賈曉華

摘 要： 本文在介紹美國AP數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上結(jié)合中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》從課程內(nèi)容和目標方面進行比較分析，發(fā)現(xiàn)美國AP課程與中國高中數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容方面比較相似，然而美國AP微積分課程更側(cè)重微積分知識體系的完整性而中國高中數(shù)學(xué)課程更側(cè)重微積分的實際應(yīng)用，美國AP統(tǒng)計學(xué)課程更強調(diào)學(xué)生對統(tǒng)計學(xué)概念和基本思想的理解而中國高中數(shù)學(xué)課程更強調(diào)學(xué)生對統(tǒng)計概念的理解和計算。

關(guān)鍵詞： 美國AP數(shù)學(xué) 課程比較 微積分 統(tǒng)計學(xué)

創(chuàng)建于1900年的美國大學(xué)入學(xué)委員會（College Board）是一個非盈利的協(xié)會，它的目的是幫助學(xué)生在大學(xué)獲得成功和機會。21世紀初，在幫助學(xué)生順利過渡到高等教育方面，這一組織是全美公認的業(yè)界領(lǐng)袖。目前該協(xié)會由超過五千四百個學(xué)校、學(xué)院、大學(xué)和其他教育機構(gòu)組成，有大學(xué)入學(xué)指導(dǎo)、評價，經(jīng)濟援助、注冊和教學(xué)等主要的項目和服務(wù)，其中知名的項目有學(xué)術(shù)評估測試（SAT？襆），初步學(xué)術(shù)評估測試/國家獎學(xué)金申請資格測（PSAT/NMSQT？襆）、大學(xué)預(yù)修課程項目（the Advanced Placement Program？襆（AP？襆））。始于1955年的AP課程即在高中階段開設(shè)具有大學(xué)水平的課程以供學(xué)有余力的學(xué)生在高中階段就能學(xué)習大學(xué)課程，截至2014年，共開設(shè)37門課程，其中數(shù)學(xué)課程有三門，分別是AP微積分AB、AP微積分BC和AP統(tǒng)計學(xué)。因為越來越多想要留學(xué)海外的中國高中生選擇在高中階段參加AP考試，所以從2009年開始中國境內(nèi)開始開設(shè)AP考試的考點，截至2014年中國考生可以選擇的AP課程有23門[1]，很多AP學(xué)校根據(jù)自身情況選擇性地開設(shè)一部分中國考生可以選擇的AP課程，其中三門AP數(shù)學(xué)課程是中國AP學(xué)校開設(shè)最多的課程，也是中國學(xué)生最有可能滿分的課程。

本文將從內(nèi)容和目標等方面比較詳細地介紹美國AP微積分課程和美國AP統(tǒng)計學(xué)課程，并結(jié)合中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》[2]進行比較分析，以期對美國AP數(shù)學(xué)課程有比較全面的了解。

一、美國AP微積分課程比較與分析

（一）美國AP微積分課程概況

美國AP微積分課程分為兩門課，AP微積分AB和AP微積分BC課程，其中AP微積分BC課程除了包括AP微積分AB課程的所有內(nèi)容外，還增加了一些新的內(nèi)容。

這兩門課都要求學(xué)生在選修之前必須完成以讀大學(xué)為目的設(shè)計的高中數(shù)學(xué)課程，他們應(yīng)該學(xué)過以下內(nèi)容：代數(shù)、幾何、三角、解析幾何和初等函數(shù)。尤其重要的是，在學(xué)習微積分課程之前，學(xué)生必須熟悉函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的代數(shù)表達式和函數(shù)的圖像，必須理解函數(shù)語言，知道特殊角（0，π/6，π/4，π/3，π/2）及其倍角的三角函數(shù)值[3]。

