劉素珍，周小建

(1.南通大學(xué);2.如皋高等師范學(xué)校)

0 引言

科學(xué)計(jì)算和工程計(jì)算中的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為對(duì)非線性方程的根的求解.迭代法是求解非線性方程根的最常見(jiàn)數(shù)值方法.該文關(guān)注的迭代算法是求解方程重根的高階迭代算法.

所謂x*為非線性方程f(x)=0的m重根是指滿足條件f(i)(x*)=0，i=0，1，…，m– 1，但f(m)(x*)≠0.將求解單根的迭代算法用來(lái)求解方程的重根時(shí)，一個(gè)明顯的特點(diǎn)是迭代算法的收斂速度大為降低，在理論上表現(xiàn)為收斂階下降為1.如，最經(jīng)典的牛頓迭代法二階收斂域方程的單根，但只能一階收斂到方程的重根.但其修正形式［1］:

卻能二階收斂到方程的重根.因此，構(gòu)造出求解非線性方程重根的高階迭代算法是人們研究的熱點(diǎn)之一.在這方面已經(jīng)有了很多的研究成果.比如，Traub算法［2］，Osada算法［3］以及如下形式的 Halley 算法［4］:

雖然現(xiàn)在人們構(gòu)造出了越來(lái)越多的求解重根的迭代方法，但這些方法都是基于初始值點(diǎn)充分接近問(wèn)題的真解(方程的根)，幾乎沒(méi)有給出收斂半徑的相關(guān)信息.直到任紅民和Argyros［5］對(duì)求解重根的牛頓法(1)的收斂半徑進(jìn)行分析.他們的估計(jì)中假設(shè)f(x)的m階導(dǎo)數(shù)f(m)滿足H?lder條件和中心H?lder條件.他們的研究不僅擴(kuò)展了 Traub［6］和 Argyros［7］對(duì)于單根的結(jié)果，而且給出了重根迭代局部收斂性的分析方法.其基本思想可以概括為:

高階導(dǎo)數(shù)→高階均差→多重積分→積分不等式

基于該思想，周小建等人［8］給出了Osada算法的收斂半徑估計(jì)式，畢惟紅等人［9］在f(m+1)(x)有界及滿足H?lder條件下給出了Halley算法(2)的收斂半徑估計(jì)式.

最近，周小建等人［10］給出另外一種估算收斂半徑的另一種思路，其基本思想為:

高階導(dǎo)數(shù)→帶有積分余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式→積分不等式

顯然該思路比任紅民和Argyros［5］給出的要簡(jiǎn)單的多.更為重要的是，該思路成功地應(yīng)用于求解重根的牛頓迭代算法［10］和Osada算法［3］上去，獲得了更大的收斂半徑估計(jì).因此，將基于這一思路重新估算Halley算法的收斂半徑.這里僅僅假設(shè)

與文獻(xiàn)［9］中的條件相比，這里的條件更弱，因此本文的結(jié)論適用性更廣.

1 主要結(jié)果及證明

首先給出如下具有積分余項(xiàng)的Taylor展開(kāi)式.

引理1［12］假設(shè) ?x∈U(x0，r)，r＞0，f(x)為n階可微，并且f(n)(x)在a到x(x∈U(a，r))可積，則

引理2［11］設(shè)x*是方程f的m重根，則有

假設(shè)en=xn－x*，有如下重要結(jié)論.

定理3 設(shè)D?R為一非空、開(kāi)的凸集，f:D→R具有m+1連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x*為函數(shù)f(x)的m重根.設(shè)r*為如下函數(shù)的唯一正根:

那么如果中心H?lder條件(3)成立，則對(duì)任意的初始值x0∈U(x*，r*)，由Halley算法生成的迭代序列{xn}至少p+2階的速度收斂到問(wèn)題的唯一解x*∈U(x*，R)?U(x*，r*)，其中R進(jìn)一步，誤差方程成立.

證明 因?yàn)閔(0)=1＞0且h(R)=

所以h(r)有一正根r*滿足0＜r*＜R.注意到h(r)可以看成rp+1的二次函數(shù)，r*是唯一的.

下面將通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明主要結(jié)論.當(dāng)n=0時(shí)，(2)式化為

根據(jù)引理2，得

其中

根據(jù)g，g1，g2的定義，借助于Mathematica軟件，有

根據(jù)Banach定理有

另一方面，由文獻(xiàn)［11］中定理3的證明知

又

所以

根據(jù)r*的定義，由上述幾個(gè)不等式及(4)，有

這樣知道x1∈U(x*，r*).更進(jìn)一步，如果x0∈U(x*，r*)，都有

這就是說(shuō)當(dāng)n=0時(shí)，誤差方程成立.如果將上述證明過(guò)程中的x0用xk代替，x1用xk+1代替，e0用ek代替，e1用ek+1代替，上述證明過(guò)程依然成立.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，定理3成立.

至于唯一性的證明，其過(guò)程完全類似于文獻(xiàn)［8］中的唯一性證明，在此不再贅述.

［1］Schr?der E.über unendlich viele Algorithmen zur Aufl?sung der Gleichungen［J］.Math Ann，1870(2):317-365.

［2］Traub J.Iterative methods for the solution of equations［J］.Chelsea Publishing Company.New York，1977.

［3］Osada N.An optimal multiple root-finding method of order three［J］.J Comput Appl Math，1994(51):131-133.

［4］Hansen E，Patrick M.A family of root finding methods［J］.Numer Math，1977，27:257-269.

［5］Ren H，Argyros I.Convergence radius of the modified Newton method for multiple zeros under H?lder continuous derivative［J］.Appl Math Comput，2010，217:612-621.

［6］Traub J，Wozniakowski H.Convergence and complexity of Newton iteration for operator equation［J］.J ACM，1979，26:250-258.

［7］Argyros I.On the convergence and application of Newton＇s method under weak H?lder continuity assumptions［J］.Int J Comput Math，2003，80:767-780.

［8］Zhou X，Song Y.Convergence Radius of Osada＇s Method for Multiple Roots under H?lder and Center-H?lder Continuous Conditions［J］.AIP Conference Proceedings，2011，1389:1836-1839.

［9］Bi W ，Ren H，Wu Q.Convergence of the modified Halley＇s method for multiple zeros under H?lder continuous derivative［J］.Numer.Algor，2011，58:497-512.

［10］Zhou X，Chen X，Song Y.On the convergence radius of the modified Newton＇s method for multiple roots under the Center-H?lder condition［J］.Numer Algor，2014，65:221-232.

［11］Zhou X，Song Y.Convergence radius of Osada＇s method under center-H?lder continuous condition［J］.Appl Math Comput，2014，243:809-816.

［12］Stoer J，Bulirsch R.Introduction to numerical analysis［M］.Springer-Verlag.New York，1980.