值或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值時(shí)，終止迭代。

f.每次迭代產(chǎn)生的原子都包含電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的實(shí)用參數(shù)，用這些原子來(lái)重構(gòu)擾動(dòng)信號(hào)，用相似度Cm來(lái)衡量其重構(gòu)性能，其定義為：

其中，f為原始信號(hào)；fm為m次的重構(gòu)信號(hào)。

4 算例分析

4.1 原子分解快速算法性能分析

以諧波信號(hào)為例，對(duì)本文提出的原子分解快速算法的性能進(jìn)行分析，取諧波信號(hào)的采樣頻率為12800 Hz，采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為0.2 s，每周期采樣256個(gè)點(diǎn)，基波頻率為50 Hz，并在信號(hào)中加入20 dB的高斯白噪聲。設(shè)定其仿真參數(shù)如表1所示，表中A為標(biāo)幺值，后同。諧波的分解信號(hào)及重構(gòu)信號(hào)如圖1所示，其中U0為原始波形，U0f為提取的基波分量，U0h1為提取的75 Hz間諧波分量，U0h2為提取的3次諧波分量，U0h3為提取的5次諧波分量，U0r為其重構(gòu)波形。由重構(gòu)波形可以看出該算法有很好的抗噪性能。獲取的匹配參數(shù)如表1所示，該諧波信號(hào)的表達(dá)式為：u（t）=cos（100πt+π /3）＋A1cos（150πt+π /2）＋

表1 諧波的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 1 Simulation and matching parameters of harmonics

圖1 諧波信號(hào)的原子快速分解和重構(gòu)波形Fig.1 Waveforms of atom rapid decomposition and reconstruction for harmonics

當(dāng) 0 s≤t≤0.15 s時(shí)，式中 A1=0.5，t為其他值時(shí)A1為 0；當(dāng) 0.05 s≤t≤0.2 s時(shí)，式中 A2=0.5，t為其他值時(shí) A2為 0；當(dāng) 0.1 s≤t≤0.2 s時(shí)，式中 A3=0.3，t為其他值時(shí)A3為0。

由表1的匹配參數(shù)可知，頻率、相位的誤差都很小，幅值的誤差略大，主要是提取基波幅值時(shí)誤差較大，導(dǎo)致在后續(xù)迭代中誤差累積，使得在提取其他分量的幅值時(shí)誤差越來(lái)越大；但仍符合諧波分析的精度要求，而且可較精確地給出頻率的突變時(shí)刻，可實(shí)現(xiàn)諧波的實(shí)時(shí)跟蹤功能。

為驗(yàn)證原子分解快速算法的穩(wěn)定性，對(duì)該信號(hào)重復(fù)進(jìn)行20次試驗(yàn)，得到各分量參數(shù)的最大相對(duì)誤差如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知該算法是比較穩(wěn)定。

表2 諧波各參數(shù)的最大相對(duì)誤差Table 2 Largest relative error of harmonic parameters

為比較離散相關(guān)原子庫(kù)和連續(xù)相關(guān)原子庫(kù)對(duì)算法性能的影響，采用文獻(xiàn)［13］提出的離散化方法，對(duì)振蕩原子庫(kù)中原子參變量（f4，φ4，ρ，ts4，te4）進(jìn)行離散化處理，再采用PSO算法優(yōu)化MP算法對(duì)其進(jìn)行迭代分解，迭代26次（即需26個(gè)原子）后，其相似度才達(dá)到0.9818，耗時(shí)59.58 s。而采用連續(xù)相關(guān)原子庫(kù)只需迭代4次，相似度就達(dá)到0.9909，耗時(shí)7.182 s?？梢?jiàn)原子參數(shù)連續(xù)化可以顯著地提高分解結(jié)果的準(zhǔn)確度并降低計(jì)算量。

