岳彩青

摘 要： 機(jī)構(gòu)自由度是機(jī)構(gòu)具有獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的參數(shù)，是機(jī)械設(shè)計(jì)和分析中重要的概念，針對(duì)分析機(jī)構(gòu)自由度時(shí)出現(xiàn)的問題，說明機(jī)構(gòu)自由度公式的應(yīng)用范圍及需注意的問題，并基于此提出思考，以便更好地運(yùn)用和掌握。

關(guān)鍵詞： 機(jī)械設(shè)計(jì) 機(jī)構(gòu) 自由度 獨(dú)立運(yùn)動(dòng)

引言

機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)時(shí)所必須給定的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目，稱為機(jī)構(gòu)的自由度[1]。機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算問題，無論在《機(jī)械原理》課程中還是在實(shí)際機(jī)械的設(shè)計(jì)和分析中都占有重要地位。常規(guī)設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)必須是確定的；一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)欠癯蔀闄C(jī)構(gòu)不僅取決于其結(jié)構(gòu)，還取決于其原動(dòng)件數(shù)目，機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)的條件是：機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)（以F表示）等于機(jī)構(gòu)給定的原動(dòng)件數(shù)（以s表示），即S=F且F>0；故自由度計(jì)算正確與否將會(huì)引起機(jī)構(gòu)確定運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果的正確，它是機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)必需的步驟。所以機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算在機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中占有很重要的地位。早在19世紀(jì)中后期，德、俄等國學(xué)者已開始對(duì)機(jī)構(gòu)的組成要素、組成方式及分類方法等問題進(jìn)行研究，提出的諸如運(yùn)動(dòng)副等基本概念、機(jī)構(gòu)自由度等基本方法一直沿用至今[2]。我國現(xiàn)行的教材無一例外采用1869 年由俄國科學(xué)院院士契貝舍夫（Grübler-Kutzbach）提出的契氏公式計(jì)算平面機(jī)構(gòu)的自由度。即

F=3n-2■-p■ （1）

其中n為活動(dòng)構(gòu)件數(shù)，p■ 為低副數(shù)，p■為高副數(shù)

但是，在用此公式分析一些平面機(jī)構(gòu)如全移動(dòng)副平面機(jī)構(gòu)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論，與實(shí)際情況不符。基于此，筆者對(duì)公式應(yīng)用條件、注意事項(xiàng)等進(jìn)行了研究并提出了幾點(diǎn)思考。

1.契氏公式的應(yīng)用條件

契氏公式應(yīng)用到現(xiàn)在已近150年的歷史，從發(fā)展的角度看，任何事物的存在都不是完備的，都有其一定的局限性，契氏公式也不例外。隨著機(jī)構(gòu)的發(fā)展、結(jié)構(gòu)自由度研究的進(jìn)展， 人們逐步揭示了機(jī)構(gòu)學(xué)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)和規(guī)律， 揭示了機(jī)構(gòu)學(xué)與結(jié)構(gòu)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，自由度計(jì)算公式的局限性逐漸凸顯出來。

1.1 僅適用于平面機(jī)構(gòu)，不適用于空間機(jī)構(gòu)。

一個(gè)活動(dòng)桿件在平面上有三個(gè)自由度，一個(gè)平面低副引入兩個(gè)約束，一個(gè)平面高副引入1個(gè)約束，故機(jī)構(gòu)的自由度F=3n-2■-p■，顯然契氏公式是適用于平面機(jī)構(gòu)的。一個(gè)在空間不受任何約束而自由運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件共有六個(gè)自由度，每個(gè)運(yùn)動(dòng)副引入約束最多為五，最少為一，顯然契氏公式不能滿足分析空間機(jī)構(gòu)的需要，基于此前蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士陀勃羅伏爾斯基于1943年提出空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算分式：

F=（6-m）n-■（i-m）p■ （2）

其中n為活動(dòng)構(gòu)件數(shù)， m 為機(jī)構(gòu)各構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的公共約束數(shù)， i 為i級(jí)運(yùn)動(dòng)副的約束數(shù)， 由運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生的約束數(shù)決定，P■為i級(jí)運(yùn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)。

1.2不適用于全移動(dòng)副平面機(jī)構(gòu)。

圖1為平面楔形滑塊機(jī)構(gòu)，活動(dòng)活動(dòng)構(gòu)件數(shù)n=2，低副數(shù)pL=3，高副數(shù)pH=0，計(jì)算得機(jī)構(gòu)的自由度為F=0，這與實(shí)際情況不符。就一般推論而言， 平面機(jī)構(gòu)可以理解為空間機(jī)構(gòu)的特例，圖1所示機(jī)構(gòu)可以用上述空間機(jī)構(gòu)自由度公式來計(jì)算。由于該機(jī)構(gòu)為一全移動(dòng)副平面機(jī)構(gòu)，其兩活動(dòng)構(gòu)件被限制在xy平面內(nèi)移動(dòng)，故其公共約束m=4，則該機(jī)構(gòu)的自由度為：

