黃露郎，查初亮

（1.北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192；2.北京機(jī)床研究所，北京 100102）

0 引言

21世紀(jì)的今天，按照新型工業(yè)化的道路，數(shù)控機(jī)床正在向高精度、高速度、高可靠性方向發(fā)展，高速、超精密加工已成為現(xiàn)代加工技術(shù)的重要發(fā)展方向。滾珠絲杠自1874年被發(fā)明到今天，已經(jīng)有100多年的歷史，數(shù)控機(jī)床及各種機(jī)電一體化裝備的高速化不斷地推動(dòng)精密高速滾珠絲杠副的發(fā)展。目前，絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)仍有問題需要解決。機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)在啟動(dòng)、停止和加減速時(shí)，絲杠會(huì)受到瞬時(shí)沖擊，使機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)很難快速進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。這種情況在高速、重載數(shù)控機(jī)床上尤為常見。而對(duì)于緊密高速機(jī)床，傳動(dòng)系統(tǒng)的微小振動(dòng)會(huì)極大地影響緊密、超緊密機(jī)床的加工精度。因此，有必要對(duì)機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究。這對(duì)提高高速精密機(jī)床高速運(yùn)動(dòng)特性、保證機(jī)床快速響應(yīng)特性，使機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)具有較高的動(dòng)態(tài)剛度和較高的定位精度具有重要意義。

對(duì)于機(jī)械工程中的傳動(dòng)軸、絲杠等細(xì)長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件，一般都可以當(dāng)作旋轉(zhuǎn)梁來研究。國(guó)內(nèi)外不乏對(duì)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究。R.Katz[1]通過運(yùn)用模態(tài)分析和積分變換等多種方法綜合分析了梁的響應(yīng)，并對(duì)各參數(shù)改變對(duì)梁特性的影響情況做出了總結(jié)； H.P.LEE[2]對(duì)受軸向力和動(dòng)載荷情況下的梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)做了推導(dǎo)和求解；C.C.Cheng[3]對(duì)有滑動(dòng)質(zhì)量塊的梁的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析，建立了動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)方程結(jié)果進(jìn)行了分析，但沒有提出提高滾珠絲杠副性能的具體意見。臺(tái)灣國(guó)立成功大學(xué)的Chin Chung Wei、Jen Fen Li[4]對(duì)滾珠絲杠副的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了理論分析，考慮了接觸角變形和彈性變形對(duì)精度的影響，但沒有和滾珠絲杠副的具體性能建立聯(lián)系。吉林大學(xué)的張會(huì)端等對(duì)工作臺(tái)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了理論建模，得出了絲杠在不同支撐條件下動(dòng)態(tài)特性的變化，并且就改善絲杠動(dòng)態(tài)性能提出了改進(jìn)意見[5,6]，吳沁[7]等人對(duì)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了建模和仿真分析，為研究控制系統(tǒng)補(bǔ)償策略建立了一定的依據(jù)。

本文主要對(duì)機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)特性及簡(jiǎn)化絲杠模型在激勵(lì)條件下的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析。將機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)抽象簡(jiǎn)化，分析了驅(qū)動(dòng)電機(jī)、轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸器、絲杠和工作臺(tái)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，運(yùn)用拉格朗日建模方法建立了絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，然后運(yùn)用龍哥庫(kù)塔方法結(jié)合具體參數(shù)對(duì)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值求解；將絲杠獨(dú)立出來考慮，運(yùn)用振動(dòng)理論建立了絲杠的梁模型，求解了絲杠在集中載荷作用下的橫向振動(dòng)響應(yīng)，并且借助MATLAB分析了響應(yīng)的結(jié)果。本文從絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)和絲杠本身的動(dòng)態(tài)特性分別進(jìn)行了分析，研究結(jié)果能夠指導(dǎo)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)，提高絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)精度，并可以作為高速精密機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)伺服反饋控制系統(tǒng)的重要參考。

1 絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)建模和計(jì)算

機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)主要包含伺服電機(jī)，聯(lián)軸器，支撐座，滾珠絲杠，導(dǎo)軌，工作臺(tái)等。具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。隨著現(xiàn)代制造要求高速化和高精度，絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性建模及其仿真也越來越受到研究人員對(duì)的關(guān)注。研究傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性能夠幫助機(jī)床伺服反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，極大地提高機(jī)床響應(yīng)特性和精度[7]。

