邢雯麗，朱建江,2

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，徐州 221116；2.常熟理工學(xué)院 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，常熟 215500）

0 引言

全向移動(dòng)平臺(tái)是指在平面上具有前后、左右和中心旋轉(zhuǎn)3個(gè)自由度，在不改變自身位姿的情況下可以沿任意方向進(jìn)行移動(dòng)的運(yùn)載機(jī)構(gòu)。全向移動(dòng)平臺(tái)的靈活機(jī)動(dòng)性和精確定位，使其在船舶、倉(cāng)庫(kù)、航空等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。目前全向移動(dòng)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用研究主要集中在四個(gè)Mecanum輪全向移動(dòng)平臺(tái)[1～3]方面，然而隨著航空航天器、石化、電力部組件和配套產(chǎn)品向更大尺寸及重量[4～6]發(fā)展，四輪全向移動(dòng)平臺(tái)已逐漸不能滿足承受重載的使用要求。重載情況下，四輪全向移動(dòng)平臺(tái)需要的驅(qū)動(dòng)扭矩大，且采用蓄電池直流供電，四個(gè)Mecanum輪驅(qū)動(dòng)模式時(shí)，需要采用高壓供電、大功率電機(jī)，因高壓供電需要的電池組過(guò)多，導(dǎo)致整體尺寸過(guò)大且不經(jīng)濟(jì)。若采用低壓供電（一般為48V或72V），驅(qū)動(dòng)電機(jī)功率無(wú)法選的較大，否則電流過(guò)大控制電路中的功率器件不能滿足要求。若選擇較小功率電機(jī)、大減速比減速機(jī)來(lái)滿足大扭矩，則導(dǎo)致全向平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度過(guò)低，也不能滿足使用要求。因此，對(duì)于重載全向移動(dòng)平臺(tái)采用多個(gè)全向輪（Mecanum輪）協(xié)同驅(qū)動(dòng)技術(shù)是合理的選擇。

本文提出一種由八個(gè)Mecanum輪協(xié)同驅(qū)動(dòng)控制的全向移動(dòng)平臺(tái)，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后運(yùn)用ADAMS完成相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和仿真分析，得到平臺(tái)沿不同方向的運(yùn)動(dòng)特性。

1 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型

八個(gè)Mecanum輪協(xié)同驅(qū)動(dòng)控制技術(shù)是全向移動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)重載的關(guān)鍵技術(shù)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立是實(shí)現(xiàn)其驅(qū)動(dòng)控制的前提。

1.1 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)二維模型

如圖1所示，Oxy是與全向移動(dòng)平臺(tái)幾何中心重合且與機(jī)身固聯(lián)的直角坐標(biāo)系，圖中標(biāo)號(hào)1～8的方框?yàn)榘藗€(gè)全向輪，方框中斜線表示各輪與地面接觸的小輥?zhàn)拥钠梅较颉Ｊ桥c全向輪i輪轂中心重合且與輥?zhàn)庸搪?lián)的直角坐標(biāo)系，Ri為輪中心在平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置向量，ω為全向平臺(tái)繞自身幾何中心的角速度，L0、L1、L2為輪中心在平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置尺寸，D為全向輪直徑。

圖1 Mecanum八輪全向移動(dòng)平臺(tái)二維模型

1.2 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

為建立八Mecanum輪全向移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，便于對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，對(duì)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行以下假設(shè)：

1）假設(shè)全向平臺(tái)、Mecanum輪及地面均為剛體，且平臺(tái)在平坦地面上運(yùn)動(dòng)，忽略自身結(jié)構(gòu)及地面變形對(duì)其運(yùn)動(dòng)情況帶來(lái)的影響。

2）假設(shè)輪子與地面的摩擦力足夠大，輪子不發(fā)生打滑現(xiàn)象。

3）忽略全向輪和全向底盤在制造中的誤差，假設(shè) Mecanum輪與地面的接觸點(diǎn)在輪心的正下方。

全向輪i的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)原理[7,8]如圖2所示，ri為輪i與地面接觸輥?zhàn)拥闹行?，si為輥?zhàn)虞S線方向單位向量，si與的夾角為γ， τi為垂直于si方向的單位向量，為輪i 轉(zhuǎn)過(guò)的角度，為輥?zhàn)愚D(zhuǎn)過(guò)的角度。假設(shè)輥?zhàn)优c地面接觸點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則點(diǎn)速度可表示為：

圖2 輪i運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)原理圖

式中，z′i為Oi′zi′方向的單位向量， ωr為輥?zhàn)愚D(zhuǎn)動(dòng)角速度，ωR為輪轂轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，R為全向輪半徑，r為輥?zhàn)拥淖畲蟀霃健?/p>

