薛超群

摘 要： 高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)提出培養(yǎng)學(xué)生的空間想象等基本能力.如何在教學(xué)中對教材內(nèi)容做進一步提煉、概括，總結(jié)立體幾何招式套路在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，將立體幾何題目的解決轉(zhuǎn)化為尋找相對應(yīng)的招式，使學(xué)生學(xué)習(xí)起來能通俗易懂、快速有效.

關(guān)鍵詞： 教材內(nèi)容提煉 立體幾何招式套路 解決立體幾何問題

根據(jù)《全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》，高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進步的需要.具體目標(biāo)提出提高學(xué)生的空間想象等基本能力. 高中立體幾何二十四招式理論，是將立體幾何中最重要的解題思路總結(jié)歸納成招式模式，每一個招式指的是一種解題思路，共二十四個思路.高中立體幾何二十四招式實踐，是指高中立體幾何二十四招式在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，將立體幾何題目的解決轉(zhuǎn)化為尋找相對應(yīng)的招式.高中立體幾何二十四招式理論與實踐，是指上述兩項內(nèi)容的總稱.如何在教學(xué)中對教材內(nèi)容做進一步提煉、概括，總結(jié)出立體幾何招式套路在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，將立體幾何題目的解決轉(zhuǎn)化為尋找相對應(yīng)的招式，使學(xué)生學(xué)習(xí)起來通俗易懂、快速有效.

高中立體幾何二十四招式前半部分簡介如下：

招式一：看到中點找中點：看到三角形一條邊的中點，取另一邊的中點，連接兩個中點.即若E為△ABC邊AB中點，則連接E與另一邊中點.

招式二：看到垂直做垂直：看到平面α⊥β，在平面α內(nèi)作垂直于兩平面交線l的直線α，則所作的直線l⊥β.即若α⊥β，α∩β=l，a∩α，a⊥l，則a⊥α.

招式三：看到等腰就劈斷：看到等腰三角形ABC，連接頂點和底邊中點.即若D為等腰三角形ABC底邊BC的中點，則連接AD.

招式四：電線桿和田?。褐本€l和平面α垂直，則直線l垂直于α內(nèi)的任一直線a.即若l⊥α，a？奐α，則l⊥a.

招式五：泥工師傅灌平臺：平面α內(nèi)兩交線分別平行于平面β，則α∥β.即若a？奐α、b？奐α，a∩b=O，a∥α，b∥β，則α∥β.

招式六：吊瓶架兩垂直：直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條交線，則l⊥α.即若a？奐α、b？奐α，a∩b=O，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.

招式七：公理四傳染?。褐本€a與直線b平行，直線b與直線c平行，則直線a與直線c平行.即若a//b，b//c，則a//b.

招式八：透過竹簽就垂直：平面β經(jīng)過另一個平面α的垂線l，則α⊥β.即若l⊥α，l？奐β，則α⊥β.

招式九：直躺二樓平一樓：平面α與平面β平行，直線l在平面α內(nèi)，則l//β.即若l？奐α，α∥β，則l//β.

招式十：三推一：平面α外的一條直線a平行于平面α內(nèi)的一條直線b，則a//β.即若a//b，a？埭α，b？奐β，則a//β.

招式十一：棱（人）無處不在：棱錐中，棱包括側(cè)棱和底面多邊形邊長. 即在棱錐中，棱包括側(cè)棱

招式十二：棱柱兩平行：棱柱兩個底面互相平行，側(cè)棱也互相平行.即棱柱底面α與底面β互相平行，

利用以上的招式套路，可以解決大部分立體幾何問題，思路清晰，簡潔明快.

例1.如圖，在正四面體A-BCD中，求證：CD⊥AB.

分析：要證明CD⊥AB，只需證明CD垂直于AB所在的平面.

看到CD=AC，BC=BD，用招式三“看到等腰就劈斷”.

看到AD⊥AE，CD⊥BE，用招式六“吊瓶架兩垂直”.看到CD平面ABE，用招式四“電線桿和田埂”.

證明：取CD邊中點，連接AE、BE，

∵AD=AC，∴CD⊥AE，同理CD⊥BE，

∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，

∵AB？奐平面ABE，∴CD⊥AB.

例2.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，AD=DE=2 AB，△ACD為正三角形，且F是邊CD的中點.（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE.

分析：（Ⅰ）要證明AF∥平面BCE，只需證明AF平行于平面BCE內(nèi)的一條直線，用招式一“看到中點找中點”、 招式十“三推一”、招式七“公理四傳染病”.

（Ⅱ）要證明平面BCE⊥平面CDE，只需證明平面BCE內(nèi)的一條直線與平面CDE垂直，用招式一“看到中點找中點”、 招式十“三推一”、 招式七“公理四傳染病”、 招式八“透過竹簽就垂直”招式.

證明：（Ⅰ）取CE邊中點P，連接連接BP、PF，

∵F是邊CD的中點，∴PF//DE，∵DE//AB，∴AB//PF.

∵DE=2 AB，PF=2AB，∴AB=PF，∴四邊形ABPF是平行四邊形，

∴BP//AF，∵AF？埭平面BCE，BP？奐平面BCE，∴AF∥平面BCE.

（Ⅱ）由△ACD為正三角形，∴AF⊥CD，

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

∴DE⊥AF，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE，

∵BP？奐平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

例3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2 AB=2 BC=2，O為AD中點.求證：PO⊥平面ABCD.

根據(jù)《全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》及心理學(xué)理論，在高中立體幾何教學(xué)中，對有關(guān)概念、公理、性質(zhì)等內(nèi)容進行提煉總結(jié)，學(xué)生根據(jù)總結(jié)出的二十四招式套路，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路，可以提高立體幾何解題能力，增強學(xué)習(xí)信心.

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn).北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.