吳苗軍

[摘 要]帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高考?？紗?wèn)題，而其中的臨界問(wèn)題更是難點(diǎn)。如果能夠?qū)④壽E圓進(jìn)行縮放、平移、旋轉(zhuǎn)，這樣就可以化動(dòng)為靜，讓動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出來(lái)，就能消除學(xué)生解決問(wèn)題上的思維、方法障礙，突破解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的難點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]旋轉(zhuǎn)圓；縮放圓；平移圓；臨界問(wèn)題

[中圖分類號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0060-02

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高考?？紗?wèn)題，而其中的臨界問(wèn)題更是難點(diǎn)。處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，需要畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到其圓心，然后再找出幾何關(guān)系。當(dāng)帶電粒子以一定的速度射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子的軌跡都是圓或圓弧，如果帶電粒子的速度大小或者磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化，那么圓的半徑也將隨之改變。如果能夠?qū)④壽E圓進(jìn)行縮放、平移、旋轉(zhuǎn)，就可以化動(dòng)為靜，讓動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出來(lái)，就能消除學(xué)生解決問(wèn)題的思維、方法障礙，突破帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析解答這個(gè)難點(diǎn)。接下來(lái)通過(guò)三道例題說(shuō)明動(dòng)態(tài)圓的運(yùn)用。

一、縮放圓

【例1】 在真空中有寬度為d、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向如圖1，帶電粒子（質(zhì)量為m，帶電量為-q）以與CD成θ角的速度v0垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。要使帶電粒子能從EF射出，那么初速度v0滿足什么條件？EF上有粒子射出的范圍是多少？

分析：如圖2甲所示，當(dāng)入射速度比較小時(shí)，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧之后從同一側(cè)射出。由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑公式可得：帶電粒子的速率越大，其軌道半徑也就越大，即當(dāng)帶電粒子入射速度不斷變大時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的軌跡圓不斷變大，直到其軌跡與右邊界相切，這時(shí)帶電粒子恰好不能從右側(cè)射出，當(dāng)帶電粒子的速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右側(cè)射出，根據(jù)縮放圓的特點(diǎn)可以畫出帶電粒子的臨界軌跡，再根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算速度的臨界值。EF上有粒子射出的區(qū)域，只要找出上下邊界，簡(jiǎn)單計(jì)算就可以得到。帶電粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使帶電粒子從EF射出，那么它的臨界軌跡肯定過(guò)點(diǎn)A，并且與EF相切，軌跡如圖2乙所示，再進(jìn)一步作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O，就可以確定該臨界軌跡的圓心。

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算即可得帶電粒子的初速度v0應(yīng)滿足條件v0[ ≥qBdm+mcosθ]，EF上有帶電粒子射出的區(qū)域?yàn)閇PG=dsinθ1+cosθ+dcotθ]。

方法總結(jié)：如果帶電粒子入射勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向一定，而速度大小變化，那么帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必定出現(xiàn)在從入射點(diǎn)出發(fā)并沿著洛倫茲力方向的射線上，但是半徑的大小是不確定，這樣就可以用圓規(guī)畫出一些大小不同的軌跡圓，即縮放圓（如圖3所示），接下來(lái)從縮放圓的動(dòng)態(tài)變化中就能快速找到臨界點(diǎn)。帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是隨著速度大小變化而變化的，那么可以將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑進(jìn)行放縮，運(yùn)用縮放圓來(lái)畫出臨界點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題，尋找解題條件。對(duì)于這類臨界問(wèn)題，關(guān)鍵是找到臨界軌跡和臨界半徑。

二、平移圓

【例2】 如圖4所示，以ab為邊界，存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1=2B，B2=B，現(xiàn)有帶電粒子（質(zhì)量為m、帶電荷量為+q）從O點(diǎn)以初速度v沿垂直于ab方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的磁場(chǎng)。在圖中作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出帶電粒子發(fā)射后第7次通過(guò)直線ab時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間、路程及離開點(diǎn)O的距離。（注：帶電粒子重力不計(jì)）

