張 靜， 張建基， 盧維娜

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

雙向多尺度函數(shù)的逼近階及計(jì)算

張 靜， 張建基， 盧維娜

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

構(gòu)造同時(shí)具有高逼近階等良好性質(zhì)的小波是小波分析的核心問題，已有的關(guān)于小波逼近階的許多研究結(jié)果是針對(duì)單向小波的。最近，楊守志教授提出了雙向細(xì)分方程與雙向小波的概念。然而，目前，針對(duì)雙向多尺度函數(shù)的逼近階的研究還非常地少。文章首先給出了一種雙向多尺度函數(shù)的逼近階的定義，然后又給出了雙向多尺度函數(shù)的逼近階的一些成立的條件，最后又給出了雙向多尺度函數(shù)的逼近階的計(jì)算算法。文章給出的概念和方法還可以做進(jìn)一步的推廣研究。

雙向多尺度函數(shù)，雙向多小波，逼近階

眾所周知，自小波理論誕生以來(lái)，小波理論的核心問題是關(guān)于小波構(gòu)造與性質(zhì)的研究，除了Haar小波外，不存在其他單小波能夠同時(shí)具備緊支撐性，正交性，對(duì)稱性等。為了彌補(bǔ)單小波的不足，人們提出了多小波理論，如：GHM多小波，C-L多小波等（見文獻(xiàn)［1-10］）。最近楊守志教授提出了雙向細(xì)分方程與雙向小波的概念，討論了雙向加細(xì)函數(shù)的正交性，逼近階，正則性等（見文獻(xiàn)［11-12］）。雙向加細(xì)函數(shù)是單尺度函數(shù)的推廣。

小波的構(gòu)造是小波分析的核心問題，構(gòu)造同時(shí)具有多種良好性質(zhì)的小波，比如：正交性、對(duì)稱性、緊支撐性、高逼近階、插值性等一直是小波分析研究的熱點(diǎn)問題。

目前，已有的結(jié)果主要是針對(duì)單向小波。但是對(duì)于雙向小波的構(gòu)造研究還有許多問題需要進(jìn)一步去研究。特別是，對(duì)于雙向多尺度函數(shù)的逼近階的研究還非常地少。在本文中，我們首先給出了一種雙向多尺度函數(shù)的逼近階的定義，然后又給出了雙向多尺度函數(shù)的逼近階的一些成立的條件，最后又給出了雙向多尺度函數(shù)的逼近階的計(jì)算算法。

1 雙向多尺度函數(shù)和雙向多小波

設(shè)Φ（x）=［?1（x），?2（x），...?r（x）］T是r重M進(jìn)制雙向多尺度函數(shù)，滿足下列細(xì)分方程：

對(duì)（1）兩邊作Fourier變換得到：

像往常一樣，方程（2）中定義的Φ（x）能產(chǎn)生一個(gè)（L2（R））r中的多分辨分析 ｛Vj｝j∈Z當(dāng)且僅當(dāng)上式定義的 ｛Vj｝j∈Z滿足：

（?。?V-1?V0?V1?…（ⅱ）ClosL2（R）Vj=（L2（R））r

（ⅳ）f（x）∈Vj?f（Mx）∈Vj+1

（ⅴ）存在Φ（x）使得集合｛?i（x-k），?i（n-x）：i=1，2，…，r，k，n∈Z｝是V0的Riesz基。

定義2 設(shè)Φ（x）是雙向多細(xì)分函數(shù)，如果它們滿足下列條件：

〈Φ（x），Φ（x-k）〉=δ0，kIr，〈Φ（x），Φ（n-x）〉=Or

那么Φ（x）稱為一對(duì)雙正交雙向多細(xì)分函數(shù)。

每一個(gè)j∈Z，定義Wj是（4）定義的在Vj+1中Vj的正交補(bǔ)空間，即Vj+1=Vj⊕Wj。

因此對(duì)j≠k，Wj⊥Wk并且L2（R）=Wj。如果存在向量函數(shù)Ψi（x），i=1，2，…，M-1使得向量函數(shù)族 ｛Ψi（x-k），Ψi（k-x），i=1，2，…，M-1，k∈Z｝是W0的正交基，那么Ψi（x）稱為Φ（x）的正交雙向多小波。

上述兩邊作Fourier變換，我們有

令

在頻域上的面具

（9）式在時(shí)域上的細(xì)分方程為

2 雙向多尺度函數(shù)的逼近階

文章假設(shè)P（1）滿足條件E：即1是矩陣P（1）的單特征值，P（1）的其他特征值的模都小于1。定義3 稱雙向多尺度向量函數(shù)Φ（x）具有逼近階p（p?1），如果多項(xiàng)式

xj，j=0，1，…，p-1都是Φ（x-k）和Φ（k-x）線性組合，即

下面討論雙向M進(jìn)制尺度函數(shù)在時(shí)域上的逼近階條件。

定義雙邊無(wú)限矩陣L：=（Li，j）=（PMi-j），定義向量函數(shù)