（二）美國AP微積分課程的總目標

1.掌握函數(shù)的多種表示方式：圖像、數(shù)值、解析式和口頭表示，理解這些表達方式之間的聯(lián)系；2.理解導(dǎo)數(shù)的含義是變化的速率和線性近似，運用導(dǎo)數(shù)解決問題；3.將定積分理解為黎曼和的極限，變化的靜積累，運用定積分解決問題；4.理解微積分基本定理將導(dǎo)數(shù)和定積分聯(lián)系在一起；5.用口頭方式和書面方式進行數(shù)學(xué)交流和解釋問題答案；6.運用函數(shù)、微分方程和積分給已知的實際問題建模；7.運用圖形計算器解決問題、實驗、解釋結(jié)果和支持結(jié)論；8.確定合理的答案，包括符號、大小、相對精度和計量單位；9.將微積分看做是一個整體，人類的成就[3]。

（三）課程主要內(nèi)容比較與分析

通過對美國AP數(shù)學(xué)課程與中國高中數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的比較與分析，得出以下結(jié)果：

1.函數(shù)、圖像和極限部分

美國AP微積分課程的第一部分是函數(shù)、圖像和極限部分，具體內(nèi)容如下：

（1）圖像分析：在教育技術(shù)的輔助之下很容易繪制函數(shù)圖像。當使用微積分預(yù)測和解釋觀察到的局部和整體趨勢的函數(shù)時，強調(diào)幾何和分析信息之間的相互影響；（2）函數(shù)的極限（包括單側(cè)極限）：直觀地理解求極限的過程，用代數(shù)方法計算極限；依據(jù)圖像和數(shù)據(jù)表估計極限；（3）漸近性和無界性：根據(jù)圖像的變化趨勢理解漸近性，根據(jù)與無限性有關(guān)的極限描述漸近趨勢，比較函數(shù)的相對大小和變化的速率（例如冪增長、多項式增長和對數(shù)增長）；（4）作為函數(shù)性質(zhì)的連續(xù)性：直觀的理解連續(xù)性，當自變量的取值足夠接近時，函數(shù)值可以想多接近就能多接近，從極限的角度理解連續(xù)性，從幾何的角度理解連續(xù)函數(shù)圖像（中值定理和極值定理）；（5）參數(shù)、極坐標和向量函數(shù)：分析平面曲線，包括用已知的參數(shù)、極坐標和向量形式表示的平面曲線[4]。

在中國高中數(shù)學(xué)課程標準中并沒有函數(shù)的極限和連續(xù)性等內(nèi)容，究其原因，美國AP微積分課程是按照微積分學(xué)科體系的基本線索：極限理論——連續(xù)理論——導(dǎo)數(shù)與微分——積分理論——微積分基本定理展開的，所以第一部分是通過函數(shù)的極限和連續(xù)性引導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的概念。全日制高中數(shù)學(xué)課程標準是直接通過實際背景和具體實例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，并通過提出恰當?shù)膯栴}使學(xué)生感受學(xué)習瞬時變化率的必要性。然后，在對實際背景問題研究的基礎(chǔ)上，抽象概括導(dǎo)數(shù)的概念。

2.導(dǎo)數(shù)

美國AP微積分課程的第二部分是導(dǎo)數(shù)部分，具體內(nèi)容如下：

（1）導(dǎo)數(shù)的概念：用圖像，數(shù)值和解析式所表示的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)可以解釋為變化的瞬時速率；導(dǎo)數(shù)可以定義為差商的極限；可微性和連續(xù)性的關(guān)系。（2）一點處的導(dǎo)數(shù)：曲線上一點的斜率。需要強調(diào)的是這一點包括過這點可做曲線的切線，也包括經(jīng)過這點不可做曲線的切線；過一點的曲線的切線和局部線性逼近；變化的瞬時速率是變化的平均速率的極限；從圖像和數(shù)值表中得到變化的近似速率。（3）作為一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對應(yīng)的f和f′圖像的特點；函數(shù)f的增減趨勢與f′符號之間的關(guān)系；中值定理及其幾何表示；導(dǎo)數(shù)方程。將文字描述轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)方程，反之亦然。（4）二階導(dǎo)數(shù)：對應(yīng)的f、f′和f″圖像的特點；函數(shù)f的凹凸性與f″符號之間的關(guān)系；拐點反映的是凹凸性的變化。（5）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：曲線分析，包括單調(diào)性和凹凸性；極值優(yōu)化方法，包括絕對極值（總極值）和相對極值（分極值）；變化率模型，包括相關(guān)的速率問題；在多樣化的應(yīng)用環(huán)境中導(dǎo)數(shù)可以解釋為變化率，包括速度、速率和加速度；通過斜率場和曲線的微分方程的解之間的關(guān)系理解微分方程的幾何解釋；分析已知的用參數(shù)，極坐標和向量形式表示的平面曲線，包括速度和加速度。（6）導(dǎo)數(shù)的運算：基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，包括冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，函數(shù)和、積和商的導(dǎo)數(shù)；鏈式法則（求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），隱函數(shù)的微分；參數(shù)函數(shù)、極坐標函數(shù)和向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[4]。

