張立新

(江蘇省如皋高等師范學校)

0 引言

交流電是人類智慧的創(chuàng)造發(fā)明，人創(chuàng)有序運動與自然界有序運動一樣蘊含著數(shù)學關系.交流電動勢、電壓、電流均用正弦函數(shù)表示，描述電路的基本定律是基爾霍夫方程.第一定律指出:流進與流出節(jié)點的電流代數(shù)和等于零，數(shù)學形式即是對正弦函數(shù)的電流求和.第二定律表述是:沿任意回路的電動勢和電壓的代數(shù)和等于零，對應數(shù)學形式就是對正弦函數(shù)的電動勢和電壓求和.顯然三角函數(shù)的方法應該是交流電路的主體數(shù)學工具.但是，為什么求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的基爾霍夫方程時，一般不選擇三角函數(shù)法也不選擇旋轉矢量法而選擇復數(shù)法.

1 三角函數(shù)法與正弦交流電路

在尋找交流電路的數(shù)學工具的過程中，人們肯定不會首先考慮旋轉矢量法與復數(shù)法.交流電是時間的正弦函數(shù)，優(yōu)先考慮的應該是直接運用三角函數(shù)計算.

首先看正弦函數(shù)的加法.設交流電頻率恒定，當兩條支路電流匯合到總路時需要對正弦函數(shù)求和，現(xiàn)令

運用三角函數(shù)有關公式可求出總電流

其中電流有效值由下式確定

電流的初相位由正弦或余弦函數(shù)確定

顯然兩個同頻率正弦電流相加之后，結果仍然是相同頻率的正弦函數(shù)，僅幅值與初相角發(fā)生了變化，該規(guī)律可推廣到若干個正弦函數(shù)的迭加.由于電源電動勢、電流電壓都是正弦函數(shù)，所以基爾霍夫定律可以用正弦函數(shù)的迭加表述如下

關鍵是運用第二定律計算時，各元件電壓需要以元件的瞬時伏安關系式來代入，且這種伏安關系不能通過三角函數(shù)的加減乘除等運算來反映，必須采用微積分方法來描述.其中電阻的伏安關系式是

電感的伏安關系式為di

電容的伏安關系式是

根據(jù)元件伏安式可列出第二定律的微分方程.通常將上述第一第二定律組成的方程組稱為“時域”方程組.可見，所謂“三角函數(shù)法”準確地說應該是——“三角函數(shù)運算+微分積分運算+求解微分－積分方程組”的綜合數(shù)學方法.

微分－積分方程的解函數(shù)是暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解之和.暫態(tài)解(通解)表示電路剛接通電源而未到達穩(wěn)定狀態(tài)的過渡電流函數(shù)，它由齊次方程求出，再用初始條件確定待定常數(shù).暫態(tài)解的特點是:隨著時間的推移，電流按指數(shù)規(guī)律衰減最終歸于0.穩(wěn)態(tài)解(特解)表示電路接通電源一定時間后電路進入穩(wěn)態(tài)的電流函數(shù)，穩(wěn)態(tài)解由非齊次方程確定，一般根據(jù)方程右端的函數(shù)類型去猜想特解的函數(shù).對正弦穩(wěn)態(tài)電路而言其特解仍然是正弦函數(shù)，采用待定系數(shù)法可以確定穩(wěn)態(tài)解的有效值與初相角.

總之，就理論而言三角函數(shù)法完全能夠與交流電路建立全面而系統(tǒng)的數(shù)學聯(lián)系，是求解正弦交流電路的所謂“正宗”數(shù)學工具.交流電路的暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解理論上都可通過微分–積分方程組解出.但求解微分－積分方程的過程非常復雜，即使放棄暫態(tài)解僅求穩(wěn)態(tài)解，從微分方程來確定各正弦量的幅值與初相角還是非常困難.因此，求解正弦穩(wěn)態(tài)電路最終沒有選擇“三角函數(shù)法”.

2 旋轉矢量法與正弦穩(wěn)態(tài)電路

求解微分方程的繁瑣促使人們去尋找較為簡便的數(shù)學方法.為解決問題方便人們將暫態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程分開考慮，專門研究電路的穩(wěn)態(tài)解.一般說來工頻交流電路的頻率不變，可用有效值與相位兩個物理量來描述交流電.聯(lián)想到平面矢量也包含兩個要素:大小和方向，那么是否可以用矢量替代正弦函數(shù)呢?

