翟宇文，唐曉明，魏周拓

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徑向速度變化地層井孔聲場(chǎng)的快速模擬

翟宇文，唐曉明，魏周拓

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266580)

在聲波測(cè)井過(guò)程中，為了精細(xì)刻畫井孔附近巖石和流體特性所引起的速度徑向變化規(guī)律，常用的方法是對(duì)井孔到原狀地層的區(qū)域進(jìn)行徑向分層，然后利用傳播矩陣的方法來(lái)模擬丼周的速度變化，然而，這種方法用于波形數(shù)據(jù)反演的過(guò)程中十分耗時(shí)。提出了一種利用Born近似快速模擬縱波速度徑向變化的方法。推導(dǎo)了速度擾動(dòng)時(shí)散射場(chǎng)積分表達(dá)式，并據(jù)此計(jì)算徑向速度擾動(dòng)模型下的散射聲場(chǎng)，得到其近似解析解。數(shù)值模擬結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的方法相比，新的近似解能給出合理的模擬結(jié)果，提供了一種利用聲波波形數(shù)據(jù)反演速度徑向變化的新思路。

聲波測(cè)井;Born近似;散射波

0 引言

在一般的聲波測(cè)井環(huán)境下，井壁周圍的地層彈性波速度與遠(yuǎn)離井壁處的速度相比，會(huì)發(fā)生一系列變化。造成這種變化有多種原因，其中包括鉆井或者應(yīng)力釋放造成的地層破壞，鉆井流體的侵入造成地層孔隙流體性質(zhì)變化，以及地層巖石中含有的粘土吸水后與鉆井液體發(fā)生作用造成的粘土膨脹現(xiàn)象等。

為了研究地層速度的徑向變化這一現(xiàn)象，傳統(tǒng)的方法是對(duì)地層進(jìn)行徑向分層(如圖1所示)，將其近似為一個(gè)階梯變化的多層柱狀結(jié)構(gòu)，對(duì)多層柱狀結(jié)構(gòu)用Thomson-Haskell傳播矩陣[1,2]的方法來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬，分層越細(xì)，獲得的速度徑向變化也就越準(zhǔn)確。然而，反演過(guò)程中，分層太多會(huì)導(dǎo)致工作量加大，耗時(shí)明顯增加。圖1中，我們用最簡(jiǎn)單的單一蝕變地層模型來(lái)闡述地層速度的徑向變化。

Hornby[3]假設(shè)井壁附近地層的速度在井軸方向和井徑方向都有變化，利用走時(shí)層析技術(shù)重建了井壁附近地層的二維速度剖面。這種方法采用的走時(shí)測(cè)量的(源和接收器)位形與淺層地震勘探中常用的彎曲回折射線的層析成像技術(shù)的位形[4]相似。該技術(shù)先對(duì)二維模型用射線追蹤方法進(jìn)行正演計(jì)算得到聲波走時(shí)，然后再使得計(jì)算和實(shí)測(cè)的走時(shí)之差達(dá)到最小，得到與數(shù)據(jù)符合最好的速度分布模型。該技術(shù)僅僅利用波的走時(shí)就得到了地層速度變化的信息，但是，將這種技術(shù)用于聲波測(cè)井日常處理的最大障礙之一是該方法計(jì)算耗時(shí)。如果需要對(duì)整個(gè)測(cè)井區(qū)間的大量源與接收器的位置計(jì)算二維層析剖面，那么計(jì)算量將是巨大的。一種高效而又實(shí)用的層析成像重建技術(shù)是推廣這一應(yīng)用的關(guān)鍵。

本文探究一種新的方法來(lái)快速模擬地層速度在徑向上的變化。根據(jù)地震勘探領(lǐng)域?qū)椥圆ㄉ⑸涞难芯?，我們也可以將地震勘探領(lǐng)域中常用的線性近似方法——Born近似[5]，引入聲波測(cè)井領(lǐng)域，用來(lái)模擬地層縱波的徑向速度變化。本文在Aki[6]等求出的散射波積分表達(dá)式的基礎(chǔ)上，通過(guò)合理的近似，對(duì)積分式進(jìn)行求解，得到了散射波的近似解析解。然后，將模擬的結(jié)果和傳統(tǒng)計(jì)算方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，當(dāng)Born近似的條件被滿足時(shí)(通常的測(cè)井環(huán)境情況均可以滿足)，利用近似解析解模擬縱波徑向速度變化能夠取得滿意的結(jié)果。因此，這種方法用來(lái)快速反演丼周附近地層的縱波速度變化參數(shù)。