其中Φ1（x）如（11）所定義，則LF（Mx）=F（x）

下面給出Φ（x）在時(shí)域上逼近階條件。

即y（j）L=M-jy（j），j=0，1，2，…，p-1

綜上所述，我們可以給出雙向多尺度函數(shù)逼近階的計(jì)算方法如下：

以M=2帶雙向多尺度函數(shù)的逼近階計(jì)算為例：

（1）計(jì)算（10）式定義矩陣P（0）的左特征向量u0P（0）=u0

（2）驗(yàn)證u0P（π）=O是否成立，若不成立，則逼近階為n=0

（3）若步驟（2）成立，取n=1，計(jì)算u1=（，），其中u1滿足條件（12）

（4）驗(yàn)證條件（13），若（13）不成立，則逼近階為n

（5）若步驟（4）成立，重置n=n+1，重復(fù)步驟（3）（4）（5）直到（13）不成立為止。

［1］楊守志，彭立中.基于PTST方法構(gòu)造高階平衡的正交多尺度函數(shù)，中國(guó)科學(xué)E輯［J］.信息科學(xué)，2006，36（6）：644-656.

［2］李尤發(fā)，楊守志.Arm1et多小波的構(gòu)造算法［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2007，8：290-297.

［3］Lebrun J，Vetter1i M.Ba1anced mu1tiwave1ets theory and design［J］.IEEE Trans Signa1Process，1998，46（4）：1119-1125.

［4］Lebrun J，Vetter1iM.High order ba1anced mu1tiwave1ets［J］.Proc IEEE Int Conf Acoustics，Speech and Signa1Processing，1998，3：1529-1532.

［5］Lian JA.Ana1ysis-readymu1tiwave1ets（Arm1et）for Processing sca1ar-va1ude Signa1［J］.IEEE Processing 1etters，2004，11：205-208.

［6］Lian JA.Arm1et and ba1anced mu1tiwave1ets：f1ipping fi1ter construction［J］.IEEE Transaction on Signa1Processing，2005，53：175401767.

［7］楊守志，張可村.多重小波函數(shù)值的快速算法［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2002，6，18-23.

［8］L.Shen，H.H.Tan，J.Y.Tham，Symmetric-antisymmetric orthonarma1mu1tiwave1ets and re1ated sca1ar wave1ets［J］.App1，Comp，Harm.Ana1，2000，（8），258-279.

［9］冷勁松，程正興，等.正交共軛濾波器的構(gòu)造［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2004，10：151-160.

［10］Cui C K，Lian JA.A study on orthonorma1mu1tiwave1ets［J］.App1，Numer，Math，1996，20：273-298.

［11］楊守志，李尤發(fā).具有高逼近階和正則性的雙向加細(xì)函數(shù)和雙向小波［J］.中國(guó)科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，2007，37（7）：770-795.

［12］Yang shouzhi，Li Youfa.Two-direction refinab1e functions and two-direction wave1etswith di1ation factorm［J］.Appi1ed Mathematics and Computation，2007，188：1905-1920.

A Study on the Approximation Order of Two-Direction Refinable Functions and its Construction Algorithm

ZHANGJing， ZHANG Jian-Ji， LUWei-na
（College ofMathematical Science，XinJiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The construction ofwave1ets having good properties such as high-order approximation is the core issue ofwave1et ana1ysis.But the existing research resu1ts on the wave1et approximation order is for a one-direction wave1ets.Recent1y，Professor Yang Shouzhiproposed the conceptof two-direction subdivision equation and two-direction wave1ets.However，at present，the research on approximation order of two-directionmu1ti-sca1e function is a1so very sma11.In this paper，first1y，we give the definition of approximation order of two-direction refinab1e functions.Then，we give some sufficient conditions that the two-direction refinab1e functionsmust satisfied on the approximation order properties.And fina11y we gives the ca1cu1ation a1gorithm of on the approximation order of two-direction refinab1e functions.The concepts and methods of this paper can be further promotion of research.

Two-direction refinab1e functions；Two-direction mu1tiwave1ets；Approximation order

O174.2

A

1008-9659（2015）04-042-05

2015-09-15

2014年度我校優(yōu)秀青年教師科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目（XJNU201417）。

張 靜（1989-），女，新疆烏蘇人，碩士研究生，主要從事小波分析及其應(yīng)用的研究。