分析：設(shè)帶電粒子（質(zhì)量為m、帶電荷量為+q）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2中，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，即[r1=mvqB1]，[r2=mvqB2]。由題意可知B1=2B2，則r1∶r2=1∶2，根據(jù)左手定則可知，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1中轉(zhuǎn)動(dòng)方向是逆時(shí)針，在磁場(chǎng)B2中轉(zhuǎn)動(dòng)方向也是逆時(shí)針的，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。根據(jù)幾何關(guān)系可得，帶電粒子在第7次通過(guò)直線ab時(shí)，帶電粒子在上面的磁場(chǎng)B1中時(shí)，將軌跡圓進(jìn)行平移，得到四個(gè)小半圓；帶電粒子在下面的磁場(chǎng)B2中時(shí)，可以將軌跡圓進(jìn)行平移，得到三個(gè)大半圓。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得：經(jīng)歷的時(shí)間為：[t=2T1+32T2=2×2πm2qB+32×2πmqB=5πmqB]，離開O點(diǎn)的距離為：[x=4r1=4×mv2qB=2mvqB]，經(jīng)歷的路程為：[s=2×2πr1+32×2πr2=5πmvqB]。

方法總結(jié)：如果帶電粒子在兩個(gè)或者兩個(gè)以上并列的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，那么帶電粒子從其中一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入另外一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)之后，如果此時(shí)將磁場(chǎng)方向變?yōu)榕c原來(lái)磁場(chǎng)方向相反，那么根據(jù)左手定則可得，帶電粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)方向也將隨之相反，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡肯定會(huì)在交界處外切，這樣的運(yùn)動(dòng)軌跡可以被看作是圓的平移所得，如圖6甲所示；如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化，根據(jù)洛倫茲力提供向心力的公式可得帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑也改變，這時(shí)需要結(jié)合縮放圓來(lái)求解，這樣的運(yùn)動(dòng)軌跡肯定在交界處內(nèi)切，運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是兩個(gè)半徑不同的圓進(jìn)行交替平移所得，如圖6乙所示。還有另一類是帶電粒子的發(fā)射速度大小、方向不變，但是入射點(diǎn)沿一直線移動(dòng)，軌跡圓將會(huì)平移，但是軌跡圓的圓心必定在同一直線上，如圖6丙所示，那么這類問(wèn)題我們就可以用圓軌道平移的等距特點(diǎn)來(lái)解決。

三、旋轉(zhuǎn)圓

【例3】 如圖7所示，圓形區(qū)域存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，A是勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)，現(xiàn)有大量速度大小為v的帶電粒子（質(zhì)量為m，帶電量為q）從A點(diǎn)射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子的射入方向?yàn)槠叫杏诩埫嫦蚋鱾€(gè)方向，并且這些帶電粒子從右邊界圓弧AC上離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中有帶電粒子從C點(diǎn)射出。已知AC圓弧的弧長(zhǎng)剛好是圓周長(zhǎng)的1/3。

求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R；

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的最大長(zhǎng)度。

分析：帶電粒子以相同的速度大小從A點(diǎn)進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，即入射的帶電粒子的軌跡圓是一樣大的，而且?guī)щ娏Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)半徑小于或等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，帶電粒子的軌跡圓是繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的，這就不難看出離入射點(diǎn)最遠(yuǎn)距離便是帶電粒子軌跡圓的直徑，接下來(lái)根據(jù)洛倫茲力提供向心力的半徑公式和幾何關(guān)系，就可以算出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的半徑R；帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑小于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，因此帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的最大長(zhǎng)度正好為整圓的圓周，利用周長(zhǎng)公式，就可以計(jì)算出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的最大長(zhǎng)度。根據(jù)以上分析可得：[R=23mv3Bq]，[l=2πmvBq]。

方法總結(jié)：旋轉(zhuǎn)圓的共同特點(diǎn)是帶電粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以帶電粒子的入射點(diǎn)為圓心、以帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌道半徑為半徑的圓上（如圖8所示），這樣就可以順利找出動(dòng)態(tài)圓圓心的軌跡，特別要關(guān)注各圓的繞向。射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的帶電粒子的軌跡圓大小是一樣的，因此可以借用一元硬幣等工具，繞著入射勻強(qiáng)磁場(chǎng)的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，從半徑一定的圓的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，就很容易找到臨界軌跡、臨界半徑以及臨界點(diǎn)，讓學(xué)生找到解決這類臨界問(wèn)題的方法。

通過(guò)圓的縮放、平移和旋轉(zhuǎn)，用圓規(guī)畫大小不同的圓，用硬幣旋轉(zhuǎn)等方法，就可以將動(dòng)態(tài)軌跡呈現(xiàn)出來(lái)，準(zhǔn)確地找到帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，從而畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖9所示），順利找出幾何關(guān)系。通過(guò)動(dòng)態(tài)圓的方法，能快速找到臨界軌跡、臨界半徑以及臨界點(diǎn)，接下來(lái)的求解那就水到渠成了。

（責(zé)任編輯 易志毅）