楊雪峰，胡長(zhǎng)青

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普通克里金法在海水溫度剖面插值中的應(yīng)用

楊雪峰1,2，胡長(zhǎng)青1

(1. 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海200032；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100190)

海水溫度剖面在水聲學(xué)領(lǐng)域扮演著重要的角色，而目前大面積實(shí)時(shí)溫度剖面測(cè)量能力尚存不足，因此對(duì)于海水溫度剖面的網(wǎng)格插值研究就有一定的意義。基于普通克里金法對(duì)某海域獲得的剖面樣本進(jìn)行插值，通過逐點(diǎn)逐面的擬合最終得到該海域三維溫度場(chǎng)。通過擬合溫度剖面和部分樣本剖面的對(duì)比，證實(shí)普通克里金法對(duì)于海水溫度剖面擬合具有很好的效果，具有應(yīng)用的可行性。

海水溫度剖面；普通克里金；空間插值

0 引言

聲波在海水中的傳播速度主要受溫度、鹽度、深度等因素的影響。其中溫度的作用最大，因而溫度剖面的測(cè)量是研究水聲傳播理論的必要工作。受技術(shù)條件的限制，現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)還無法實(shí)現(xiàn)大面積實(shí)時(shí)海水溫度剖面的測(cè)量，多數(shù)只能靠艦船走航獲得測(cè)線上的離散剖面樣本。利用樣本數(shù)據(jù)空間插值得到三維溫度場(chǎng)成為彌補(bǔ)技術(shù)條件受限的有效手段。劉強(qiáng)等[1-3]提出了一種適合空間數(shù)據(jù)插值的統(tǒng)計(jì)算法，在磁法數(shù)據(jù)格網(wǎng)化等領(lǐng)域內(nèi)獲得了良好的效果。本文基于普通克里金法[4]，探索其在海水三維溫度場(chǎng)插值研究中的適用性。

1 基本理論

克里金方法是由法國(guó)地統(tǒng)計(jì)科學(xué)家Matheron提出，以紀(jì)念南非礦業(yè)工程師D. G. Krige在地礦評(píng)估領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作[5]。它的基本原理就是利用半變異函數(shù)表示空間離散樣本之間距離的變化來擬合經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)，通過無偏估計(jì)和最優(yōu)估計(jì)變異函數(shù)計(jì)算各樣本線性權(quán)重，最后用各樣本及其權(quán)重表示未知點(diǎn)估計(jì)值。

在研究區(qū)域內(nèi)，變量()在采樣點(diǎn)x(=1,2,3,…,)處取值(x)。未知點(diǎn)變量由上述個(gè)已知變量值加權(quán)求和而得，如式(1)所示。

(2)

2 數(shù)據(jù)選擇及適用性分析

本文采用南海某海域獲得的85個(gè)有效溫度剖面數(shù)據(jù)進(jìn)行該海域的空間溫度插值，采樣點(diǎn)位置信息如圖1所示，實(shí)際經(jīng)緯度模糊處理。

克里金方法適用的一個(gè)先決條件是要分析的變量服從正態(tài)分布[5]。本文研究的溫度剖面在每一層海水深度處都有離散值，為方便驗(yàn)證，取100、200、300和400 m四處樣本值做QQ圖。

結(jié)果如圖2所示，各個(gè)水深處溫度的分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)成線性關(guān)系，表明運(yùn)用克里金插值方法可以較好地實(shí)現(xiàn)海水空間溫度插值[6]。

3 經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)擬合

3.1 最大分離距離和分組步長(zhǎng)

要計(jì)算樣本半變異函數(shù)云圖，首先要確定最大分離距離和分組步長(zhǎng)。以50 m處樣本值為例，85個(gè)樣本之間最大的距離間隔為118 km。那么按照步長(zhǎng)選取原則，分組數(shù)與分組步長(zhǎng)的乘積應(yīng)該小于最大間隔距離的一半。通過反復(fù)試驗(yàn)，選取5 km為步長(zhǎng)，將85個(gè)樣本值分成11組。半變異函數(shù)散點(diǎn)如圖3所示。

3.2 經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)模型

常用的模型函數(shù)有球面函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)和線性函數(shù)等，其表達(dá)式如下[7]：

(5)

(6)

