王智明

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)思維的節(jié)點(diǎn)。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概念的學(xué)習(xí)具有舉足輕重的地位，也歷來(lái)是教學(xué)研究的重點(diǎn)。有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求教師讓學(xué)生了解概念的由來(lái)和發(fā)展。度量概念作為數(shù)學(xué)概念的一種，它的教學(xué)始于學(xué)生的活動(dòng)，是學(xué)生從活動(dòng)到活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提取、感知、形成表象的過(guò)程。所以數(shù)學(xué)活動(dòng)與度量概念的學(xué)習(xí)是難舍難分的。度量概念與一般數(shù)學(xué)概念獲得的心理過(guò)程及教學(xué)特征有所不同，對(duì)此，筆者擬對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中的度量性概念進(jìn)行研究并嘗試給出度量性概念的教學(xué)建議。

一、度量性概念的概述

對(duì)于數(shù)學(xué)概念，有學(xué)者依據(jù)數(shù)學(xué)概念反映的屬性不同對(duì)數(shù)學(xué)概念加以分類。反映數(shù)學(xué)的基本元素的概念（如點(diǎn)、線、數(shù)等）、反映兩個(gè)及兩個(gè)以上數(shù)學(xué)元素關(guān)系的概念（如平行、相等等）、反映數(shù)學(xué)元素內(nèi)部特性的概念稱之為對(duì)象性概念。還有一些概念，學(xué)習(xí)的意義不在于理解名詞的意思，而在于用這個(gè)概念的內(nèi)蘊(yùn)觀念或思想去解釋現(xiàn)象或者解決問(wèn)題，這樣的概念稱作觀念性概念（如方程、概率等）。還有一些概念為了比較兩個(gè)事物某個(gè)方面的差異，往往需要對(duì)該方面的差異進(jìn)行量化，借助某個(gè)量來(lái)進(jìn)行比較，為此引入了相應(yīng)的度量，我們稱之為度量性概念。就概念而言，度量性概念既包含了反映度量單位的概念，也表示了兩個(gè)事物進(jìn)行差異性量化的概念。

對(duì)象性概念可以在生活或數(shù)學(xué)中找到原型，我們也正是從生活及數(shù)學(xué)中的大量原型出發(fā)，從具體的、直觀的例子中抽象出其共同的本質(zhì)特征，同時(shí)人們?yōu)榱私涣髡f(shuō)明的方便而給對(duì)象性概念賦予了一定的名稱，可以說(shuō)對(duì)象性概念是對(duì)更多原型的一種抽象概括。觀念性概念在教學(xué)中會(huì)從豐富的背景中抽象出這些概念的定義，但是實(shí)際的教學(xué)會(huì)更關(guān)注這些概念的實(shí)際應(yīng)用，會(huì)在眾多的實(shí)際背景的運(yùn)用中體現(xiàn)觀念性概念的價(jià)值，形成相應(yīng)的觀念和思想。而度量性概念來(lái)源于生活，產(chǎn)生于生活中的比較，需要對(duì)比較的差異進(jìn)行量化，因此要讓學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程、概念單位累加的過(guò)程，形成度量性概念的觀念，其名詞概念的給出完全是人類心智的產(chǎn)物，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維中的抽象、類比過(guò)程。

二、度量性概念獲得的心理過(guò)程

在概念的教學(xué)中，我們大都熟悉概念形成、概念同化兩種獲得概念的方式。數(shù)學(xué)中對(duì)象性概念的獲得主要依托這兩種概念獲得的方式。采用概念形成方式時(shí)，需要提供大量豐富的例子，概念的給出依賴豐富的原型；在運(yùn)用概念同化方式時(shí)，在對(duì)新概念的反復(fù)辨析中改變了原有概念的內(nèi)涵與外延，教學(xué)中也不自覺(jué)地應(yīng)用于對(duì)象性概念。度量性概念則不同，它并不源于生活中的原型，而是基于任務(wù)的產(chǎn)生。學(xué)生在一定的任務(wù)情境中，通過(guò)“比”，利用人類的心智活動(dòng)，產(chǎn)生了度量性概念，其產(chǎn)生的心理過(guò)程與概念形成和概念同化不同。

