戴馨 林燕

摘 要： 本文通過幾個(gè)具體實(shí)例探討了壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數(shù)列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個(gè)方面的應(yīng)用，闡明了壓縮映射在數(shù)學(xué)各分支中應(yīng)用的靈活性和廣泛性.

關(guān)鍵詞： 壓縮映射 線性方程組 數(shù)列 方程

泛函分析是20世紀(jì)30年代形成的數(shù)學(xué)分科，泛函分析在數(shù)學(xué)的其他分支中應(yīng)用也很廣泛.度量空間是泛函分析中一個(gè)最簡(jiǎn)單和常用的概念.壓縮映射原理作為泛函分析中完備度量空間概念的應(yīng)用，它在許多關(guān)于存在唯一性定理的證明（如：代數(shù)方程、分析、積分方程、微分方程）中起著重要作用.下面我們通過具體實(shí)例，深入探討壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數(shù)列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個(gè)方面的具體應(yīng)用.

定義[1]：設(shè)（X，d）是度量空間，T是X到X中的映射，若存在數(shù)a，0

幾何意義：x和y經(jīng)過壓縮映射T映射后，像的距離縮短，不超過原像距離的a倍.

定理（壓縮映射原理）[1]：設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，則T有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程Tx=x，有且只有一個(gè)解.

1.線性方程組解的唯一性

例1[2]：設(shè)a ，i，j=1，2，…，n，為一組實(shí)數(shù)，適合條件0< （a -δ ） <1，其中δ 當(dāng)i=j時(shí)為1，否則為0，求證：線性方程組

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a x +a x +…+a x =b

對(duì)任何一組固定的實(shí)數(shù)b ，b ，…，b ，必有唯一的一組解x ，x ，…，x .

證：記A=a ？搖 a ？搖 … ？搖a a ？搖 a ？搖 … ？搖a …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a ？搖 a ？搖 … ？搖a ，

？坌X，Y∈R ，記X=（x ，x ，…，x ） ，||X|| = ，

d（X，Y）=||X-Y|| ，令F（X）=（E-A）X+b，其中E是n×n階的單位矩陣，b=（b ，b ，…b ） ，則易知F為R →R 的映射.？坌X，Y∈R ，有

D（F（X），F(xiàn)（Y））=d（（E-A）X+b，（E-A）Y+b）

=||（E-A）（X-Y）|| ≤||E-A|| ·||X-Y|| =αd（X，Y）.

其中α=||E-A||= （a -δ ） 是矩陣范數(shù)[3]，且0<α<1，故F為壓縮映射.

由壓縮映射原理，F(xiàn)有唯一不動(dòng)點(diǎn)X.因?yàn)?/p>

X=F（X）？圳X=（E-A）X+b？圳AX=b.

故對(duì)任何一組固定的實(shí)數(shù)b ，b ，…，b ，必有唯一的一組解x ，x ，…，x .

2.數(shù)列極限的存在性

例2：已知a =0，a = ，a = ，…，a = ，…，求數(shù)列{a }的極限.

解：令f（x）= ，x∈[0，+∞），則f：[0，+∞）→[0，+∞）.由于 f′（x）= ，故對(duì)任意x，y∈[0，+∞），存在ξ介于x與y之間，使得

|f（x）-f（y）|=|f′（ξ）||x-y|≤ |x-y|.

記α= ∈（0，1），則f是壓縮映射.由壓縮映射原理，方程x=f（x）有唯一解，記為x .

由已知a =0，a =f（a ），n=1，2，…，則

|a -a |=|f（a ）-f（a ）|≤α|a -a |≤…≤a |a -a |.

對(duì)？坌n>m，有

|a -a |≤|a -a |+…+|a -a |

≤（α +…+α ）|a -a |

=a · |a -a |

< |a -a |→0，（n，m→∞）.

故{a }是柯西數(shù)列，從而收斂.記其極限為a.在a =f（a ）兩邊取極限n→∞，由的連續(xù)性知，a=f（a），即a是方程x=f（x）的解，故a=x .解方程x=f（x）= 得x = ，所以{a }的極限為 .

3.方程的近似解

例3：求方程x=1-x 的近似解

分析：若令f（x）=1-x ，則f：[0，1]→[0，1]，對(duì)任意x ，x ∈[0，1]，存在ξ介于x 與x 之間，使得|f（x ）-f（x ）|=4ξ |x -x |.在[1/ ，1]的范圍內(nèi)，f不是壓縮映射，因此不能直接對(duì)f應(yīng)用壓縮映射原理.然而我們可以適當(dāng)改變迭代格式，使之滿足壓縮映射原理.為此，引進(jìn)一個(gè)參數(shù)λ（λ≠0），令G（x）=（1-λ）x+λ（1-x ），則方程x=1-x 等價(jià)于x=G（x）.適當(dāng)選擇參數(shù)λ，可使得|G′（x）|≤q<1.

解：取λ= 則當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|G′（x）|=|1-λ-4λx |=| - x |≤ .所以G：[0，1]→[0，1]且？坌x ，x ∈[0，1]，有|G（x ）-G（x ）| ≤ |x -x |.故G是壓縮映射，由壓縮映射原理，方程x=G（x）有且只有一個(gè)解，記為x ，即方程x=1-x 有且只有一個(gè)解x .

于是我們可以采取迭代格式x =G（x ）= + .由于

故{x }是柯西數(shù)列，所以收斂，且極限即為方程的唯一解x .

4.積分方程的解

例4[4]：考慮常微分方程的初值問題： =F（t，x）x（0）=x .設(shè)F（t，x）對(duì)變量x關(guān)于t一致地滿足局部Lipschitz條件：？堝δ>0及L>0，使得當(dāng)|t|≤h，以及|x -x |≤δ，|x -x |≤δ時(shí)，有|F（t，x ）-F（t，x ）|≤L|x -x |.F（t，x）在[-h，h]×[x -δ，x +δ]上連續(xù)，

M=max{|F（t，x）|（t，x）∈[-h，h]×[x -δ，x +δ]}.

求證：若h

分析：該問題的解等價(jià)于求連續(xù)函數(shù)x（t），使之滿足如下積分方程：

為此考慮映射T（x）（t）=x +？蘩 F（τ，x（τ））dτ.這樣求該初值問題的解，等價(jià)于求C[-h，h]到自身的映射T的不動(dòng)點(diǎn)x.

證：令B（x ，δ）是C[-h，h]中的閉球{x∈C[-h，h]： |x（t）-x |≤δ}，由于對(duì)任意x∈B（x ，δ），有

由Lh<1知，T是B（x ，δ）到B（x ，δ）中的壓縮映射.而B（x ，δ）是C[-h，h]的閉子空間，故（B（x ，δ），d）完備，應(yīng)用壓縮映射原理知，存在x∈B（x ，δ），使得x（t）為該問題的解.

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，胡善文，王漱石.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王康喆.淺談Banach壓縮映射定理的應(yīng)用[J].科技信息（學(xué)術(shù)研究），2008，13：53.

[3]徐樹方，高立，張平文.數(shù)值線性代數(shù)（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001.

資助項(xiàng)目：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）2014年“大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃”項(xiàng)目“線性算子理論及其應(yīng)用”（Y20141701）；北京市人才培養(yǎng)共建項(xiàng)目“數(shù)學(xué)系人才培養(yǎng)模式的改革與創(chuàng)新探索”.