李軍華

二元一次方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，與現(xiàn)實(shí)世界有著十分密切的關(guān)系.用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法是根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組并求解并檢驗(yàn)所得問(wèn)題的結(jié)果是否符合實(shí)際意義.這對(duì)同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有較高的要求.在學(xué)習(xí)二元一次方程組以前同學(xué)們已具備有關(guān)一元一次方程的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該有能力通過(guò)自主探索和合作交流列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 學(xué)習(xí)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是如何尋找實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系的分析，只要多經(jīng)歷一些知識(shí)的行成和應(yīng)用過(guò)程，多經(jīng)歷一些模型化的過(guò)程，體現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主動(dòng)性、獨(dú)立思考與認(rèn)真程度，不是機(jī)械套用，而是要循序漸進(jìn)的培養(yǎng)自己思維的準(zhǔn)確性、廣闊性、靈活性.這樣不但使實(shí)際問(wèn)題得到了有效的解決，同時(shí)也進(jìn)一步提高了解方程組的技能.

“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的名題，暗示著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就.它不僅趣味性強(qiáng)，而且“雞兔同籠”問(wèn)題可以用算術(shù)方法、一元一次方程等方法求解，但用二元一次方程組求解是最為直接的方法.原題：今有雞兔同籠上有35頭，下有94足.問(wèn)雞兔各幾何？（題意為：籠里有雞和兔，共有35只頭，94只足.問(wèn)雞和兔各幾只？）用方程組表達(dá)實(shí)際問(wèn)題的意義時(shí)要突出解決問(wèn)題的過(guò)程，即設(shè)未知數(shù)，找出兩個(gè)相等關(guān)系，列出方程組.現(xiàn)將分析的思維方法展示如下：設(shè)雞有x只，兔有y只，得相等關(guān)系兩個(gè)，雞頭+兔頭=35，雞足+兔足=94.將雞頭、兔頭、雞足、兔足分別用x、y代數(shù)式表示則得到一個(gè)二元一次方程組x+y=35，

2x+4y=94.解之得x=23，

y=12.則問(wèn)題得到解決.像這樣的問(wèn)題不勝枚舉，現(xiàn)再舉一例：我國(guó)明朝程大位所著《算法統(tǒng)宗》中有一道“百僧問(wèn)題”. 原題：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾人？（題意為：有100個(gè)饅頭和100個(gè)和尚，大和尚每人吃三個(gè)，三個(gè)小和尚分一個(gè).問(wèn)大小和尚各有幾人）思維方法：設(shè)大和尚x人，小和尚y人，得相等關(guān)系兩個(gè)，大和尚+小和尚=100，大和尚所吃饅頭+小和尚所吃饅頭=100.將大和尚、小和尚、大和尚所吃饅頭、小和尚所吃饅頭分別用x、y代數(shù)式表示則得到一個(gè)二元一次方程組x+y=100，

3x+13y=100.解之則問(wèn)題得到解決.當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題也可以用一元一次方程的相關(guān)知識(shí)加以解決（解法：設(shè)大和尚x人，則小和尚有（100-x）人，根據(jù)題意列方程：3x+13（100-x）=100，解得x=25，即大小和尚分別為25人和75人.）通過(guò)對(duì)比同學(xué)們可以體會(huì)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題比用一元一次方程解決問(wèn)題思路更加直接，方法也較簡(jiǎn)單.

既然如此，那么從實(shí)際問(wèn)題到方程組，問(wèn)題的探究經(jīng)歷了那些過(guò)程呢？答案就是從實(shí)際問(wèn)題開(kāi)始首先是到數(shù)學(xué)問(wèn)題，再?gòu)臄?shù)學(xué)問(wèn)題到列出方程組，正確列出方程組的關(guān)鍵在于弄清題意，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)，找出問(wèn)題中的兩個(gè)相等關(guān)系.方法就是化實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)中的二元一次方程組問(wèn)題來(lái)解決.通過(guò)對(duì)上面2個(gè)例子的學(xué)習(xí)，你是否覺(jué)得自己還有很多潛力沒(méi)有挖掘出來(lái)呢？這里再舉幾個(gè)題目供大家思考并解決.

（1） 小明買(mǎi)了80分與1元的郵票共10枚，花了9元.80分與1元的郵票各買(mǎi)了多少枚？

（2） “百錢(qián)百貨”古算題：柑三梨四，一錢(qián)棗子買(mǎi)14. 百錢(qián)買(mǎi)百貨，問(wèn)柑、梨、棗各買(mǎi)幾何？

（3） 著名數(shù)學(xué)家歐拉的著作中的百蛋問(wèn)題：兩個(gè)農(nóng)婦一共帶著100個(gè)雞蛋到市場(chǎng)去賣(mài).兩個(gè)人的蛋數(shù)不同，但賣(mài)得的錢(qián)數(shù)一樣.第一個(gè)農(nóng)婦對(duì)第二個(gè)說(shuō)：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣(mài)得15個(gè)銅幣.”第二個(gè)回答道：“如果你的雞蛋換給我，我就只能賣(mài)得20/3個(gè)銅幣.”問(wèn)她們各有雞蛋多少個(gè)？

其實(shí)，探究實(shí)際問(wèn)題的分析和解決，除了解題，自編問(wèn)題交流解答更能挑戰(zhàn)思維，同時(shí)鍛煉我們的獨(dú)創(chuàng)和探索精神，建立對(duì)數(shù)學(xué)的自信，讓自己的思維能力產(chǎn)生一輪又一輪的飛躍.