度量是因比較而存在的，沒(méi)有比較就沒(méi)有度量，因此度量性概念的產(chǎn)生大都來(lái)源于某種比較任務(wù)，在任務(wù)解決中感受建立比較標(biāo)準(zhǔn)（度量）的必要性。在適宜的任務(wù)情境下，通過(guò)認(rèn)知沖突的激發(fā)，自然而然類比遷移、聯(lián)想與“創(chuàng)造”渾然一體。因此，度量性概念的獲得過(guò)程不是多種情境抽象概括的結(jié)果，而是人類在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下自主建構(gòu)創(chuàng)造的過(guò)程。此時(shí)，度量性概念構(gòu)建的心理過(guò)程可以描述為：

當(dāng)學(xué)生沒(méi)有自主建構(gòu)概念的能力，也可以選用明晰概念的教學(xué)方式。例如：在教學(xué)“認(rèn)識(shí)公頃”一課時(shí)，教師給出：明孝陵的面積為1700000平方米，玄武湖的面積為 4710000平方米，紅山動(dòng)物園的面積為830000平方米，奧體中心的面積為890000平方米等數(shù)據(jù)，讓學(xué)生讀一讀感受這些景點(diǎn)面積的大小，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在讀這些景點(diǎn)的面積時(shí)得先數(shù)一數(shù)數(shù)位，數(shù)值太大讀起來(lái)較麻煩，同時(shí)學(xué)生又有以“萬(wàn)”或“億”做單位可以方便讀數(shù)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，所以需要一個(gè)合適的更大的面積單位的出現(xiàn)。這時(shí)學(xué)生知道了問(wèn)題出在哪里，也知道需要出現(xiàn)一個(gè)合適的更大的面積單位，但是放手讓學(xué)生去建構(gòu)，學(xué)生又說(shuō)不出“平方××”，這時(shí)學(xué)生處在即將突破又很難突破的節(jié)點(diǎn)，就需要教師的幫助來(lái)捅破這層窗戶紙，“我們?cè)跍y(cè)量大的土地面積時(shí)用‘公頃’為單位，如果你是小老師，你將會(huì)介紹哪些有關(guān)公頃的知識(shí)”，出示自學(xué)要求從而進(jìn)行認(rèn)識(shí)公頃的學(xué)習(xí)。接著教師帶領(lǐng)學(xué)生分別感受10米是多長(zhǎng)，100米有多長(zhǎng)，100平方米有多大。此時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一種有意義的接受過(guò)程，在這一過(guò)程中經(jīng)歷了對(duì)概念的了解、檢驗(yàn)、感知、確認(rèn)的過(guò)程。此時(shí)，度量性概念構(gòu)建的心理過(guò)程可以描述為：

在上述兩種概念的獲得過(guò)程中，長(zhǎng)度、面積、體積、角度這些度量性概念都具有相應(yīng)的共性，可以通過(guò)提出任務(wù)、質(zhì)疑、多元化的感知過(guò)程，再創(chuàng)造或者再指導(dǎo)性建構(gòu)的方法獲得概念。而刻畫數(shù)據(jù)平均水平的和波動(dòng)水平的度量性概念需要在所創(chuàng)設(shè)的一種比較的情境下（這樣的比較可以是比較一般水平，也可以是比較差異水平）通過(guò)問(wèn)題解決的方式，自主建構(gòu)或者指導(dǎo)性建構(gòu)獲得概念。