而根據(jù)全向平臺(tái)以及全向輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可以得到：

結(jié)合式(1)、式(2)以及式(3)可以得到：

從另一個(gè)角度來(lái)看，根據(jù)圖1所示，點(diǎn)iO′速度在全向平臺(tái)中可以表示為：

式中，vo為全向平臺(tái)幾何中心速度，E為變換矩陣：

其作用是使Ri逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

由矢量的定義，有：

則將式(4)、式(5)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘si，聯(lián)立后得到：

綜合八輪的全向移動(dòng)平臺(tái)，展開(kāi)后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式如下：

對(duì)應(yīng)兩種輥?zhàn)影惭b角度的全向輪如圖3所示，有si.y'i=cos45°或者si.y'i=cos135°，以此確定相應(yīng)的γ值。

圖3 兩種輥?zhàn)影惭b形式

則式(7)可簡(jiǎn)化為：

式(8)為平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，設(shè)：

式中，K-1為系統(tǒng)速度的逆雅可比矩陣。rank(K-1)=3，是實(shí)現(xiàn)平臺(tái)全方位運(yùn)動(dòng)必要條件。全向平臺(tái)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

2 建立仿真模型及參數(shù)設(shè)置

本文以KUKA公司型號(hào)為KoM UTV-2 E375的全向移動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)為依據(jù)，結(jié)合自身載荷特點(diǎn)確定了Mecanum八輪全向移動(dòng)平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)參數(shù)，其主要參數(shù)如表1所示。

表1 Mecanum八輪全向移動(dòng)平臺(tái)參數(shù)

利用SolidWorks軟件進(jìn)行全向移動(dòng)平臺(tái)三維模型的創(chuàng)建，然后將模型導(dǎo)入ADAMS軟件中，再根據(jù)全向平臺(tái)的約束關(guān)系及運(yùn)動(dòng)形式添加約束及運(yùn)動(dòng)副，完成全向平臺(tái)虛擬樣機(jī)的建模。建立全向平臺(tái)的三維模型時(shí)，在滿足全向平臺(tái)虛擬樣機(jī)仿真結(jié)果準(zhǔn)確性的前提下，簡(jiǎn)化了全向平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)、省略了與其運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的部件。

由于對(duì)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真時(shí)，主要考慮Mecanum八輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，因此將全向平臺(tái)車體部分作為一個(gè)整體零部件，省略其中的懸掛結(jié)構(gòu)。而電機(jī)及減速機(jī)的傳動(dòng)則由軟件中設(shè)置的驅(qū)動(dòng)副取代。圖4為簡(jiǎn)化后的全向平臺(tái)裝配圖。

圖4 全向移動(dòng)平臺(tái)簡(jiǎn)化三維模型

將建立好的三維模型導(dǎo)入ADAMS中，對(duì)軟件進(jìn)行基本設(shè)置，單位選擇為MMKS，設(shè)置重力加速度為9.8m/s2，定義各部分材料屬性。然后，定義模型的運(yùn)動(dòng)副與約束關(guān)系。在車身與輪轂軸線、輥?zhàn)虞S線與輪轂之間添加旋轉(zhuǎn)副；在輥?zhàn)优c地面之間添加接觸關(guān)系，根據(jù)全向平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)Mecanum輪各輥?zhàn)优c地面接觸方式的特點(diǎn)，定義輥?zhàn)优c地面為斷續(xù)接觸，在ADAMS中采用沖擊函數(shù)法（Impact）模擬輥?zhàn)优c地面的接觸，采用庫(kù)倫法（Coulomb）模擬輥?zhàn)优c地面的摩擦。根據(jù)現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)[9～11]及工程實(shí)踐，定義函數(shù)中各參數(shù)值，如表2所示。

表2 ADAMS接觸函數(shù)參數(shù)設(shè)置

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 全向平臺(tái)+x向運(yùn)動(dòng)仿真

對(duì)全向平臺(tái)沿x正向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，定義平臺(tái)移動(dòng)速度為220mm/s，無(wú)y向及轉(zhuǎn)動(dòng)速度。根據(jù)式(8)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得到八個(gè)Mecanum輪的轉(zhuǎn)速分別如表3所示。在虛擬樣機(jī)中對(duì)八個(gè)Mecanum輪添加對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，得到仿真結(jié)果如圖5所示。

表3 +x方向各輪轉(zhuǎn)速

圖5所示為全向平臺(tái)幾何中心沿x正向的運(yùn)動(dòng)速度，可以看出平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度經(jīng)過(guò)一個(gè)上升階段，這是平臺(tái)從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始加速的過(guò)程，然后達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定階段，約為220mm/s，但是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在一個(gè)很小的速度波動(dòng)。出現(xiàn)這樣速度波動(dòng)的原因是在Mecanum輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，多個(gè)輥?zhàn)优c地面交替接觸使得接觸條件隨之不斷變化。