4.2 電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的特征提取

（1）電壓暫降。

電壓暫降信號(hào)的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表3所示。

重構(gòu)信號(hào)的相似度Cm達(dá)0.9902。由表3得出，基波幅值、電壓暫降幅值、電壓暫降相位的相對(duì)誤差分別為1.2100%、6.9000%、2.1403%，而其他匹配參數(shù)的相對(duì)誤差都很小，基本可以忽略?；ǚ迪鄬?duì)誤差較大的主要原因是電壓暫降與基波具有相同的頻率，這樣暫降信號(hào)會(huì)使基波的能量變小。在匹配追蹤的過(guò)程中，獲取的最大內(nèi)積也對(duì)應(yīng)地減小，根據(jù)式（10）求取的幅值就會(huì)比設(shè)定值小。由于在采用基波原子庫(kù)提取基波時(shí)存在誤差，導(dǎo)致在提取基波分量后的殘余信號(hào)仍含有少量的基波成分。使得采用類基波原子庫(kù)提取暫降信號(hào)時(shí)出現(xiàn)誤差。雖然暫降信號(hào)幅值的相對(duì)誤差較大，但由于暫降信號(hào)的幅值較小，故該誤差在可接受的范圍內(nèi)。

表3 電壓暫降仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 3 Simulation and matching parameters of voltage sag

（2）閃變。

閃變的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表4所示。

表4 閃變的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 4 Simulation and matching parameters of flicker

重構(gòu)信號(hào)的相似度Cm達(dá)0.9907。由表4得出，閃變幅值、閃變相位的相對(duì)誤差分別為1.500%、3.7709%，造成這2個(gè)參數(shù)誤差較大的原因有2個(gè)：一是受殘余基波分量的影響，二是閃變?cè)谄鹗紩r(shí)刻的值比較小，導(dǎo)致在強(qiáng)噪聲條件下不易分辨。

（3）衰減振蕩。

衰減振蕩的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表5所示。

表5 衰減振蕩的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 5 Simulation and matching parameters of damping oscillation

重構(gòu)信號(hào)相似度為0.9910。由表5得出，衰減系數(shù)、衰減振蕩幅值的誤差分別為1%、3.04%，造成這2個(gè)參數(shù)誤差較大的原因可能是受到了強(qiáng)噪聲和殘余基波分量的影響。

提取衰減振蕩的結(jié)束時(shí)間不穩(wěn)定，這主要是因?yàn)殡S著時(shí)間的推移衰減振蕩逐漸變小，到某一時(shí)間后，衰減的特征不再明顯，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確匹配，所以提取的結(jié)束時(shí)刻會(huì)不穩(wěn)定。

（4）電壓尖峰。

電壓尖峰的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)如表6所示。

表6 電壓尖峰的仿真及匹配參數(shù)Table 6 Simulation and matching parameters of voltage spike

重構(gòu)信號(hào)的相似度為0.9904，獲得的匹配參數(shù)都比較理想。

（5）多重?cái)_動(dòng)。

多重?cái)_動(dòng)的仿真參數(shù)及獲取的匹配參數(shù)如表7所示。

表7 多重?cái)_動(dòng)的仿真參數(shù)及匹配參數(shù)Table 7 Simulation and matching parameters of multiple disturbances

重構(gòu)信號(hào)的相似度為0.9909，由表7可知，匹配參數(shù)與理論設(shè)定值的誤差都較小，可以較準(zhǔn)確地提取多重?cái)_動(dòng)中的各個(gè)分量。

5 結(jié)論

本文提出一種電能質(zhì)量擾動(dòng)分析的原子分解快速算法，為電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的分析提供了一種新的途徑。理論分析和仿真算例表明，本文提出的算法可快速有效地建立電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的參量化解析表示，克服了傳統(tǒng)原子分解算法因計(jì)算量大而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的缺點(diǎn)。采用原子分解快速算法提取的擾動(dòng)信號(hào)特征量（如幅值、相位、頻率、起止時(shí)間、衰減系數(shù)等）可作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等分類器的輸入量，便于對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分類識(shí)別。