凌春英

(黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院)

0 引言

期權(quán)是買方向賣方支付一定數(shù)額的期權(quán)費(fèi)后獲得的一種選擇權(quán)，即買方擁有在一定時(shí)間內(nèi)以一定的價(jià)格出售或購買一定數(shù)量的標(biāo)的物的權(quán)利［1］.二項(xiàng)式定價(jià)模型是給期權(quán)類衍生工具定價(jià)的基本方法，它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)定價(jià)模型的基本手段.

1 模型假設(shè)

(1)市場沒有摩擦，市場是競爭性的.

(2)市場參與者沒有對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)，認(rèn)為財(cái)富越多越好.

(3)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì).

(4)允許使用全部所得賣空衍生證券.

(5)無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)，且對(duì)所有到期日都相同.

2 符號(hào)說明

S—標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格;

C—看漲期權(quán)的期初價(jià)值;

K—執(zhí)行價(jià)格;

B—投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金數(shù)量;

r—無風(fēng)險(xiǎn)利率;

n—買進(jìn)現(xiàn)貨的數(shù)量;

u—期貨價(jià)格上升率，u＞1;

d—期貨價(jià)格下降率，d＜1;

p—價(jià)格上升的概率.

3 單期模型

將期權(quán)的有效期分為2個(gè)時(shí)間段，如從0期到1期［2］.標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格從初始值S分別以p和1－p隨機(jī)移動(dòng)到兩個(gè)新值Su和Sd中的某一個(gè)，則從S到Su是價(jià)格上升運(yùn)動(dòng)，而從S到Sd是價(jià)格下降運(yùn)動(dòng).在1期，看漲期權(quán)的價(jià)值分別為Cu和Cd兩種(如圖1)，則

圖1

構(gòu)造一個(gè)與看漲期權(quán)的收益相同的投資組合［3］.買m單位現(xiàn)貨并借款投資B到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，則在0期投資組合的價(jià)值為

若到1期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Su，則投資組合的收益也應(yīng)為Cu，即

若到1期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Sd，則投資組合的收益也應(yīng)為Cd，即

由(1)式和(2)式，可得

則求得相應(yīng)的0期期權(quán)定價(jià)公式為

4 多期模型

從單期模型拓展到多期模型時(shí)，需要將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的期限分割為兩個(gè)或兩個(gè)以上的期限［4］.下面以兩個(gè)時(shí)間期限為例，推導(dǎo)出兩個(gè)時(shí)間間隔的期權(quán)定價(jià)公式.

將期權(quán)的有效期分為3個(gè)時(shí)間段，如從0期到2期，如圖2.

圖2

①標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格從初始值Su分別以p和1－p隨機(jī)移動(dòng)到兩個(gè)新值Suu和Sud中的某一個(gè)，若到2期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Suu，則投資組合的收益也應(yīng)為Cuu，即

若到2期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Sud，則投資組合的收益也應(yīng)為Cud，即

由(3)式和(4)式，可得

則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價(jià)公式為

②標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格從初始值Sd分別以p和1－p隨機(jī)移動(dòng)到兩個(gè)新值Sdu和Sdd中的某一個(gè)，若到2期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Sdu，則投資組合的收益也應(yīng)為Cdu，即

若到2期標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)為Sdd，則投資組合的收益也應(yīng)為Cdd，即

由(6)式和(7)式，可得

則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價(jià)公式為

由(5)式和(8)式可得相應(yīng)的0期期權(quán)定價(jià)公式為

5 案例應(yīng)用

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票，當(dāng)前市場價(jià)格為100元，波動(dòng)率為每年30%，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%.該股票2個(gè)月期的看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為100元.求該期權(quán)的價(jià)值.

為了構(gòu)造二叉樹，把期權(quán)有效期分為二段，每段一個(gè)月(等于0.0833年).則可以算出

由(9)式，可得該期權(quán)的價(jià)值為

［1］葉永剛.衍生金融工具［M］.北京:中國金融出版社，2004.

［2］孟生旺.金融數(shù)學(xué):第三版［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2011.

［3］鄭振龍，陳蓉.金融工程:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［4］孟生旺，袁衛(wèi).利息理論及其應(yīng)用［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2001.