三、度量性概念的教學(xué)建議

根據(jù)日常度量性概念的教學(xué)以及度量性概念的心理過(guò)程，筆者不揣淺薄地提出度量性概念教學(xué)的一些建議。

（一）在認(rèn)知沖突中感受度量單位的產(chǎn)生

對(duì)象性概念有著豐富的生活或數(shù)學(xué)背景，獲得概念是一種抽象概括的過(guò)程。觀念性概念是在教師的“揭示”與學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用感悟中獲得概念。而以往的度量性概念，往往采用了“掐去兩頭燒中段”的方式，學(xué)生不理解新知為何要學(xué)習(xí)，概念產(chǎn)生的源頭在哪里。度量性概念來(lái)源于實(shí)際應(yīng)用，在實(shí)際中或萌生了創(chuàng)造或類比了創(chuàng)造，經(jīng)歷了一番過(guò)程性的探究，感受了度量性概念的需要。通過(guò)度量沖突的創(chuàng)設(shè)，進(jìn)行真正意義上的自主探究，解決新的問(wèn)題是，原有的度量單位無(wú)法滿足需要，需要一種新的度量單位的介入，使對(duì)度量概念的學(xué)習(xí)成為學(xué)生內(nèi)在生成的主動(dòng)訴求。例如常見(jiàn)的面積單位的教學(xué)。在教學(xué)平方分米、平方米的過(guò)程中，教師（故意）提出請(qǐng)大家用平方厘米測(cè)量一下課桌面的面積。（學(xué)生度量時(shí)面有難色）教師說(shuō)，這樣量，大家感到怎么樣？學(xué)生回答：這樣量太慢了。用平方厘米這個(gè)面積單位度量課桌面面積太小了。教師繼續(xù)問(wèn)：那怎么辦呢？學(xué)生回答：我想有沒(méi)有大一點(diǎn)的面積單位呢？師：大家真會(huì)想問(wèn)題！這大一點(diǎn)的面積單位，就請(qǐng)大家來(lái)創(chuàng)造一下，叫什么呢？通過(guò)認(rèn)知沖突的激發(fā)，讓學(xué)生獲得度量單位產(chǎn)生的實(shí)際需要，一種新單位的產(chǎn)生是在認(rèn)知沖突下發(fā)自學(xué)生內(nèi)心的。同時(shí)有長(zhǎng)度單位的鋪墊，讓面積單位的產(chǎn)生經(jīng)歷了自然聯(lián)想創(chuàng)造的過(guò)程。

當(dāng)度量單位的產(chǎn)生學(xué)生無(wú)法類比時(shí)，教師需要在創(chuàng)設(shè)的認(rèn)知沖突的情境中，通過(guò)一組指向單位產(chǎn)生的發(fā)問(wèn)引發(fā)學(xué)生的思考。如平均數(shù)的學(xué)習(xí)源自一種比較，需要體會(huì)在比較情境中感知一般數(shù)據(jù)的代表即平均數(shù)。在教學(xué)平均數(shù)時(shí)，教師先給學(xué)生提供一個(gè)3分鐘投籃比賽的情境。四位選手投中成績(jī)?nèi)缦拢海?）5 5 5，（2）3 5 4，（3）3 7 2，（4）5 4 6。讓學(xué)生在比較四位比賽選手投中個(gè)數(shù)的探究空間中，思考該用哪個(gè)數(shù)代表他們3分鐘投籃的一般水平呢；通過(guò)小組討論體會(huì)哪個(gè)投手的投籃水平更穩(wěn)定。一個(gè)取自情境中的比較問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生圍繞數(shù)據(jù)一般水平的代表來(lái)思考，更加反映了平均數(shù)概念產(chǎn)生的本真意義。如何來(lái)找一般數(shù)據(jù)的代表呢？教學(xué)過(guò)程同樣在幾組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的探索中體會(huì)尋找數(shù)據(jù)代表的方法。通過(guò)直觀的進(jìn)球條形統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合四組數(shù)據(jù)的比較，直觀圖示給學(xué)生一個(gè)暗示，第（1）組的3分鐘投籃成績(jī)是同一高度同一水平，所以學(xué)生選擇“5”來(lái)代表第（1）組的投籃水平。在有了同一高度同一水平的暗示后學(xué)生在尋找（2）（3）（4）組的數(shù)據(jù)代表時(shí)就有了突破口，（2）（4）組通過(guò)直觀的把多的移到少的上的操作，總結(jié)出移多補(bǔ)少的選擇數(shù)據(jù)代表的方法，在選擇（3）組的數(shù)據(jù)代表時(shí)不能通過(guò)一次的移多補(bǔ)少來(lái)解決，同時(shí)學(xué)生又有了選擇（1）（2）（4）組的數(shù)據(jù)代表與投籃總個(gè)數(shù)有關(guān)的感知，所以學(xué)生根據(jù)直觀圖示探究出先合再分的方法，在這樣一個(gè)自主探究的活動(dòng)中獲得平均數(shù)的概念。同時(shí)角度的學(xué)習(xí)過(guò)程，也創(chuàng)設(shè)了為了精確地比較兩個(gè)角大小的度量沖突而發(fā)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。因此，在教學(xué)中應(yīng)盡可能多地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究空間，激活學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在探究中感悟度量性概念產(chǎn)生的必要性，激發(fā)他們主動(dòng)接受或是積極“創(chuàng)造”的愿望。