比較與分析：導(dǎo)數(shù)部分最主要的內(nèi)容是相似的，都包括導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運算和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。只是美國AP微積分課程還包括二階導(dǎo)數(shù)、求參數(shù)、極坐標和向量表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容。

3.積分

美國AP微積分課程的第三部分是積分部分，具體內(nèi)容如下：

（1）定積分的概念和性質(zhì)：定積分定義為黎曼和的極限；在某段時間內(nèi)定積分值的變化率解釋為這段時間定積分值的變化；定積分的基本性質(zhì)，包括可加性和線性。（2）積分的應(yīng)用：積分應(yīng)用很廣泛，物理、生物或經(jīng)濟領(lǐng)域都在應(yīng)用恰當?shù)亩ǚe分建模。盡管一門課里可能只有一個應(yīng)用積分的案例，但學(xué)生應(yīng)該運用所學(xué)知識解決其他相似的應(yīng)用問題。無論選擇哪種建模方法，都要建立近似的黎曼和并將定積分表示為它的極限。（3）為了提供一個共同的基礎(chǔ)，定積分具體的應(yīng)用問題包括求區(qū)域的面積（包括由極坐標曲線圍成的區(qū)域）、已知截面的物體的體積、函數(shù)的平均值、一個點沿直線運動的距離、曲線的長度（包括參數(shù)形式給出的曲線）由變化的速率引起的累積變化。（4）微積分基本定理：運用微積分基本定理評價定積分的定義；運用微積分基本定理表示一個特定的不定積分，并運用函數(shù)解析法和圖像分析法確定。（5）積分法：不定積分源自基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；不定積分換元法；用變量（包括定積分變化的極限）代換法、分部法，簡單的分部分式積分法換元；廣義積分（作為定積分的極限）。（6）積分的應(yīng)用：根據(jù)初始條件求積分解，包括沿直線運動的運動學(xué)問題；解可分離型微分方程，并使用它們建模（包括研究方程y=KY和指數(shù)增長）；解邏輯微分方程并運用它建模。（7）定積分的數(shù)值計算，將用代數(shù)、圖像和數(shù)據(jù)表法表示的函數(shù)利用黎曼和法（運用左端點法、右端點法、中點法）和梯形法定義定積分。運用歐拉公式求微分方程的數(shù)值解；羅比達法則，包括運用羅比達法則求極限，確定不定積分和級數(shù)的收斂[4]。比較與分析：中國高中數(shù)學(xué)課程標準對于定積分的概念和微積分基本定理只是簡單的了解，而美國AP微積分課程比較全面，包括積分的主要內(nèi)容。

4.級數(shù)