F=（6-m）n-（5-m）p■=（6-4）×2-（5-4）×3=1

圖1 楔形滑塊機(jī)構(gòu)

（a） 閉鏈 （b）開鏈

圖2 五桿機(jī)構(gòu)

1.3僅適用于閉鏈機(jī)構(gòu)，不適用于開鏈機(jī)構(gòu)。

圖2為五桿機(jī)構(gòu)，活動(dòng)活動(dòng)構(gòu)件數(shù)n=4，圖（a）中低副數(shù)p■=5，高副數(shù)p■=0，計(jì)算得機(jī)構(gòu)的自由度為F=2，結(jié)果正確。圖（b）中低副數(shù)p■=4，高副數(shù)p■=0，計(jì)算得機(jī)構(gòu)的自由度為F=4，這與實(shí)際情況不符，由此看出契氏公式不適用于開鏈機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算。

2.契氏公式應(yīng)用時(shí)注意事項(xiàng)

契氏公式存在天然的缺陷與不足，然而時(shí)至今日，在我國的各種教材、設(shè)計(jì)手冊(cè)中，契氏公式仍然還作為最主要的公式在使用，其在很多情況下計(jì)算是正確的，在計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)除了明確其使用條件外，還有一些應(yīng)注意的事項(xiàng)必須正確處理，否則得不到正確結(jié)果。

2.1復(fù)合鉸鏈。

兩個(gè)以上的構(gòu)件同時(shí)在一處用轉(zhuǎn)動(dòng)副相連接就構(gòu)成復(fù)合鉸鏈。圖3是三個(gè)構(gòu)件匯交成的復(fù)合鉸鏈，這三個(gè)構(gòu)件共組成兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。依次類推，K個(gè)構(gòu)件匯交而成的復(fù)合鉸鏈應(yīng)具有（K-1）個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意識(shí)別復(fù)合鉸鏈，以免把轉(zhuǎn)動(dòng)副的個(gè)數(shù)算錯(cuò)。

圖3 復(fù)合鉸鏈 圖4 局部自由度

2.2局部自由度。

在有些機(jī)構(gòu)中， 其某些構(gòu)件所能產(chǎn)生的局部運(yùn)動(dòng)并不影響其他構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)， 我們把這些構(gòu)件所能產(chǎn)生的這種局部運(yùn)動(dòng)的自由度稱為局部自由度。如圖 2 所示的凸輪機(jī)構(gòu)，凸輪為主動(dòng)件，頂桿為從動(dòng)件。凸輪機(jī)構(gòu)的功用是用頂桿獲得預(yù)期的運(yùn)動(dòng)，滾子是為減少高副元素的磨損而加入的從動(dòng)件，滾子與頂桿間形成的自由度不會(huì)影響輸出件的運(yùn)動(dòng)，所以滾子與頂桿間的自由度為局部自由度，在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)， 假想滾子和安裝滾子的構(gòu)件固接為一個(gè)整體，成為一個(gè)構(gòu)件或?qū)C(jī)構(gòu)中的局部自由度除去不計(jì)，否則機(jī)構(gòu)的自由度為二，是不正確的。

2.3虛約束。

在機(jī)構(gòu)中，有些運(yùn)動(dòng)副帶入的約束對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)只起重復(fù)約束作用，特把這類約束稱為虛約束，在計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)應(yīng)將這類虛約束除去，機(jī)構(gòu)中的虛約束常發(fā)生在下列情況：

2.3.1在機(jī)構(gòu)中如果兩構(gòu)件用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，連接前后其連接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡重合，則該連接將帶入1個(gè)虛約束。如圖5（a）中轉(zhuǎn)動(dòng)副C所連接的C■與C■兩點(diǎn)的軌跡就是重合的，均沿y軸作直線運(yùn)動(dòng)，故帶入一個(gè)虛約束。

2.3.2如果兩構(gòu)件在多處接觸而構(gòu)成移動(dòng)副，且移動(dòng)方向彼此平行，則只能算一個(gè)移動(dòng)副。如圖5（b）中構(gòu)件3和4在兩處形成移動(dòng)副，且移動(dòng)方向重合，則在計(jì)算自由度時(shí)只算一個(gè)；如果兩構(gòu)件在多處相配合而構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副，且轉(zhuǎn)動(dòng)軸線重合，則只能算一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。如圖5（c）中構(gòu)件1和2在三處形成轉(zhuǎn)動(dòng)副，且轉(zhuǎn)動(dòng)軸線重合，則在計(jì)算自由度時(shí)只算一個(gè)；如果兩構(gòu)件在多處相接觸而構(gòu)成平面高副，且各接觸點(diǎn)處的公法線彼此重合，則只能算一個(gè)平面高副，如圖5（d）中兩構(gòu)件兩處相接觸而構(gòu)成平面高副，且各接觸點(diǎn)處的公法線彼此重合，因此只算一個(gè)高副。圖5（e）中高副各接觸點(diǎn)處的公法線不重合，所以此種情況沒有虛約束。

