李紅英

摘 要： 中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個(gè)重要的定理，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，因此教學(xué)也有一定的難度.本文首先分析學(xué)生學(xué)習(xí)的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實(shí)質(zhì)，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了具體事例鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實(shí)例鞏固中心極限定理的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 中心極限定理 正態(tài)分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個(gè)重要的定理，銜接著概率論知識與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).利用中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中許多紛亂復(fù)雜的隨機(jī)變量序列和的分布都可以用正態(tài)分布進(jìn)行近似，而正態(tài)分布有著許多完美的結(jié)論，從而可以獲得實(shí)用且簡單的統(tǒng)計(jì)分析方法和結(jié)論.然而，由于中心極限定理的教學(xué)課時(shí)少而定理本身又較抽象，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)理解該定理并能夠加以應(yīng)用.為此，不少教師對該內(nèi)容進(jìn)行了探討.本文結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)和知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生的疑惑，以及教學(xué)的需要，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，對該定理的教學(xué)方法進(jìn)行探討.

一、學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理的困難

中心極限定理這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解中心極限定理，并熟練運(yùn)用該定理進(jìn)行事件概率的近似計(jì)算，然而在講解這一內(nèi)容只有2個(gè)課時(shí)，學(xué)生又不熟悉相應(yīng)的概率基礎(chǔ)，導(dǎo)致無論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對該知識點(diǎn)都存在疑惑，主要表現(xiàn)在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應(yīng)該要理解深刻，概括恰當(dāng)，簡明扼要.

1.中心極限定理的背景

在實(shí)際問題中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所產(chǎn)生的，比如誤差受到材料、環(huán)境、設(shè)備、操作者等因素的影響，每個(gè)因素都是微小的、隨機(jī)的，但綜合起來就產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)過程中的誤差，即誤差是大量的隨機(jī)因素的總和，我們關(guān)心誤差就是關(guān)心大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布.這一點(diǎn)突出了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要地位，在應(yīng)用中凸顯了正態(tài)分布的許多優(yōu)勢，同時(shí)在總體為非正態(tài)的統(tǒng)計(jì)問題中發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用.在實(shí)際問題中，首先分析隨機(jī)現(xiàn)象，將其可分解成大量的隨機(jī)變量的和，那么無論隨機(jī)變量服從正態(tài)還是非正態(tài)，其和近似看做正態(tài)分布，進(jìn)而求相關(guān)的概率計(jì)算問題.學(xué)生對此不理解，主要是因?yàn)樘橄?、太籠統(tǒng)，在教學(xué)中可讓學(xué)生自主探討，發(fā)現(xiàn)總結(jié).

2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機(jī)變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結(jié)論，其形式復(fù)雜，證明繁瑣，但總結(jié)起來本質(zhì)是一個(gè)形式.

棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個(gè)中心極限定理歸根到底是說獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布，可變形為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

3.中心極限定理的應(yīng)用

學(xué)生對中心極限定理內(nèi)容不理解，也導(dǎo)致無法將理論用于實(shí)踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實(shí)質(zhì).中心極限定理常用作概率近似計(jì)算，需要根據(jù)問題的實(shí)際含義定義多個(gè)隨機(jī)變量并給出分布，然后變?yōu)楠?dú)立隨機(jī)變量和，再利用中心極限定理和正態(tài)分布的查表求概率.只有在教學(xué)中選擇恰當(dāng)?shù)睦}，深入分析，合理總結(jié)，才能取到良好的效果.

中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經(jīng)濟(jì)問題中，質(zhì)檢問題中也有廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中可引申生活實(shí)際等有趣的問題，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用的樂趣.

二、中心極限定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

首先利用簡單的引例，讓學(xué)生自主探索，總結(jié)規(guī)律.

例1：有一個(gè)總體X，它是取值于[2，8]的隨機(jī)數(shù)，在等可能被取出的假設(shè)下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.

學(xué)生自主觀察直方圖的特點(diǎn)，得出的規(guī)律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.

比照正態(tài)分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數(shù)表示關(guān)于u對稱的鐘形曲線最合適.

將這一規(guī)律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現(xiàn)出三個(gè)定理.

（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個(gè)重要定理，其優(yōu)勢體現(xiàn)在非正態(tài)分布或不知道分布類型時(shí)，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）主要應(yīng)用兩方面：第一，求隨機(jī)變量之和落在某區(qū)間的概率；第二，已知隨機(jī)變量之和的概率，求.

（3）解題中分析隨機(jī)總體可分解為許多獨(dú)立隨機(jī)變量的和的形式甚為關(guān)鍵.

例2：某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20萬元，問保險(xiǎn)公司虧本的概率.

學(xué)生處理實(shí)際問題的難點(diǎn)就在于不知如何進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.提示兩點(diǎn)：第一，將問題用隨機(jī)變量表示，每個(gè)人參保是隨機(jī)的獨(dú)立的，如何刻畫？第二，保險(xiǎn)公司所得的總收益如何表示，學(xué)生經(jīng)整理后發(fā)現(xiàn)，所求總收益正好可以看成2500個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態(tài)分布.求出變量和的期望和方差，利用正態(tài)分布查表求概率.

為了加強(qiáng)對中心極限定理的理解和鞏固，對學(xué)生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實(shí)例，讓學(xué)生鞏固練習(xí)，加以總結(jié).

3.學(xué)有余力拓展中心極限定理的應(yīng)用領(lǐng)域.

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，善于總結(jié)，容易接受，形成解決實(shí)際問題的統(tǒng)計(jì)思維，熟悉中心極限定理和正態(tài)分布相關(guān)理論很有必要.

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