美國AP微積分課程的第四部分是級數(shù)部分，具體內(nèi)容如下：級數(shù)的概念。級數(shù)定義為部分和的一個序列，收斂定義為部分和序列的極限；連續(xù)級數(shù)；引人入勝的例子，包括十進制展開；幾何級數(shù)的應(yīng)用；調(diào)和級數(shù)；有誤差限的交錯級數(shù)；級數(shù)就是矩形的面積及它們與廣義積分之間的關(guān)系，包括積分判別法，以及使用這一方法判別P級數(shù)的收斂性；判定級數(shù)收斂或者發(fā)散的比率判別法；比較級數(shù)以判別斂散性；泰勒級數(shù)；以圖像為例說明泰勒多項式的收斂性，例如觀察正弦函數(shù)的不同泰勒多項式的圖像，圖像逼近正弦曲線；麥克勞林級數(shù)和一般的泰勒級數(shù)的中心在x=a；麥克勞林級數(shù)；泰勒級數(shù)的正式算法和簡便說法，包括換元、微分、積分和從已知級數(shù)構(gòu)造新的級數(shù)；由冪級數(shù)確定的函數(shù)；+冪級數(shù)的半徑和收斂區(qū)間；泰勒多項式的拉格朗日誤差限[4]。

比較與分析：美國AP數(shù)學(xué)課程包括級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，而全日制高中數(shù)學(xué)課程標準中卻不涉及這部分內(nèi)容。

二、美國AP統(tǒng)計課程比較與分析

（一）美國AP統(tǒng)計課程概況

美國AP統(tǒng)計課程從1996年正式開考，一般來說面向高中第三年（11年級）、第四年（12年級）學(xué)生，允許沒有學(xué)過AP微積分課程的學(xué)生可以選修AP統(tǒng)計學(xué)課程。課程總目標是給學(xué)生介紹收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和基于數(shù)據(jù)得出結(jié)論方面的主要概念和工具[5]。課程主要內(nèi)容和目標是：

1.探究數(shù)據(jù)

美國AP統(tǒng)計學(xué)課程的第一部分是探究數(shù)據(jù)部分，具體內(nèi)容和目標如下：

具體內(nèi)容：構(gòu)造和解釋單變量數(shù)據(jù)分布的圖像，總結(jié)和比較單變量數(shù)據(jù)分布，探究二元和分類數(shù)據(jù)。

課程目標：利用了圖形和數(shù)字技術(shù)研究模式和偏離模式對數(shù)據(jù)進行探究性分析；在研究數(shù)據(jù)分布時，學(xué)生應(yīng)該發(fā)現(xiàn)重要的特征，如形狀、位置、多變性和不尋常的數(shù)值；通過仔細觀測數(shù)據(jù)中的模式，學(xué)生可以生成有關(guān)變量之間關(guān)系的猜測；一個變量如何與另一個變量相關(guān)聯(lián)的想法幾乎滲透所有的統(tǒng)計領(lǐng)域，從簡單的比例的比較到線性回歸；相關(guān)和因果關(guān)系的區(qū)別定會伴隨這個概念發(fā)展[6]。

比較與分析：內(nèi)容都包括探究兩個變量之間的關(guān)系，包括相關(guān)性和因果關(guān)系，建立線性回歸方程。美國AP統(tǒng)計學(xué)課程還包括描述統(tǒng)計的內(nèi)容，比如發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征，中國高中數(shù)學(xué)課程通過對用樣本估計總體內(nèi)容的學(xué)習使學(xué)生理解平均數(shù)，標準差的意義，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并作出合理的解釋。美國AP統(tǒng)計學(xué)課程更強調(diào)對概念理解與解釋，中國數(shù)學(xué)課程標準更關(guān)注具體數(shù)學(xué)計算。

2.抽樣和實驗

美國AP統(tǒng)計學(xué)課程的第一部分是抽樣和實驗部分，具體內(nèi)容和目標如下：

具體內(nèi)容：采用合適的數(shù)據(jù)收集方法計劃、實施調(diào)查和實驗；能從可觀察的研究、實驗和調(diào)查得出普遍性的結(jié)果和結(jié)論。