（二）在創(chuàng)造及比較中建構(gòu)度量性概念

度量性概念的獲得始于學(xué)生在探究空間的感知，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)概念，形成表象。學(xué)生在活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生深化知識(shí)，同時(shí)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，一定程度上取決于活動(dòng)本身是否充分、完整、多樣。例如，有教師在教學(xué)完“認(rèn)識(shí)面積單位”后，感悟到如果僅把活動(dòng)目標(biāo)定為感知每個(gè)面積單位的實(shí)際大小，學(xué)生獲得的感性經(jīng)驗(yàn)往往是不夠全面的，所以度量性概念的建構(gòu)與組織高質(zhì)量、合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)有著舉足輕重的關(guān)系。建構(gòu)度量性概念需要強(qiáng)化感知和體驗(yàn)，感知是體驗(yàn)的前提，體驗(yàn)是感知的深化。教學(xué)中需要通過(guò)創(chuàng)設(shè)多種活動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，從各個(gè)維度豐富對(duì)度量性概念的從識(shí)，促進(jìn)學(xué)生個(gè)體對(duì)概念的理解與建構(gòu)。例如，教學(xué)“升和毫升”時(shí)教師安排了玩一玩1毫升的水，數(shù)一數(shù)1毫升的水會(huì)有幾滴。玩一玩10毫升的水，用吸管吸10毫升的水?dāng)D入杯中，與1毫升比一比，有什么發(fā)現(xiàn)。玩一玩100毫升的水，倒在水杯中大概在什么位置。玩一玩1升的水，10個(gè)小組的組長(zhǎng)將100毫升的水倒入空瓶中，感受1000毫升正好是1升。活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)的源泉，沒(méi)有親歷實(shí)踐活動(dòng)就談不上其中經(jīng)驗(yàn)的積累。在活動(dòng)過(guò)程中，有觀察、有操作、有猜測(cè)、有驗(yàn)證，這些富有實(shí)效、充滿情趣的體驗(yàn)，讓學(xué)生不斷與新的度量單位“親密接觸”，學(xué)生正是在對(duì)學(xué)習(xí)材料的第一手直接感受、體驗(yàn)中逐步獲得，在動(dòng)手的操作中獲得了知識(shí)，豐富了個(gè)人的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得了單位轉(zhuǎn)換的規(guī)律性。又如在角度的教學(xué)中，為了讓學(xué)生從實(shí)際生活體驗(yàn)中感知角度，體驗(yàn)角度的大小不同，教師首先給學(xué)生呈現(xiàn)三個(gè)角度不同的滑滑梯，第一個(gè)矮一些，最后一個(gè)最高，并提問(wèn)：喜歡玩哪一個(gè)？學(xué)生不約而同選擇玩第三個(gè)，因?yàn)閷W(xué)生在平時(shí)的游戲活動(dòng)中有玩滑滑梯的經(jīng)歷，第三個(gè)最高玩起來(lái)速度快很刺激。學(xué)生在高低不同的滑滑梯活動(dòng)中潛移默化地感知角度的不同，當(dāng)教師再次追問(wèn)還有什么不同，學(xué)生觀察出角有不同，這時(shí)教師就可以順勢(shì)引入這些角有大小，那么滑滑梯的角度到底有多大呢？我們就需要測(cè)出角的大小，接著進(jìn)行認(rèn)識(shí)量角器和角的度量的學(xué)習(xí)。教師在課堂上提供的相應(yīng)的圖片，把學(xué)生置于玩滑滑梯的情境中，讓學(xué)生在情境中回調(diào)自己前期的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)歷或者參與一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，并不是就一定能獲得充足有力的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思把獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)思考是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是幫助學(xué)生積累和提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要渠道，這樣才能把學(xué)生從最近的數(shù)學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)帶到最遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的終點(diǎn)，這才是一個(gè)完整和諧的教學(xué)過(guò)程。

