程軍

一、 從一個(gè)故事說起

歷史上曾經(jīng)有一個(gè)著名的例子，拋擲兩枚均勻硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況. 法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（D’Alembert，Jean Le Rond，1717-1783）認(rèn)為總共有3種可能情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）. 由此，他得出結(jié)論，P（一正一反），而有人就提出反對(duì)意見，認(rèn)為一正一反包含先正后反和先反后正，P（一正一反）. 聰明的小讀者一定想知道，誰的結(jié)論正確呢？問題的關(guān)鍵在于對(duì)等可能性的正確理解！請(qǐng)讀者慢慢往下看.

二、 你理解等可能性嗎？

說到等可能性，同學(xué)們一定覺得沒有什么新奇，很平常，似乎現(xiàn)在課本出現(xiàn)的習(xí)題都理應(yīng)屬于“等可能性”類型，甚至認(rèn)為“等可能性”自然成立.

等可能性：一個(gè)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果有限個(gè)（無限個(gè)），每次只出現(xiàn)其中的某個(gè)結(jié)果，而且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都一樣，那么稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性. 等可能性包含兩層含義：（1） 所發(fā)生的結(jié)果為有限個(gè)（無限個(gè)），每次試驗(yàn)有且只有其中一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)；（2） 每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等. 下面舉例說明.

【舉例1】拋硬幣（質(zhì)地均勻）出現(xiàn)正面朝上和反面朝上的機(jī)會(huì)均等，是等可能事件. 一般在重大比賽中（如世界杯足球賽），主裁會(huì)通過拋硬幣的方式讓雙方隊(duì)長(zhǎng)選擇攻方、守方場(chǎng)地，簡(jiǎn)單公平.

【舉例2】摸彩球（質(zhì)地均勻）各種顏色的彩球出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，是等可能的. 在中國體彩搖獎(jiǎng)的時(shí)候，各種數(shù)字的彩球出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是一樣的，這樣開獎(jiǎng)的形式是公平的.

親愛的小讀者，不要以為我們遇到的事件都是等可能的，生活和學(xué)習(xí)中，有好多結(jié)果是不具有等可能性的.

【舉例A】在一定條件下，種植一粒油菜籽觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)試驗(yàn)有兩結(jié)果：A=“發(fā)芽”；B=“不發(fā)芽”，由于發(fā)芽的因素比較復(fù)雜，A和B的發(fā)生機(jī)會(huì)一般不均等，所以它們是不具有等可能性的.

【舉例B】拋擲一個(gè)圖釘，這個(gè)試驗(yàn)有兩結(jié)果：C=“釘尖著地”，D=“釘帽著地”，由于圖釘質(zhì)量分布不均勻，出現(xiàn)這兩個(gè)事件往往也不是等可能的. 小讀者可以自己試驗(yàn)一下.

【舉例C】在一個(gè)不透明的袋子中放1個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任意摸出一個(gè)球，E=“摸出的是紅球”，F(xiàn)=“摸出的是白球”，則E和F發(fā)生的可能性是不相等的，顯然摸出白球的可能性要大.

【思考】同學(xué)們，在上述摸球游戲中，把三個(gè)球標(biāo)號(hào)為紅1號(hào)，白2號(hào)，白3號(hào)，則事件G=“摸到1號(hào)”，H=“摸到2號(hào)”，I=“摸到3號(hào)”，這三個(gè)事件的發(fā)生卻又是等可能的！不等可能性在一定條件下可轉(zhuǎn)化為等可能性.

現(xiàn)在再來解決本文開始的問題. 拋兩枚硬幣確實(shí)只有三種情形，即正正、反反、一正一反，但這給出的3種情形不是等可能的. 第3種結(jié)果（一正一反）是由兩種結(jié)果產(chǎn)生的，即可以是第一次拋出正面、第二次拋出反面，或是第一次拋出反面、第二次拋出正面，實(shí)際是4種情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），而這4種情形是等可能的. 故P（一正一反）.

三、 等可能條件下的概率含義及計(jì)算

同學(xué)們，初中階段我們遇到的概率題基本上是等可能條件下的，這種類型也叫古典概型（古典概型的最主要的特征之一是事件結(jié)果出現(xiàn)的等可能性）. 如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率為，其中，m表示A事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示一次實(shí)驗(yàn)所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

問題1 （2013·江蘇常州）一只不透明的箱子里共有3個(gè)球，其中2個(gè)白球，1個(gè)紅球，它們除顏色外均相同.