1 Born近似模型

Aki和Richaids在《定量地震學(xué)》[5]中討論了弱非均勻介質(zhì)中的彈性波，并認(rèn)為整個(gè)地震圖是由兩部分組成的，分別是原生波和散射波，原生波也就是在均勻介質(zhì)中傳播的入射波，散射波則是入射波在傳播過(guò)程中遇到非均勻介質(zhì)后產(chǎn)生散射而形成的波。對(duì)于井孔中的聲波場(chǎng)來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為接收器接收到的波場(chǎng)等于聲源在均勻介質(zhì)中傳播的波場(chǎng)加上非均勻介質(zhì)存在時(shí)產(chǎn)生的散射波。對(duì)于一個(gè)點(diǎn)聲源，可以寫成如下形式：

只考慮地層中的速度擾動(dòng)，并推導(dǎo)擾動(dòng)聲波場(chǎng)的積分表達(dá)式，最終得出在進(jìn)行Born近似后，散射波的積分表達(dá)式如式(2)所示：

(2)

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系可以得出：

(3)

將式(1)、(3)代入式(2)中，可以得到散射波的積分解如式(4)所示：

2 數(shù)值模擬

根據(jù)前文的敘述，當(dāng)給出速度擾動(dòng)項(xiàng)的具體函數(shù)表達(dá)式后，就可以用式(4)快速計(jì)算散射波。用簡(jiǎn)單的蝕變模型來(lái)計(jì)算式(4)的積分。

首先，按照?qǐng)D1的模型，用傳統(tǒng)的傳播矩陣[2]的方法分別計(jì)算井孔中的聲波場(chǎng)，包括：均勻地層(參數(shù)見(jiàn)表1)，蝕變地層(模型1和2)，所用聲源是中心頻率為8 kHz的雷克子波，源距為2 m。具體計(jì)算模型彈性參數(shù)設(shè)置如表1所示。

在圖1的單一蝕變地層模型中，設(shè)置了兩種不同的蝕變地層的縱波速度變化情況，分別用表1中的模型1和模型2表示，沿井孔到原狀地層的方向，縱波速度分別設(shè)置為增加和降低的兩種情況。

表1 圖1模型的計(jì)算參數(shù)設(shè)置

圖3顯示了不同模型下接收波形的對(duì)比情況。其中，紅色實(shí)線是從模型1中得到的波形，藍(lán)色實(shí)線是利用模型2計(jì)算得到的波形。為了方便對(duì)比，同時(shí)計(jì)算了均勻地層(縱波速度是4000 m/s)的波形，用黑線表示。

由于波形數(shù)據(jù)中縱波部分的幅度很小，因此在圖中開了一個(gè)小窗，將三個(gè)波形的前端縱波部分放大顯示。從圖3中可以看出，波場(chǎng)比較散亂，由于蝕變地層縱波速度的變化，使得縱波到時(shí)發(fā)生了變化，但是，不同模型之間縱波到時(shí)的差別很小，因此，到時(shí)的差別較難反應(yīng)蝕變帶特征。

然而，若研究波形數(shù)據(jù)中的散射波變化特征，可以發(fā)現(xiàn)：不同的變化模型的散射波形存在明顯的差異。將不同速度變化情況下接收到的波場(chǎng)減去均勻地層中的波場(chǎng)，得到模型1和模型2中的散射波，如圖4所示。

圖4是兩種速度變化模型所對(duì)應(yīng)的散射波。圖中的紅線和藍(lán)線分別代表模型1和模型2的散射波，分別對(duì)應(yīng)速度增加和速度減小的情況。從圖中可以看出，減去均勻場(chǎng)之后，對(duì)于不同的模型，剩余的散射波特征變化非常明顯，當(dāng)蝕變地層的速度低于原狀地層速度時(shí)，其相位為正，當(dāng)蝕變地層的速度高于原狀地層速度時(shí)，其相位為負(fù)。這個(gè)現(xiàn)象可以方便地描述地層徑向速度的變化情況。

接下來(lái)，應(yīng)用Born近似解來(lái)擬合這兩種情況下的散射波。由于只考慮縱波部分，因此，對(duì)原始波形進(jìn)行時(shí)域開窗處理，只保留縱波的前幾個(gè)周期，將原始波形中的其他部分平滑掉。然后，給定合適的和值，用式(4)去計(jì)算理論散射波，用以擬合圖4所示的兩種模型下的散射波，擬合結(jié)果如圖5所示。