圖1 絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)可以分為電機(jī)轉(zhuǎn)子，聯(lián)軸器，工作臺(tái)三大部分，同時(shí)各個(gè)部件之間存在彈性連接和阻尼。建?？梢院雎越z杠和軸承的軸向剛度和阻尼，并且由于移動(dòng)工作臺(tái)在水平導(dǎo)軌上的所受阻力極小，可以忽略不計(jì)，依據(jù)傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模簡(jiǎn)圖

絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能為：

式(1)中，等號(hào)右邊的第一項(xiàng)為工作臺(tái)的動(dòng)能，m代表工作臺(tái)的質(zhì)量，x為沿工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)的水平方向的坐標(biāo)。第二、三、四項(xiàng)分別表示伺服電機(jī)的動(dòng)能、聯(lián)軸器的動(dòng)能、絲杠的動(dòng)能，I1、I2、I3表示電機(jī)系統(tǒng)、聯(lián)軸器、絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，φ1、φ2、φ3分別表示電機(jī)的轉(zhuǎn)角、聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角、絲杠的轉(zhuǎn)角。點(diǎn)號(hào)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。

傳動(dòng)系統(tǒng)總勢(shì)能為：

式(2)中等號(hào)右邊三項(xiàng)分別是聯(lián)軸器與伺服電機(jī)連接的勢(shì)能、絲杠與聯(lián)軸器連接的勢(shì)能和工作臺(tái)與絲杠螺母連接的勢(shì)能。kt1、kt2分別為電機(jī)和聯(lián)軸器之間、絲杠聯(lián)軸器之間的扭轉(zhuǎn)剛度，ka為工作臺(tái)與絲杠之間的連接剛度。h為絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)1弧度，工作臺(tái)直線移動(dòng)（前進(jìn)/后退）的距離，φ1、φ2、φ3分別為絲杠轉(zhuǎn)角。

傳動(dòng)系統(tǒng)因阻尼的存在而損耗，系統(tǒng)因阻尼引起總能量損耗：

式(3)中G表示阻尼引起的能量耗散。ct1、ct2、ca分別表示電機(jī)與聯(lián)軸器、絲杠與聯(lián)軸器、工作臺(tái)與絲杠之間的阻尼系數(shù)，點(diǎn)號(hào)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。

由拉格朗日方程可以得到：

將式(1)～式(3)代入拉格朗日方程(4)整理得到：

即：

式(6)中，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣。

模型中絲杠的各參數(shù)值如表1所示。其中h為絲杠每轉(zhuǎn)動(dòng)1rad工作臺(tái)的位移。

表1 絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)算例參數(shù)值

根據(jù)建立的動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合由拉格朗日方程的推導(dǎo)出，并將表1參數(shù)代入方程。利用Runge-Kutta四-五階算法，初始狀態(tài)為可以求得式(5)的數(shù)值解。求解結(jié)果用圖像如圖3、圖4所示，其中，圖3所示為轉(zhuǎn)角、位移隨時(shí)間的變化，圖4所示為各角速度隨時(shí)間的變化，計(jì)

圖3 廣義轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化

圖4 廣義角速度隨時(shí)間的變化

2 軸向集中載荷下絲杠的的響應(yīng)

設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，材料密度為ρ，截面面積為S，二次矩為I，彈性模量為E，梁的位移為w(x,t)，作用在梁上的載荷為f(x,t)，則可以得到：

應(yīng)用模態(tài)疊加法將彈性體的振動(dòng)表示為各階模態(tài)的線性組合。

其中模態(tài)函數(shù)均已正則化。將式(8)代入式(7)有：

利用正交條件及部分積分公式導(dǎo)出完全解耦的方程組：

其中ωi表示的是第i階主剛度和第i階主質(zhì)量低比值的開方，即，Qi(t)表示的是廣義坐標(biāo)qi(t)對(duì)應(yīng)的廣義力：

對(duì)于任意非周期激勵(lì)，可利用杜哈梅積分，令初始狀態(tài)t=0，并且考慮梁存在阻尼，由文獻(xiàn)[8]寫出方程的解的一般形式。

由于外部激勵(lì)對(duì)梁的固有頻率沒有影響，求固有頻率可以撤去外部激勵(lì)，于是，絲杠可以簡(jiǎn)化為一端鉸支，一段簡(jiǎn)支的情形，如圖5所示，其兩端還受拉力F作用。