2.3.3在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的過程中，若兩構(gòu)件上某兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變，則如用雙轉(zhuǎn)動(dòng)副桿將此兩點(diǎn)相連，也將帶入1個(gè)虛約束。圖5（f）中連桿3作平動(dòng)，BC線上各點(diǎn)的軌跡均為圓心在AD線上而半徑等于AB的圓周。構(gòu)件5與AB等長，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副E、F對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，由此帶入1個(gè)虛約束。

應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)于虛約束，從機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看是多余的，但能增強(qiáng)機(jī)構(gòu)的剛性，改善其受力狀況，因而被廣泛采用。但是虛約束的情況比較復(fù)雜，有時(shí)很難判斷，因此分析時(shí)要注意機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，具體問題具體分析，正確計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度。

（a） （b） （c）

（d） （e） （f）

圖5 具有虛約束的機(jī)構(gòu)

3.機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的思考

平面機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算公式非常簡單，但實(shí)際計(jì)算很復(fù)雜。對(duì)于一個(gè)工程實(shí)際問題，實(shí)際自由度的確定往往不能簡單地套用公式計(jì)算，除了需要考慮復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束等問題（特別是虛約束的問題，往往不容易判斷）外，還必須具體問題具體分析。對(duì)此提出以下幾點(diǎn)思考。

思考一：不管是最早的平面機(jī)構(gòu)自由度公式，后來的空間機(jī)構(gòu)自由度公式，還是現(xiàn)在的新公式[3]新方法[4]，機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的思想是一致的。

一百多年以來，人們對(duì)機(jī)構(gòu)的認(rèn)識(shí)在不斷提高，對(duì)機(jī)構(gòu)理論的研究也越來越深入，機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式也在不斷完善，無論公式的形式如何變化，理論如何更新，這些公式或方法的思想都是統(tǒng)一的，都是利用活動(dòng)構(gòu)件的自由度減去運(yùn)動(dòng)副引入的約束得到的。也就說只要正確獲得活動(dòng)構(gòu)件的自由度與運(yùn)動(dòng)副引入的約束數(shù)，機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算結(jié)果便是正確的。

思考二：活動(dòng)構(gòu)件數(shù)及自由度的判斷是否正確，直接影響到機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的正確性。

在現(xiàn)行各種教材及參考書中，都著重介紹復(fù)合鉸鏈、局部自由度及虛約束等的分析判斷，未見分析活動(dòng)構(gòu)件數(shù)及自由度對(duì)機(jī)構(gòu)自由度的影響。實(shí)際上，對(duì)于全移動(dòng)副楔形滑塊機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算應(yīng)用平面機(jī)構(gòu)自由度公式是沒錯(cuò)的，前提是搞清楚活動(dòng)構(gòu)件的自由度，如圖1所示，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)為2，移動(dòng)副為3，由于兩活動(dòng)構(gòu)件被限制在只能在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即活動(dòng)構(gòu)件的自由度不再是3，而是2，移動(dòng)副引入的約束不是2，而是1，則有F=2×2-3×1=1，結(jié)果正確。

在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目判斷不對(duì)，計(jì)算結(jié)果也是錯(cuò)誤的。如圖6剎車機(jī)構(gòu)，若把車輪誤認(rèn)為機(jī)構(gòu)的一個(gè)構(gòu)件，則結(jié)果不正確。

圖6 剎車機(jī)構(gòu)

思考三：在分析運(yùn)動(dòng)副引入的約束時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析，不應(yīng)一味照搬某些結(jié)論。一般認(rèn)為平面機(jī)構(gòu)中，轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副引入兩個(gè)約束，但在圖1所示楔形滑塊機(jī)構(gòu)中，移動(dòng)副引入一個(gè)約束，這是因?yàn)閮苫顒?dòng)構(gòu)件被限制在只能在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，單個(gè)活動(dòng)構(gòu)件的自由度為2，移動(dòng)副只可能引入1個(gè)約束，若按引入兩個(gè)約束計(jì)算，結(jié)果將是機(jī)構(gòu)不能動(dòng)，這與實(shí)際情況不符。

結(jié)語

機(jī)構(gòu)理論不斷發(fā)展，機(jī)構(gòu)自由度公式也在不斷完善，這些公式各有特點(diǎn)，在應(yīng)用時(shí)除了要明確其適用范圍，注意復(fù)合鉸鏈、局部自由度及虛約束等問題外，對(duì)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算提出幾點(diǎn)思考，以便更好地運(yùn)用和掌握公式，正確計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度。

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