(a) 速度增加模型(模型1)

(b) 速度降低模型(模型2)

圖5 速度增加和降低時(shí)的散射波擬合

Fig.5 The scattered waveform fitting for the increasing velocity model and the decreasing velocity model

圖5給出了用Born近似式理論計(jì)算的散射波與圖4中的散射波的擬合結(jié)果，圖5(a)、5(b)分別對(duì)應(yīng)速度增加和降低的兩種變化情況，其中5(a)中的紅線和5(b)圖中的藍(lán)線分別是模型1和2經(jīng)過(guò)時(shí)域開窗后的散射波波形，空心圈是與之對(duì)應(yīng)的Born近似解計(jì)算的散射波，由圖5可以看出，在速度增加和減小兩種情況下，通過(guò)近似解析解計(jì)算出的波形和通過(guò)傳統(tǒng)的傳播矩陣計(jì)算出來(lái)的波形之間有良好的擬合效果；尤其是縱波前一兩個(gè)周期，兩者的誤差很小，這說(shuō)明在滿足Born近似的條件下，Born近似解可以給出相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果。

針對(duì)本文所用的模型，用傳播矩陣的方法計(jì)算一個(gè)模型需要2 min左右的耗時(shí)，而用Born近似的方法去模擬散射聲場(chǎng)只需要10 s左右。另外，對(duì)整個(gè)井段的大量深度點(diǎn)進(jìn)行批量處理時(shí)，本文的方法在耗時(shí)方面的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

3 結(jié)論

通過(guò)本文的研究，我們獲得了一種新的模擬徑向速度變化的方法。將地震勘探領(lǐng)域比較成熟的散射理論引入聲波測(cè)井領(lǐng)域，并將Born近似應(yīng)用到井孔聲場(chǎng)中，在前人獲得的速度擾動(dòng)情況下的散射波積分表達(dá)式的基礎(chǔ)上，做了更進(jìn)一步的理論研究，通過(guò)合理的近似，獲得了散射波的解析表達(dá)式。用傳統(tǒng)的傳播矩陣的方法進(jìn)行分層計(jì)算與Born近似解進(jìn)行計(jì)算的對(duì)比結(jié)果表明，利用Born近似能得到相對(duì)合理的結(jié)果，該方法可以快速模擬丼周散射聲場(chǎng)，并進(jìn)一步判斷丼周地層速度變化情況。因此，這也提供了一種利用聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)反演速度徑向變化的新思路。

[1] Schmitt D P. Shear-wave logging in elastic formations[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1988, 93: 640-657.

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[6] Aki K, Richards P G. Quantitative Seismology[M]. America: University Science Books, 1986, 185-193.

附錄

式(4)的導(dǎo)出過(guò)程如下：

將式(1)代入式(2)，并考慮模型的軸對(duì)稱性可以得出：

利用式(3)，對(duì)上式中的和0做Fraunhofer近似，得出：

Fast modeling of borehole acoustic p-waves in the presence of radial velocity variation

ZHAI Yu-wen, TANGXiao-ming, WEI Zhou-tuo

(School of Geosciences, China University of Petroleum, Qingdao 266580,Shandong,China)

Traditionally, borehole acoustic modeling of radial formation changes is done with a propagator matrix method, which, however, is time-consuming in inversion processing. In this study, the use of the Born approximation for a fast modeling of the radial velocity variation is proposed. The integral expression for the perturbed acoustic wave field is derived, and an approximate analytical solution for it is obtained. Compared with exact modeling, the approximate solution gives reasonably accurate results when the Born condition is satisfied, and provides a fast forward model for the waveform inversion of radial velocity variation by using borehole acoustic data.

acoustic logging; Born approximation; scattered wave

P631.814

A

1000-3630(2015)-05-0403-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2015.05.005

2014-11-18;

2015-01-19

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃973項(xiàng)目(2014CB239006)、國(guó)家自然科學(xué)基金(41474092)、國(guó)家自然科學(xué)基金(ZR2014DQ004)資助項(xiàng)目。

翟宇文(1990－), 男, 山東昌邑人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)槁暡y(cè)井方法與數(shù)據(jù)處理技術(shù)。

魏周拓, E-mail: weizhoutuo@163.com