科學家正是沿著這樣的思路做了探索.人們用矢量的“長度”表示正弦量的有效值，用矢量的“方向角”表示正弦量的相位(ωt+φ)，這樣的矢量是長度不變且勻速轉動的所謂——“旋轉矢量”.不難理解:旋轉矢量在t時刻向y軸的投影恰好就是正弦函數(shù);旋轉矢量在t=0時刻的方向角就是正弦函數(shù)的初相角.若將兩個電流用旋轉矢量表示，由于它們以相同的角速度旋轉，它們之間保持相對靜止.因此計算兩個旋轉矢量的合成時，可用t=0時各個矢量的初相位代替相位，求出結果后再還原成(ωt+φ)形式.

現(xiàn)在證明:頻率恒定時正弦函數(shù)加法與旋轉矢量加法具有等價性.如圖1所示，根據(jù)平行四邊形法則總電流矢量為

I=I1+I2

圖1 兩個電流矢量的加法

矢量的大小由余弦定理給出

矢量的方向角是

根據(jù)旋轉矢量與正弦量之間的對應關系，將其還原為正弦函數(shù)，故總電流是

可見旋轉矢量加法(包括減法)與正弦函數(shù)加法存在嚴格的一一對應關系，高等代數(shù)稱兩種元素集合是“同構”關系.于是可用旋轉矢量的加減法代替正弦函數(shù)的加減法.電源電動勢、電流、電壓都是正弦函數(shù)，它們均可由旋轉矢量替代，因此基爾霍夫定律用旋轉矢量法表述如下

該表述在數(shù)學形式上是正確的，全部的困難在于具體計算.與前面的三角函數(shù)法類似，第二定律運用于電路計算時，各電壓矢量必須用各元件的伏安關系代入.反映到數(shù)學上的困難是:我們不能用矢量代數(shù)來表達元件的這種伏安關系!即矢量的標積、矢積、混合積等代數(shù)運算規(guī)則與這里的交流電路測量實踐風馬牛不相及.因此，旋轉矢量法表述的電路定律僅具有矢量代數(shù)形式而不具備矢量代數(shù)的本質，這就決定了矢量法有限的實用價值.

對簡單的串聯(lián)并聯(lián)電路而言，不需要求解基爾霍夫方程組，此時旋轉矢量法可以派上用場，具體計算時需要依靠直觀的矢量幾何圖展開.對純串聯(lián)電路而言只有單一回路，根據(jù)第二定律可畫出電壓矢量三角形和阻抗三角形;對純并聯(lián)電路而言可取一節(jié)點作研究對象，并根據(jù)第一定律繪出電流矢量三角形和導納三角形;且標量形式的歐姆定律全部蘊含在矢量圖之中.因此這種方法具有鮮明的“矢量圖解”特征［1］.矢量的直觀性使得目前還有教材介紹該種方法.由于矢量法對復雜電路的無能為力，因此它不能成為交流電路完全徹底的數(shù)學工具.專業(yè)性較強的電路原理和電工學教材都不選擇這種數(shù)學方法.

3 復數(shù)法與正弦穩(wěn)態(tài)電路

3.1 虛數(shù)的起源

有人說在求解二次方程x2+1=0的過程中誕生了虛數(shù).筆者認為這種解釋缺乏說服力.就實踐方面看，該方程與實際應用無聯(lián)系，它不能提供任何感性認識來幫助人們理解虛數(shù)的存在.從理論方面看，這個簡單方程無法使我們從整個復數(shù)域的邏輯統(tǒng)一性來理解方程的虛數(shù)解，所以在人們對虛數(shù)完全無知的情況下，執(zhí)著地求解這個方程很容易陷入的矛盾困境，而暫時認為該方程無解并不違背既有的實數(shù)運算規(guī)則.總之，單獨的這個二次方程不能使代數(shù)學內部產(chǎn)生尖銳的矛盾，因而不能產(chǎn)生足夠強大的動力導致虛數(shù)的誕生.

