柏文峰

前言引入：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了高中解析幾何中直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，還涉及函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量，平面幾何等許多知識，形成了軌跡、最值、弦長、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，對于考查學生的數(shù)學思維能力、計算能力、推理能力等是一個很好的平臺，因而成為解析幾何中綜合性最強、能力要求最高的內(nèi)容，也成為高考的重點和熱點.

高考目標：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，運用函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法，解決有關(guān)定點、定值、最值、參數(shù)范圍等簡單的實際問題等.

高考重點：直線與圓錐曲線中的弦長，面積，角度，最值、值域、參數(shù)范圍問題，定點、定值，以及探究性問題等.

高考難點：圓錐曲線與三角、函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、平面向量等知識的綜合應(yīng)用.

要點梳理：

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ=0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離.

（2）直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：

將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到一個一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①若a≠0，當Δ>0時，直線與雙曲線相交；當Δ=0時，直線與雙曲線相切；當Δ<0時，直線與雙曲線相離.

②若a=0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.

（3）直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：

將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到一個一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①當a≠0時，用Δ判定，方法同上.

②當a=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.

2.有關(guān)弦長問題

有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，簡化運算.

（1）斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點p■（x■，y■），p■（x■，y■），則所得弦長|p■p■|=■|x■-x■|或|P■P■|=■|y■-y■|，其中求 |x■-x■|與|y■-y■|時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：

|x■-x■|=■，

|y■-y■|=■.

（2）當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算（利用兩點間距離公式）.

3.弦的中點問題

有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，韋達定理，中點坐標公式“設(shè)而不求法”簡化運算.

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【例1】若曲線y■=ax與直線y=（a+1）x-1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值.

解：聯(lián)立方程y=（a+1）x-1y■=ax.

（1）當a=0時，此方程組恰有一組解為x=1y=0.

（2）當a≠0時，消去x，得■y■-y-1=0.

①若■=0，即a=-1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?y-1=0.

方程組恰有一組解x=-1y=-1，②若■≠0，即a≠1.

令△=0，得1+■=0，可解得a=-■，

這時直線與曲線相切，只有一個公共點.

綜合上述可知，當a=0，-1，-■時，直線與曲線y■=ax恰有一個公共點.

探究提高：本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù)■=0，即a=-1的可能性，從而漏掉兩解.

本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證：

①a=時，曲線y■=ax即為直線y=0，此時已知直線y=x-1恰有一個交點（1，0）；②當a=-1時，直線y=-1與拋物線y■=-x的對稱軸平行，恰有一個交點（代數(shù)特證）.

題型二：圓錐曲線的弦長問題

【例2】已知△ABC的頂點A，B在橢圓x■+3y■=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；

（Ⅱ）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.

解：（Ⅰ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x，設(shè)A，B兩點坐標分別為（x■，y■），（x■，y■），由x■+3y■=4y=x得x=±1，

所以|AB|=■|x■-x■|=2■，

又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，于是h=■，

所以S■=■|AB|·h=2.

（Ⅱ）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，

由x■+3y■=4y=x+m得4x■+6mx+3m■-4=0，因為A，B在橢圓上，所以△=-12m■+64>0，設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x■，y■），（x■，y■），則x■+x■=-■，x■x■=-■，所以|AB|=■|x■-x■=■，

又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，即|BC|=■，

|AC|■=|AB|■+|BC|■=-m■-2m+10=-（m+1）■+11，所以當m=-1時，AC邊最長（這時△=-12+64>0），此時AB所在直線的方程為y=x-1.

探究提高：本例主要考查直線與二次曲線相交所得弦長問題的解法，弦長公式、整體代入等運算方法和運算技巧，解答此類問題要注意避免出現(xiàn)兩種錯誤：（1）對直線l斜率的存在性不作討論而直接設(shè)為點斜式，出現(xiàn)漏解或思維不會造成步驟缺失.（2）對二次項系數(shù)不為零或△≥0這個前提忽略而直接使用根與系數(shù)的關(guān)系.

題型三：圓錐曲線的弦中點問題

【例3】已知橢圓■+y■=1的左焦點為F，O為坐標原點.

（1）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；

（2）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

解：（1））∵a■=2，b■=1，∴c=1，F(xiàn)（-1，0），l：x=-2.∵圓過點O、F，

∴圓心M在直線x=-■上.設(shè)m（-■，t），則圓半徑r=|（-■）-（-2）|=■，由|OM|=r，得■=■，解得t=±■，∴所求圓的方程為（x+■）■+（y±■）■=■.

（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入■+y■=1，整理得

（1+2k■）x■+4k■x+2k■-2=0，∵直線AB過橢圓的左焦點F且不垂直于x軸，∴方程有兩個不等實根，記A（x■，y■），B（x■，y■），AB中點N（x■，y■），則x■+x■=-■.

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y■=-■（x-x■）

令y=0，得Xg=X■+ky■=-■+■=-■=-■+■

∵k≠0

∴-■

∴點G橫坐標的取值范圍為（-■，0）.

探究提高：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的中點問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式，根與系數(shù)的關(guān)系，以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學思想方法的熱點題型.

題型四：圓錐曲線的定點，定值及最值問題

【例4】直線y=kx+b與橢圓■+y■=1交于A、B兩點，記△AOB的面積為S，（Ⅰ）求在k=0，0

解：（Ⅰ）設(shè)點A的坐標為（x■，b），點B的坐標為（x■，b），由■+b■=1，解得x■=±2■，所以S=■b·|x■-x■|=2b·■≤b■+1-b■=1，

當且僅當b=■時，S取到最大值1.

（Ⅱ）由y=kx+b■+y■=1得（k■+■）x■+2kbx+b■-1=0，

△=4k■-b■+1，

|AB|=■·|x■-x■|=■·■=2②

設(shè)O到AB的距離為d，則d=■=1，

又因為d=■，所以b■=k■+1，代入②式并整理，得k■-k■+■=0，

解得，k■=■，b■=■代入①式檢驗，△>0，

故直線AB的方程是y=■x+■，或y=■x-■，或y=-■x+■，或y=-■x+■.

探究提高：在探求最值時，常結(jié)合圖像的幾何直觀，充分利用平幾結(jié)論，借助函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式或三角代換使問題得解.同時要注意未知數(shù)的取值范圍及最值存在的條件.

總之，解決圓錐曲線的綜合問題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，保證結(jié)果的完整.要做到這一點，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，達到鞏固知識、提高解決問題能力的目的.