圖5 受軸向力的梁的簡(jiǎn)化

此時(shí)由文獻(xiàn)[8]可求得頻率：

此時(shí)的模態(tài)函數(shù)正則化后有：

絲杠在工況下，會(huì)受到不規(guī)則的徑向力的作用。設(shè)工作臺(tái)受到徑向力作用點(diǎn)距絲杠端部軸承的距離為x，徑向力大小為F，工作臺(tái)做勻速運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)的速度為v，施加到絲杠徑向的集中載荷可以看作是脈沖函數(shù)，集中載荷可以表示為：

將式(9)、式(10)、式(12)、式(13)有：

由杜哈梅積分，令初始條件為0，所以由式(10)、式(14)有：

可得梁在徑向集中載荷作用下的響應(yīng)[9]：

梁響應(yīng)函數(shù)是關(guān)于x和t的二元函數(shù)的疊加。應(yīng)用模態(tài)疊加法，取前五階模態(tài)，代入各參數(shù)數(shù)值，作絲杠軸向振動(dòng)的振幅關(guān)于時(shí)間t和軸向力作用點(diǎn)位置x的圖像可以得到圖6、圖7所示。

圖6 絲杠振動(dòng)的幅值圖像

圖7 絲杠振動(dòng)振幅隨時(shí)間變化

3 結(jié)果和分析

由圖3、圖4可知，在系統(tǒng)啟動(dòng)初期，機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)都有不同程度的振動(dòng)，其后趨于平穩(wěn)。其中電機(jī)轉(zhuǎn)子與聯(lián)軸器、聯(lián)軸器與絲杠鏈接部位振動(dòng)頻率較大，由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)包含到了絲杠伺服反饋系統(tǒng)中，高頻的振動(dòng)信號(hào)會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于絲杠的扭轉(zhuǎn)能反映到工作臺(tái)的直線位移，這將影響到機(jī)床的加工質(zhì)量。大的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩對(duì)系統(tǒng)造成沖擊，必須采取補(bǔ)償措施，減少因啟動(dòng)、停止和加減速對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)精度影響。電機(jī)轉(zhuǎn)子與聯(lián)軸器、聯(lián)軸器和絲杠之間連接的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生極大地影響。優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，采用高剛度材料制作聯(lián)軸器，能夠減小傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。工作臺(tái)與螺母之間的連接剛度和阻尼也會(huì)極大影響加工精度，采用高剛度、高阻尼材料制作螺母能夠提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

有絲杠在徑向集中載荷下的響應(yīng)，結(jié)合圖6和圖7，可以得到雖然有導(dǎo)軌的支呈，絲杠在受到徑向集中載荷時(shí)會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)，振幅大小隨時(shí)間和工作臺(tái)移動(dòng)的位置決定，雖然機(jī)床上有導(dǎo)軌支撐，但這種振動(dòng)會(huì)造成工作臺(tái)的振動(dòng)，造成工作臺(tái)偏移，影響工件加工精度。增大絲杠軸向拉力可以減小絲杠橫向振幅的大小，因此絲杠安裝時(shí)，必須合理增大兩端的預(yù)緊力。同時(shí)，反饋補(bǔ)償系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)也要考慮將絲杠的橫向振動(dòng)造成的影響考慮進(jìn)去。

4 結(jié)束語

通過以上分析可以得到的結(jié)論有：1）絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)在啟停、加減速時(shí)會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，切振動(dòng)呈現(xiàn)高頻特性。閉環(huán)反饋系統(tǒng)需要考慮這種信號(hào)對(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。2）絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)各部分的剛度，特別是聯(lián)軸器的剛度和絲杠本身的剛度對(duì)很大程度上決定絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，影響工作臺(tái)定位的具體位置。3）閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)，也要考慮橫向振動(dòng)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)造成的影響，應(yīng)采取有效補(bǔ)償措施，降低因橫向振動(dòng)造成的精度降低。

本文沒有考慮溫升、噪聲等其他因素的影響。若將其他影響機(jī)床精度的因素綜合考慮，分析他們之間的耦合關(guān)系，會(huì)對(duì)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)其更好的參考作用。

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