具體目標：如果要獲得有效信息就必須依據(jù)一個精心設(shè)計的計劃收集數(shù)據(jù)。如果所收集的數(shù)據(jù)是有趣問題的答案，那么必須做出詳細的計劃。適當分析的類型及從這個分析中得出的結(jié)論的性質(zhì)都依賴于數(shù)據(jù)收集的方式。數(shù)據(jù)收集方式必需而合理，應(yīng)該通過取樣或者實驗的方式收集數(shù)據(jù)，這是數(shù)據(jù)分析過程的重要步驟[6]。

比較與分析：都強調(diào)提出統(tǒng)計問題，用科學(xué)的抽樣方法從總體中抽取樣本，然后通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)的過程。美國AP統(tǒng)計學(xué)課程強調(diào)學(xué)生對這一研究過程的理解，中國高中數(shù)學(xué)課程強調(diào)學(xué)生對具體抽樣方法（如簡單隨機抽樣，分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法）的掌握和應(yīng)用。

3.預(yù)測模式

美國AP統(tǒng)計學(xué)課程的第三部分是預(yù)測模式部分，具體內(nèi)容和目標如下：

具體內(nèi)容：獨立隨機變量的組合、正態(tài)分布和抽樣分布。

具體目標：概率是根據(jù)已知的模型預(yù)測數(shù)據(jù)分布情況的工具。隨機現(xiàn)象并非偶然，長遠看，隨機現(xiàn)象會表現(xiàn)出規(guī)律并用分布表示。統(tǒng)計的中心是對變化的數(shù)學(xué)表達。統(tǒng)計推斷需要概率不是為了公理化或者聯(lián)合，而是為了使用概率分布描述數(shù)據(jù)[6]。

比較與分析：美國AP統(tǒng)計學(xué)課程強調(diào)學(xué)生理解概率的概念，能夠用概率描述數(shù)據(jù)。中國高中數(shù)學(xué)課程強調(diào)學(xué)生對概率及其相關(guān)概念（如條件概率，互斥事件，獨立事件）的理解，理解古典概型及其計算方法，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列，均值、方差的概念，計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，通過實際問題認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。

4.統(tǒng)計推斷

美國AP統(tǒng)計學(xué)課程的第四部分是統(tǒng)計推斷部分，具體內(nèi)容和目標如下：

具體內(nèi)容：參數(shù)估計與假設(shè)檢驗，顯著性檢驗。

具體目標：使用統(tǒng)計推斷確定合適模型的選擇。 在統(tǒng)計工作中模型和數(shù)據(jù)互相影響：模型用來從數(shù)據(jù)中得到結(jié)論，而數(shù)據(jù)被允許通過推斷和診斷法批評甚至證偽模型。數(shù)據(jù)推斷可以認為是選擇一個合適模型的過程，包括概率語言的陳述，一個人對于選擇可以有多大的信心[6]。

比較與分析：美國AP統(tǒng)計學(xué)課程統(tǒng)計推斷部分包括參數(shù)估計、假設(shè)檢驗和顯著性檢驗，中國高中數(shù)學(xué)課程包括獨立性檢驗，假設(shè)檢驗，聚類分析和回歸分析，其中美國AP統(tǒng)計學(xué)課程強調(diào)學(xué)生理解數(shù)據(jù)和模型之間的辯證關(guān)系，中國高中數(shù)學(xué)課程強調(diào)學(xué)生了解這些具體方法的基本思想及其應(yīng)用。

總之，美國AP微積分課程與中國高中數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容方面只有導(dǎo)數(shù)和積分的一部分內(nèi)容是相似的，但是整體內(nèi)容的編排方面有不同的側(cè)重點，美國AP微積分課程更側(cè)重微積分知識體系的完整性，而中國高中數(shù)學(xué)課程更側(cè)重微積分的實際應(yīng)用。美國AP統(tǒng)計學(xué)課程與中國高中數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容方面相似處很多，但是課程目標的側(cè)重點不盡相同，美國AP統(tǒng)計學(xué)課程更強調(diào)學(xué)生對統(tǒng)計學(xué)概念和基本思想的理解，而中國高中數(shù)學(xué)課程更強調(diào)學(xué)生對統(tǒng)計概念的理解和計算。

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