麥麥提依明·吐孫， 日比古·買買提明， 阿力木·阿布都拉

（1.新疆師范大學物理與電子工程學院，新疆烏魯木齊830054；2.新疆莎車縣城南雙語實驗高中，新疆喀什844700）

用三比特GHZ態(tài)實現量子稠密編碼的方案

麥麥提依明·吐孫1， 日比古·買買提明2， 阿力木·阿布都拉1

（1.新疆師范大學物理與電子工程學院，新疆烏魯木齊830054；2.新疆莎車縣城南雙語實驗高中，新疆喀什844700）

文章介紹了考慮張三和李四擁有一對三比特最大糾纏態(tài)Greenberger-Horne-Zei1inger態(tài)（簡稱GHZ態(tài)）來實現量子稠密編碼的一種方案，通過此方案有助于研究多體系統中實現量子稠密編碼。文章中還介紹從任意三比特系統的密度矩陣約化到兩體系統密度矩陣的簡單方法。

糾纏態(tài)；稠密編碼；幺正變換；約化密度矩陣

量子糾纏在量子信息處理過程中起著重要作用，而且量子糾纏的研究對量子信息論的發(fā)展有重大的意義［1-5］，因為它在量子信息處理過程中的核心資源，如量子隱形傳態(tài)［6］，量子稠密編碼［7］，量子密鑰分配［8］等等。量子稠密編碼是目前量子通訊中引起人們關注的研究熱點之一，量子稠密編碼最早的協議是Bennett和Wiesner提出來的［7］，所謂的量子稠密編碼是通過量子糾纏，傳送一個量子比特的信息量大于一個經典比特的信息量，而且只使用一個量子比特就可以發(fā)送兩個比特的經典信息，沒有糾纏態(tài)的幫助此過程無法實現。近年來，量子稠密編碼在理論上［9-13］和實驗上［14］都取得了一定的進展，而且發(fā)展迅速，取得了很大的成就。Haus1aden等［15］人討論了從兩態(tài)系統的稠密編碼方案推廣到N態(tài)系統的稠密編碼方案。文章中推導了用GHZ態(tài)實現量子稠密編碼的方案和相應的相互正交的幺正變換矩陣，最后介紹了從任意三比特系統的密度矩陣推導兩比特系統約化密度矩陣的簡單方法。在量子信息理論研究中計算多體系統中的密度矩陣是比較難的問題，所以研究三比特系統的量子稠密編碼和推導任意三比特系統中約化密度矩陣對多體系統的理論研究具有一定的參考價值。

1 用三比特GHZ態(tài)實現量子稠密編碼的方案

圖1 對GHZ態(tài)進行測量的量子電路圖

三比特量子信道稠密編碼［12］的過程為：首先，張三把這3比特的經典信息進行編碼，用0，1，2，3，4，5，6，7表示，分別對應000，001，010，011，100，101，110，111。

張三對AB粒子進行幺正變換，表1給出張三對AB粒子的操作以及相應變化結果。

表1 張三對AB粒子的操作及其變化結果

表2 李四執(zhí)行的幺正變換及其變化結果

表3 李四執(zhí)行受控非變換及其變化結果

表4 李四對A粒子進行Hadamard變換及其結果

所以，當李四對A粒子進行Hadamard變換后進行測量，根據測量結果就可以完全確定張三傳送的是哪一個編碼數字，從而得出正確的解碼結果?，F將解碼結果總結如表5所示。

表5 解碼結果

2 三比特信道量子稠密編碼的幺正變換

在三比特信道量子稠密編碼方案中，對兩比特量子糾纏態(tài)進行編碼來實現3比特經典信息的傳送。按照文獻［15，16］的相互正交的幺正變換公示在三比特系統中實現兩字稠密編碼的幺正變換可以表示為：

U000|mn〉=|mn〉 U001|mn〉=|m〉?|n+1（mod2）〉

U010|mn〉=eiπm|m〉?|n〉 U011|mn〉=eiπm|m〉?|n+1（mod2）〉

U100|mn〉=|m+1（mod2）〉?|n〉 U101|mn〉=|m+1（mod2）〉?|n+1（mod2）〉

U110|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉?|n〉 U111|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉?|n+1（mod2）〉

其中，|mn〉=|m〉?|n〉，（m，n=0，1）。具體的幺正變換矩陣［16］是：

U000=Ι?Ι；U001=Ι?σx；U010=σz?Ι；U011=σz?σx；

U100=σx?Ι；U101=σx?σx；U110=-iσy?Ι；U111=-iσy?σx

編碼以后的量子態(tài)可以表示為：

在此方案中，利用兩個量子比特糾纏態(tài)實現了3比特經典信息的傳送，因此得出來的最大信道容量應該是3，是經典信道容量的1.5倍。Ui是作用在第1，2兩個量子比特上的幺正變換。信道容量還是用Ho1evo量［17，18］表示：

3 三比特系統的約化密度矩陣的推導

任意個三比特系統密度矩陣在標準基下的矩陣可以表示為：

然后把任意個三體系統A，B和C的密度矩陣用矩陣元表示為：

其中

按照上式AB系統的約化密度矩陣表示為：

4 結 論

通過研究三比特系統中實現量子稠密編碼的方案，得出三比特系統跟兩比特系統同樣適合用糾纏態(tài)來實現稠密編碼，同時研究多體系統具有一定的理論依據。還推導了三比特密度矩陣推導兩比特約化密度矩陣的簡單公式，此結果有助于理論研究者把復雜的多體系統的情形簡化到兩體系統的情況來研究多體系統，具有一定的參考價值。

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The Scheme of Dense Coding Using Three Qubit GHZ States

TursunMAMTlMlN1， Mam tim in RABlGUL2， WANG Fei1
（1.College ofPhysics and Electronic Engineering，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）2.XinJiang Yarkant Bilingual Experimental High School，South of the City，Kashgar，Xinjiang 844700，China）

This artic1e introduced the scheme of Zhang San and Li Sihas a pair of three bits 1argest entang1ed Greenberger-Horne-Zei1inger state（GHZ state）to achieve a quantum dense coding，through this scheme wi11 he1p rea1ize quantum dense coding in mu1tibody system.This artic1e a1so introduces simp1emethod of any three bits system's densitymatrix reduces to two bits densitymatrix.

Entang1ement；Dense coding；Unitary transformation；Reduced density matrix

O431.2

A

1008-9659（2015）04-065-06

2015-07-03

新疆維吾爾自治區(qū)高?？蒲杏媱澢嗄杲處熆蒲袉踊痦椖浚╔JEDU2014S035）；新疆維吾爾自治區(qū)理論物理重點學科招標課題（14XSQZ0602）資助的課題。

麥麥提依明·吐孫（1986-），男，新疆烏魯木齊人，講師，主要從事量子信息與量子計算方向的研究。