郜舒竹

關于比和比例的系統(tǒng)理論最早出現(xiàn)于古希臘歐幾里德的《原本》中，其概念的定義出現(xiàn)于第五卷。

《原本》中關于比和比例的內容大多用于幾何問題以及數論方面的研究，而且對于數學內容的研究起到了重要的作用。[1]正是這樣的重要性，使得比和比例作為數學課程與教學的內容，歷經兩千余年而不衰。

一、僅有“生活”情境是不夠的

我國小學數學中“正比例”和“反比例”的課程內容，在人民教育出版社2013年10月出版的《義務教育教科書數學》中，安排在六年級下冊。對于“正比例”的學習，教科書中利用的是“購物”的情境（見圖1），也就是通過“購買鉛筆”的實際情境，讓學生感受到當單價固定不變的時候，“數量”與“總價”是成正比例的。

對于“反比例”的學習，教科書中利用的是把相同體積的水倒入底面積不同的杯子（見圖2），讓學生感受到在水的體積固定不變的情況下，容器的“底面積”和水的“高度”是成反比例的。

這樣的安排應當說利用了學生已有的知識和經驗，對于學生了解“正比例”和“反比例”的含義是有益的。但同時應當認識到，學生在小學的最后階段學習正比例和反比例，具有承上啟下的作用。一方面應當體現(xiàn)對過去所學的相關數學內容的總結，另一方面應當為初中相關數學內容的學習奠定基礎。

因此，在教學過程中，不能將正、反比例所適用的情境僅僅定位于所謂的“生活情境”，還應當包括數學中的內容。比如圓的周長與直徑（或半徑）之間的關系就是典型的正比例關系。另外，正比例和反比例并不是相互割裂的兩個概念，往往表現(xiàn)為同一情境中的不同關系。比如在“行程問題”中，如果速度是固定不變的常量，那么路程和時間就是成正比例的關系；同樣，如果時間是固定不變的常量，那么路程和速度也是成正比例的關系；如果路程是固定不變的常量，那么速度和時間就是成反比例的關系。

事實上，所有正比例和反比例關系都可以概括到數學模型“a×b=c”中，如果其中一個因數（a或b）代表固定不變的常量，那么另一個因數所代表的變量與字母c所代表的變量就是成正比例關系的；如果其中字母c所代表的是固定不變的常量，那么兩個因數a和b分別代表的變量就是成反比例關系的。因此，凡是具有兩個量之積等于另外一個量的情況，其中就應當有正比例和反比例的關系。

二、長方形中的“正比例”和“反比例”

所有長方形的面積與其邊的長度和寬度的關系可以概括為“長×寬=面積”。其中如果“面積”是固定不變的常量，那么“長”與“寬”的長度就是成反比例的量。如果一條邊的長度，比如“寬”是常量，那么“長”與“面積”就是成正比例的關系（見圖3）。

圖3中的正比例關系可以表達為“A1∶A2=a1∶a2”，或者用分數的符號表示為“=”。在此基礎上，圖4的長方形中，如果用A1，A2，B1，B2分別代表相應部分的面積，那么就有“=”和“=”同時成立。因此就有“=”成立。

這樣的關系可以進一步推廣，在圖5中，如果每個字母代表相應部分的面積，那么就有下面的正比例關系：

==…=

這樣的模型在解決問題中是有用的，比如圖4中如果已知四個部分中任意三個部分的面積，那么利用=就可以輕易地求出另外一個部分的面積。

三、三角形中的“正比例”與“反比例”

任意三角形的面積與其“底”邊長度和“高”度之間的關系為“底×高=2面積”，如果三角形面積是常量，那么面積的“2倍”自然也是常量，此時三角形的“底”邊長度和“高”度就成反比例關系。如果“高”度是常量，那么三角形的面積與“底”邊長度就是成正比例關系。比如在圖6中，圖中大寫字母A1和A2分別代表相應部分的面積，小寫字母a1和a2分別代表相應底邊的長度。

由于三角形的高度是固定不變的常量，因此底邊長度和面積就是正比例關系，可以表示為如下的形式“A1∶a1=A2∶a2”，或者“=”。這樣的關系可以推廣為圖7的形式。

類似的正比例關系為“A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an”，或者“==…=”。

這樣的正比例關系實質上溝通了邊的長度與相應部分面積之間的關系，這樣的關系在今后中學乃至大學的數學學習中都是重要的。比如對于三角形重心位置的確定，就可以運用這樣的關系。