（三）在應(yīng)用中深化度量性概念的認(rèn)知

準(zhǔn)確建立度量性概念的表象，能幫助學(xué)生在新的問(wèn)題情境中有意識(shí)地自覺(jué)喚醒已有認(rèn)知，促進(jìn)問(wèn)題的解決。認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位時(shí)，讓學(xué)生在通過(guò)完成某一測(cè)量任務(wù)的活動(dòng)中認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位，在測(cè)量的過(guò)程中豐富長(zhǎng)度單位的表象。認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)，讓學(xué)生將面積與熟悉的事物聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生形成不同面積單位的明確表象。認(rèn)識(shí)體積單位時(shí)，調(diào)動(dòng)各種感官促進(jìn)學(xué)生對(duì)度量單位的理解與建構(gòu)。認(rèn)識(shí)角度及平均數(shù)時(shí)，把學(xué)生置于游戲的情境中，讓學(xué)生在游戲體驗(yàn)中感知角度和平均數(shù)，在尋找度量和計(jì)算方法的過(guò)程中讓其表象更加完整。表象的建立，一方面可以依托概念首次獲得時(shí)的體驗(yàn)，形成概念的表象。另一方面還可以依托概念的應(yīng)用以及概念的系統(tǒng)化的鞏固，形成概念的準(zhǔn)確表象。例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)公頃”一課中，在認(rèn)識(shí)公頃概念后，教師安排了利用課前的情境復(fù)習(xí)鞏固?；氐秸n前的數(shù)據(jù)，明孝陵的面積、玄武湖的面積、紅山動(dòng)物園的面積、奧體中心的面積改用公頃做單位如何表示。通過(guò)再次利用課前的情境，學(xué)生將生活中有所體驗(yàn)的面積與表示的××公頃建立了一一對(duì)應(yīng)的表象。接著教師再通過(guò)選擇填入合適的單位鞏固學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的不同面積單位。填上合適的單位：南京師范大學(xué)的面積220（ ），拉薩路小學(xué)的面積6359 （ ），南京城區(qū)的面積76.34 （ ）。借著一組題目的練習(xí)鞏固，學(xué)生不斷地調(diào)動(dòng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的平方米、公頃的大致表象，并通過(guò)“百度”等網(wǎng)絡(luò)工具驗(yàn)證大腦中的度量性概念的表象。對(duì)南京城區(qū)的面積而言，通過(guò)與大學(xué)面積作對(duì)照，學(xué)生開(kāi)始疑惑了，“公頃是一種很大的面積單位，難道還有更大的面積單位，平方米，平方……”教師借著南京城區(qū)的面積引發(fā)了學(xué)生在完成公頃度量表象后思考更大的面積單位——平方千米。

度量性概念的教學(xué)有其共性的一面，如面積、體積、長(zhǎng)度單位等概念的教學(xué)是有規(guī)律可循的。同時(shí)，概念的學(xué)習(xí)也是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，為了降低概念學(xué)習(xí)的抽象程度，化抽象為形象直觀，就需要學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念完善的表象，在這方面，筆者還需要進(jìn)行更多的實(shí)踐探索和理性思考。

（江蘇第二師范學(xué)院 210013）