四個(gè)模型擬合數(shù)據(jù)的殘差如表1所示。

通過對(duì)比以上擬合結(jié)果以及其他水深溫度擬合結(jié)果，本文選擇高斯模型用于海水溫度空間差值。擬合得到的高斯函數(shù)表達(dá)式如下：

表1 不同模型擬合殘差比較

4 空間溫度插值

4.1 計(jì)算權(quán)重系數(shù)

在獲得高斯函數(shù)模型的表達(dá)式之后，分別計(jì)算樣本點(diǎn)之間的半變異函數(shù)值以及插值點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的半變異函數(shù)值，將兩者代入克里金方程組即式(2)便可求得權(quán)重系數(shù)以及拉格朗日系數(shù)。插值點(diǎn)的溫度可以通過式(1)計(jì)算得到。

對(duì)50 m水深樣本溫度數(shù)據(jù)計(jì)算，首先將克里金方程組寫成矩陣形式，表達(dá)式如式(9)所示。

(10)

(12)

4.2 繪圖

式(10)的矩陣中，個(gè)樣本兩兩之間的半變異函數(shù)值組成半變異函數(shù)矩陣。改變矩陣的維數(shù)可以改變溫度插值效果。圖5所示的是3維半變異函數(shù)矩陣所求解出來的溫度灰度圖。當(dāng)把維數(shù)改變?yōu)?維、7維時(shí)，獲得的溫度灰度圖如圖6、圖7所示。

從圖5~7可以看出，隨著半變異矩陣維數(shù)的增加，插值點(diǎn)利用的樣本數(shù)相應(yīng)增多，帶來的影響是插值擬合對(duì)比度的降低和平滑度的提高。式(13)給出了克里金估計(jì)方差的表達(dá)式，結(jié)果見表2。

表2 克里金估計(jì)方差

4.3 單點(diǎn)溫度剖面擬合

將各深度溫度擬合完成后，就得到了整個(gè)三維溫度場(chǎng)的信息。對(duì)于擬合精度的計(jì)算，可以從樣本空間中剔除單個(gè)樣本，然后用其他樣本點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行插值擬合。對(duì)比原數(shù)據(jù)與插值結(jié)果，如圖8所示。

從剖面曲線可以看出，半變異矩陣維數(shù)對(duì)單點(diǎn)溫度剖面擬合稍有影響。計(jì)算不同維數(shù)半變異矩陣對(duì)應(yīng)剖面的平均絕對(duì)誤差，如圖9所示。從圖9可以看出當(dāng)維數(shù)為7時(shí)，平均絕對(duì)誤差最小。隨著維數(shù)的增多，計(jì)算單點(diǎn)溫度值所需要的樣本數(shù)也越來越多，但平均絕對(duì)誤差趨于平穩(wěn)。

5 結(jié)論

本文研究的海區(qū)內(nèi)可以明顯看出溫度的空間分布特征，說明普通克里金法是海水溫度空間插值一種有效的手段。插值效果依賴于海區(qū)樣本密度、時(shí)效性和均勻度，密度越高，時(shí)效性越高以及分布越均勻，插值擬合效果也就越好。因此普通克里金法不僅對(duì)水平變化較緩的海區(qū)適用，當(dāng)樣本密度、時(shí)效性和均勻度理想的條件下，也適用于內(nèi)波活動(dòng)頻繁或有孤子內(nèi)波活動(dòng)的海區(qū)。

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Application of Ordinary Kriging method in the interpolation for seawater temperature profile

YANG Xue-feng1,2, HU Chang-qing1

(1. Shanghai Acoustic Laboratory, Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200032, China;2.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Seawater temperature profile plays an important role in underwater acoustics, while the ability of acquiring instant temperature profile in a large area is far from sufficient. Based on MATLAB, the Ordinary Kriging method is used to interpolate profiles acquired from a certain sea area point-to-point and surface-to-surface into a three-dimensional temperature field. Contrasting the interpolated profiles with the acquired ones, the OK method is tested to be effective for fitting the temperature profile with highly feasibility.

seawatertemperature profile; Ordinary Kriging; spacial interpolation

TB533

A

1000-3630(2015)-05-0385-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2015.05.001

2014-09-30;

2014-12-17

楊雪峰(1987－), 男, 山東煙臺(tái)人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)樗暭夹g(shù)。

楊雪峰, E-mail: yangxuefeng12@mails.ucas.ac.cn