圖5 +x方向運(yùn)動(dòng)仿真

3.2 全向平臺(tái)沿45度方向運(yùn)動(dòng)仿真

對(duì)全向平臺(tái)沿45度方向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，定義平臺(tái)x、y正向移動(dòng)速度均為110mm/s。根據(jù)式(8)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得到八輪的轉(zhuǎn)速如表4所示。在虛擬樣機(jī)中對(duì)八個(gè)Mecanum輪添加對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，得到仿真結(jié)果如圖6所示。

表4 45度方向各輪轉(zhuǎn)速

圖6 45度方向運(yùn)動(dòng)仿真

圖6所示為全向平臺(tái)幾何中心沿45度方向的運(yùn)動(dòng)速度，可以看出，平臺(tái)x，y向運(yùn)動(dòng)速度基本穩(wěn)定在110mm/s，合成速度經(jīng)過(guò)上升階段達(dá)到110×=155.56mm/s，相對(duì)穩(wěn)定后也存在一個(gè)很小的速度波動(dòng)。出現(xiàn)這樣波動(dòng)的原因是除了沿x向運(yùn)動(dòng)造成的波動(dòng)外，采用橢圓近似曲線制造輥?zhàn)樱沟肕ecanum輪的包絡(luò)面并不是標(biāo)準(zhǔn)的圓柱面，沿y向運(yùn)動(dòng)時(shí)速度也會(huì)有存在一定的波動(dòng)，可以看出沿y向的速度波動(dòng)較x方向平緩一些。

3.3 全向平臺(tái)繞自身幾何中心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)仿真

對(duì)全向平臺(tái)繞自身幾何中心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，定義平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為-21rad/s，無(wú)x、y向移動(dòng)。根據(jù)式(8)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得到八輪的轉(zhuǎn)速分別如表5所示。在虛擬樣機(jī)中對(duì)八輪添加對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，得到仿真結(jié)果如圖7所示。

表5 繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)方向各輪轉(zhuǎn)速

圖7 繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)方向仿真

圖7所示為全向平臺(tái)繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，其角速度值經(jīng)過(guò)下降階段到達(dá)相對(duì)穩(wěn)定后存在較為平緩的速度波動(dòng)，穩(wěn)定值約為-21rad/s。

3.4 45度方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)全向平臺(tái)沿45度方向運(yùn)動(dòng)同時(shí)繞自身幾何中心旋轉(zhuǎn)進(jìn)行仿真，定義平臺(tái)x、y正向移動(dòng)速度為110mm/s,轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為-21rad/s。根據(jù)式(8)全向平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算得到八輪的轉(zhuǎn)速如表6所示。在虛擬樣機(jī)中對(duì)八輪添加對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，得到仿真結(jié)果如圖8所示。

表6 45度方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)各輪轉(zhuǎn)速

圖8 45度方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)仿真

圖8所示為全向平臺(tái)沿45度方向同時(shí)繞自身幾何中心旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，仿真得到轉(zhuǎn)動(dòng)速度約為-21rad/s，x和y方向初始速度為110mm/s，當(dāng)平臺(tái)繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后，平臺(tái)的平移速度方向與絕對(duì)坐標(biāo)系不再呈45度夾角，而是在x和y絕對(duì)坐標(biāo)系下的分量值進(jìn)行變化，但是可以得到平臺(tái)的速度合成值不變約為155.56mm/s。

4 結(jié)論

1）為適應(yīng)大型精密產(chǎn)品向更大尺寸及重量發(fā)展的趨勢(shì)，本文提出了一種由八個(gè)Mecanum輪協(xié)同驅(qū)動(dòng)控制的全向移動(dòng)平臺(tái)，建立了其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)了其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

2）在ADAMS軟件中建立了全向移動(dòng)平臺(tái)的簡(jiǎn)化虛擬樣機(jī)模型，通過(guò)仿真分析，得到了平臺(tái)沿+x方向、45度方向、繞自身幾何中心轉(zhuǎn)動(dòng)方向以及沿45度同時(shí)繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

3）仿真所得結(jié)果與理論計(jì)算值基本一致，說(shuō)明參數(shù)設(shè)置合理，同時(shí)驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)方程的正確性。該運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立解決了研發(fā)八Mecanum輪全向移動(dòng)平臺(tái)的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題，為以后動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)控制的研究奠定了基礎(chǔ)，對(duì)重載全向移動(dòng)平臺(tái)的研發(fā)具有一定的參考價(jià)值和工程意義。

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