在圖8的三角形ABC中，D點是BC邊的中點，E點是AC邊的中點。從三角形的頂點到對邊中點的連線叫作三角形的中線。圖8中的AD和BE都是三角形ABC的中線。三角形ABC的重心就位于中線的交點O處。

下面需要確定重心O點的具體位置。首先，由于三角形ADC和BCE的面積都是大三角形ABC面積的一半，所以二者面積相等。把這兩個三角形同時去掉公共部分（四邊形OECD），就可以知道三角形AOE和三角形OBD面積相等。同樣方法還可以知道三角形ABO和四邊形OECD面積相等。

再來看看三角形OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積是什么關系。為了便于比較，連接O點和C點，把四邊形分割為兩個三角形ODC和OEC（見圖9）。

由于D點是BC邊的中點，因此三角形ODC與鄰近的三角形OBD面積相等，三角形OEC與鄰近的三角形AOE面積相等。聯(lián)系剛才的結果，就可以知道下面兩個關系，三角形ABO的面積等于三角形AOE面積的2倍，也等于三角形OBD面積的2倍。

利用前面所說的面積與邊長的正比例關系，立刻就可以知道線段BO的長度是線段OE長度的2倍，同樣線段AO的長度是線段OD長度的2倍?，F(xiàn)在就知道三角形重心的具體位置了，任意三角形的重心是三條中線的交點，這個交點位于每一條中線靠近底邊的三等分點處。

四、“正比例”與“反比例”的教學設計

綜上，關于正比例和反比例的教學應當形成的觀點主要有三點：第一，正比例和反比例并非全新的知識，其本質是對所有具有“兩個量之積等于第三個量”的數量關系進行概括的數學模型；第二，正比例和反比例往往是同一模型中的兩種關系，所以在教學中可以同時出現(xiàn)，便于學習過程中的對比；第三，這個模型對于學生的數學學習有承上啟下的作用，所應用的情境不應當局限于所謂的“生活”，還應當包含有數學中的內容。

“變教為學”倡導知識的呈現(xiàn)應當“突出本質、滲透文化、實現(xiàn)關聯(lián)”。作為我國傳統(tǒng)文化的成語中，有些也蘊含著正比例和反比例的觀念。比如成語“半斤八兩”，中國古時關于重量的計量單位為“1斤=16兩”，“斤”與“兩”的關系其實就是正比例關系。事實上，所有度量單位之間的轉換，都是依據類似于此的正比例關系。再比如成語“事半功倍”，表達的意思是做事方法巧妙，雖然費力小，但是做出的成果大。也可以把其中的“事”理解為工作時間，“功”理解為工作效率，那么這個成語所說的意思就是在工作總量不變的情況下，工作效率與工作時間是反比例關系，也就是說，提高效率就等于節(jié)約了時間。

有了這些認識，就可以把學習目標敘述為：“總結具有兩個量之積等于第三個量的數量關系；認識其中的正比例關系和反比例關系?！币罁@樣的學習目標，可以設計如下的學習任務。

任務1：寫出所有你知道的，具有“□×□=□”形式的公式。比如“長×寬=長方形面積”。在小組內交流，互相補充。

學生依據這樣的任務，就需要在自己已有的知識和經驗中回憶?？赡軐懗龅年P系式主要有如下的類型：度量單位換算；面積和體積公式；工程問題；行程問題；購物問題；等等。這樣的回憶能夠幫助學生對已有的知識和經驗進行歸納，發(fā)現(xiàn)其共性，為下面概括出正比例和反比例關系做好準備。

任務2：在“□×□=□”的三個量中，如果固定其中的一個，那么另外兩個量是什么關系呢？用一個例子進行說明。

設計這個任務的目的是讓學生體會“常量”與“變量”的含義，同時感受兩個量之間依賴與制約的關系。

任務3：自己想想，什么叫作“兩個量成正比例”？什么叫作“兩個量成反比例”？在小組內說說自己的想法。

通過對這些任務的思考討論，學生可以初步經歷比較并且概括的過程。在此基礎上，可以引導學生閱讀教科書，進一步明確“正比例”和“反比例”的含義。在此基礎上，運用前面所說的成語解讀以及相關的數學問題等內容，讓學生經歷深入理解正比例和反比例關系的過程。

參考文獻：

[1] Isaac Barrow. Euclid’s Elements[M]. London： Printed and Sold by W. Redmayne. 1714.

（首都師范大學初等教育學院 100048）