（1） 從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是多少？

（2） 從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個(gè)球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

【分析】（1） 袋子中共有3個(gè)球，抓到每個(gè)球是等可能的. A=“出現(xiàn)白色”，A發(fā)生的可能結(jié)果有2種（共2個(gè)白球），一次實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果是3種，故P（摸出一個(gè)球是白色）；（2） 第一次摸球，雖然顏色只有2種（非紅即白），但抓到紅球和抓到白球不是等可能的，在這種情況下，要畫出樹狀圖，一般做法是把白球標(biāo)號(hào)為白1和白2，這樣三個(gè)球地位對(duì)等，也就是說，抓到紅球、抓到白1、抓到白2，這三個(gè)事件是等可能的.

解：（1） ∵共有3個(gè)球，其中2個(gè)白球，

∴隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為；

（2） 畫樹狀圖如下（圖1）：

B=“兩次出現(xiàn)白球”，B出現(xiàn)的可能結(jié)果2種（即白1、白2；白2、白1），一次實(shí)驗(yàn)總共可能的結(jié)果有6種，故P（兩次摸出的球都是白球）.

【拓展延伸】解答完上述問題，愛動(dòng)腦的小聰和小明一致認(rèn)為，課堂上老師講的樹狀圖，從一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)的“樹枝”所對(duì)應(yīng)的事件是等可能的，當(dāng)然很好理解. 但小聰想每次出現(xiàn)的球非紅即白，如果畫出如圖2的樹狀圖來，顯然與等可能性相違背. 主要原因是出現(xiàn)紅、白的結(jié)果不是等可能的，但若畫出粗細(xì)不均的“樹枝”，以體現(xiàn)紅、白的可能性大小，不就是等可能的了嗎？（小聰畫出了圖3）小聰并解釋第一次摸，“出現(xiàn)白球的可能性”和“出現(xiàn)紅球的可能性”，這兩個(gè)事件是等可能的. 同理第二次摸，也是如此. 小明沉思了好久，認(rèn)為小聰言之有理，并很快列出算式：P（兩次摸出的球都是白球）. 聰明的小讀者，你能理解小聰?shù)南敕▎幔?/p>

問題2 一只螞蟻在如圖4所示的樹上覓食，假如螞蟻在每個(gè)岔口都會(huì)隨機(jī)選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少？

【錯(cuò)解回放】多數(shù)同學(xué)畫出如圖5的樹狀圖，螞蟻共有7種不同的路徑，其中C4，B6兩種走法能獲得食物，故P（螞蟻獲得食物）.

讀到這里，同學(xué)們知道，這一結(jié)論是錯(cuò)誤的！

【分析】顯然，螞蟻到達(dá)各樹梢末端的可能性不等！如圖4，從第二層D、C、B開始向下，事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)依次是，D下有3種，C下有2種，B下有2種，數(shù)目不等，故這些事件不是等可能的. 對(duì)概率的計(jì)算，同學(xué)們往往忽視“一次實(shí)驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等”這一重要條件.

【解決辦法】請(qǐng)小讀者思考下面問題：①螞蟻爬到樹枝AD上，它能得到食物嗎？②若增減D的樹枝數(shù)，螞蟻得到食物的概率是否相等？③你能把螞蟻到達(dá)各樹梢末端的可能性化為相同嗎？由于螞蟻爬到樹枝AD上，無論D點(diǎn)有幾個(gè)分支，都得不到食物，所以增減D點(diǎn)樹枝數(shù)，螞蟻得到食物的概率相等. 現(xiàn)在有辦法了，只要?jiǎng)h減D樹一根，變成兩枝（圖6），這樣螞蟻到各樹梢的可能性就相等了. C4，B6兩種得到食物，一次實(shí)驗(yàn)共有6種結(jié)果，故P（螞蟻獲得食物）. 讀到這里，小聰又想到了上面特殊的樹狀圖（圖7）（粗細(xì)不均的樹枝），列出下列算式，P（螞蟻得到食物）.

等可能性是一種理想狀態(tài)，是一種假設(shè). 目前同學(xué)們接觸到的概率題大多數(shù)是等可能事件的概率題，隨著進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，同學(xué)們會(huì)在學(xué)習(xí)和生活中遇到很多非等可能性事件的概率問題. 望同學(xué)們善待“等可能性”這一特殊的朋友.

請(qǐng)小讀者用心做下面的練習(xí).

1. 下列說法正確嗎？為什么？

（1） 某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次，因?yàn)橹挥袃煞N可能的結(jié)果，不是“投中”就是“未投中”，故P（投中）=P（未投中）=.

（2） 袋子中裝有黃豆、綠豆、豌豆3種豆子，隨手拿出一顆恰好是豌豆的概率是.

2. 拋兩枚普通的正六面體骰子，A=“點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，B=“點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”，則點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率大還是點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率大？