然而，在求解三次方程過程中暴露出的實數(shù)域的局限性使人們再也無法回避負數(shù)開方的問題了.許多數(shù)學家對三次方程做了研究，其中以卡丹求根公式最為著名，不妨簡要回顧一下卡丹公式推導過程.我們知道三次方程一般形式為

對未知量做適當變換可消去二次項成為

求解這個缺項的三次方程等價于求解一般形式的三次方程.運用純數(shù)技術推導出卡丹公式為

且有

早期，人們還沒有建立“復數(shù)范圍開三次方必有三個方根以及三次方程必有三個解”的清晰概念，可理解卡丹公式表述了三次方程的一個實根，不妨稱為“實數(shù)域卡丹公式”.然而就在求解這個實根的過程中暴露了實數(shù)域的局限性，暴露了因式分解與卡丹公式的數(shù)值計算之間存在著邏輯障礙.

現(xiàn)在求解一個具體的三次方程

將原方程分解因式

求得三個實根

人們自然想到用卡丹公式來求解.對于上述三次方程顯然有

代入公式求出α和β

這里遇到前所未有的困難:負數(shù)需要開平方!當時的數(shù)學家大惑不解:為什么用因式分解很容易求解的三次方程用卡丹公式卻不可以呢?為何兩種方法不能做到殊途同歸呢?此時不正視負數(shù)開方問題就不能解決代數(shù)變換與數(shù)值計算之間的尷尬局面.在求解三次方程的尖銳矛盾推動下終于導致虛數(shù)誕生，并建立了復數(shù)集以及包含復數(shù)運算規(guī)則的復數(shù)域.且卡丹公式表述為［2］

稱為“復數(shù)域卡丹公式”.其中ω1和ω2是1的三個立方根中的兩個

過去，采用因式分解法只能求出那些容易分解因式的三次方程的根，不能求解所有的三次方程.采用“實數(shù)域卡丹公式”同樣不能盡如人意，實數(shù)域施行數(shù)值計算會碰到種種限制，所以卡丹公式充其量也只能求解少數(shù)方程的實根.復數(shù)域建立后，人們終于能夠暢通無阻地求解所有三次方程了.在復數(shù)范圍內，我們繼續(xù)順著前面的計算思路求出α和β，并將α與β的數(shù)值代入“復數(shù)域卡丹公式”得到

至此，因式分解法與卡丹公式法終于到達殊途同歸的完美境界.在求解三次方程過程中我們走進了虛數(shù)世界和無理數(shù)世界，但最終仍回歸到有理數(shù)世界，得到三個整數(shù)解與因式分解的結果完全相同.總之，虛數(shù)的誕生首先不是起源于工程技術而是求解三次代數(shù)方程的邏輯需要.實踐是檢驗理論的標準，對于純代數(shù)方程來說，所謂實踐檢驗就是將解出的根代入原方程，若左邊 =右邊，則表明所求方程的根滿足邏輯要求.事實上在復數(shù)范圍內，所求三次方程的三個根均滿足:左邊 =右邊.

確實人為因素.然而從歐拉公式蘊含的幾何意義來理解，這個開方真是開出來了:－1=±i它開天辟地的開出了空間一個新維度，這個新維度垂直于實軸被稱為虛軸，實軸與虛軸構成了復平面.如果說i表示維度的一個方向，那么－i是它的反方向，顯然兩個平方根的含義表示誕生了新直線而不是射線.

今天，從人類可實踐范疇的認識論歷史來理解:由于復數(shù)集覆蓋了實數(shù)集，它理應具有更大的應用范圍.但在復數(shù)誕生之初，在人們對虛數(shù)還存有疑慮甚至排斥的年代，確實難以想象虛數(shù)有什么實踐應用.

3.2 復數(shù)應用于正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦函數(shù)與復數(shù)的具體變換方法是［3］

其中

上述電流和電壓是與時間無關的復常數(shù)，其模是正弦量的有效值，幅角是正弦量的初相位，這種用復數(shù)表示的正弦量稱為“相量”.因正弦量變換成相量后不考慮旋轉因子ejωt，所以問題大大簡化.復平面上所有相量的相位(ωt+φ)均由初相角φ表示.相量圖由各正弦量的有效值和初相角繪出，求出的電流與電壓相量后可還原為正弦函數(shù).

數(shù)學推導可將交流電路的微分方程組轉換為復代數(shù)方程組.現(xiàn)在證明:頻率恒定時正弦函數(shù)加法與復數(shù)加法具有等價性.運用復數(shù)加法規(guī)則計算得到

且有

根據(jù)相量與正弦量之間的對應關系，將相量還原為正弦函數(shù)，得到總電流是

可見復數(shù)加法(包括減法)與正弦函數(shù)加法存在嚴格的一一對應關系，這兩種元素集合也是高等代數(shù)的所謂“同構”關系.于是可用復數(shù)的求和代替正弦函數(shù)的求和.因此基爾霍夫定律用復代數(shù)方程表述如下

與前面三角函數(shù)法和旋轉矢量法的情況類似，運用第二定律計算電路時，各元件電壓相量需要以伏安關系式代入.可從元件的伏安瞬時表達式推導出對應的伏安相量關系式.

對正弦電流求導

對正弦電流積分

因此元件的瞬時式變換為相量式是

顯然電壓與電流相量之比得到電阻、復感抗、復容抗.如果研究對象是若干元件組成的無源二端網(wǎng)絡，一般定義復阻抗為相量電壓與電流之比

該定義不僅是純理論建構的需要，而且包含著測量實踐與理論的和諧統(tǒng)一.變形得到

這就是復數(shù)形式的歐姆定律，它反映了正弦穩(wěn)態(tài)電路中具有普遍意義的元件伏安關系.當頻率恒定時，元件復阻抗完全決定于元件的二元參數(shù).當頻率變化時復阻抗也隨之變化，復阻抗成為頻率的函數(shù)，交流諧振電路中專門研究復阻抗和復導納隨頻率的變化規(guī)律.人們通常也將復數(shù)形式的基爾霍夫方程稱為“頻域”方程組.總之，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，如果引入復電壓、復電流、復阻抗的概念，運用復數(shù)基爾霍夫定律加上復數(shù)歐姆定律即可方便地求解電路問題.

前面討論的微分–積分方程組包含了電路的暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解，這里的復代數(shù)方程組只能求電路的穩(wěn)態(tài)解.兩者比較:微分–積分方程組具有普遍意義而復代數(shù)方程組屬于特殊性.但這種特殊性是電路長期工作呈現(xiàn)的狀態(tài)，因此求解穩(wěn)態(tài)電路具有實踐應用價值.事實上，求解復代數(shù)方程組比求解微分－積分方程組要簡單得多.并且復平面的相量圖可取代實平面的旋轉矢量圖.此外，交流電路還用到電導、電納和導納等概念，它們都可以用復數(shù)相量來定義;而且，交流電路的迭加原理、戴維南定理、諾爾頓定理等都可用復數(shù)相量實施計算.

3.3 虛數(shù)電學量與測量實踐

4結束語

頻率恒定時對線性運算而言正弦函數(shù)、旋轉矢量、復數(shù)這三種集合完全等價，高等代數(shù)中稱為一一對應的“同構”關系.正是同構關系決定了它們都可表述基爾霍夫定律并實施相關電路計算.但三種數(shù)學方法中元件的伏安關系式不同:三角函數(shù)法中伏安式用微積分表述;旋轉矢量法中伏安式用標量歐姆定律表述;復數(shù)法中伏安式用復數(shù)歐姆定律表述.不同的伏安關系式?jīng)Q定了三種方法的實際應用走向:理論上三角函數(shù)法是解決交流電路的正宗數(shù)學工具但求解微積分方程十分繁瑣;旋轉矢量法對復雜電路暴露出局限性;只有復數(shù)電路定律在理論計算中顯得特別簡潔方便，且計算結果與電工測量實踐保持統(tǒng)一性.因此正弦穩(wěn)態(tài)電路的數(shù)學分析最終選擇了復數(shù)法.

電路數(shù)學原理中后來又引入了復頻率概念，電路“暫態(tài)過程”的求解也化繁為簡:運用拉普拉斯變換同樣可將微分方程轉換為復數(shù)代數(shù)方程.如今，近代物理學中復數(shù)和復變函數(shù)獲得了更加廣泛的應用.復數(shù)與物質世界的密切聯(lián)系再次表明:虛數(shù)不是虛無縹緲的，虛數(shù)和復數(shù)不僅存在于邏輯思維的數(shù)學方程中，而且蘊含在物質的結構與運動秩序之中.

［1］趙凱華，陳熙謀.電磁學:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2012.452–457.

［2］李傳芳，陳汝作，陳永明.高次方程［M］.上海:上海教育出版社，1979.18–22.

［3］于歆杰，朱桂平，陸文娟.電路原理［M］.北京:清華大學出版社，2010.273–274.