孫衛(wèi)星　尹偉偉

【摘要】高中數學中關于漸近線的知識，學生學習時難以體會曲線漸進的方向與方程。幫助學生領會“漸近線”的內涵并確定漸近線方程，同時畫出方程的草圖。對迅速、準確認識某些函數的形狀、位置、大小必會有極大的幫助。同時能培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，以及舉一反三的能力。

【關鍵詞】確定漸近線 數形結合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0029-02

“無限接近，卻永不相交”，漸近線總讓人覺得“高冷”，又像哲理一樣令人印象深刻，其實最早的時候數學和哲學是不分的。我覺得這才是數學的美，學習數學的一種樂趣！

高中數學的許多方程圖象和曲線都與漸近線密切相關，由于學生在學習過程中不能深刻領會“漸近線”的內涵，，忽視“漸近線”的現象頻頻發(fā)生，導致解題過程中出現偏差。在涉及漸近線的教學過程中，教師要能培養(yǎng)學生的作圖意識，要經常性地引導學生根據方程的漸近線來畫出方程的草圖，對迅速找到解決問題的入口，為有效地解決問題提供幫助?？梢哉f漸近線是圖象和曲線的先行者，在圖象中漸近線的定位作用舉足輕重。所以，“兵馬未動，糧草先行”，為了作出含有漸近線的比較精確的圖像，必須深度研究函數的性質，求出它的漸近線方程就顯得尤為重要.下面舉例闡述圖象的漸近線的簡單確定方法，并對問題的處理予以剖析。

一、高中數學幾種常見有顯著漸近線的情況

學習漸近線的難點在于學生難以體會曲線漸進的方向與方式，在學習過程中如果能領會“漸近線”的內涵， 對迅速、準確認識某些函數的形狀、位置、大小必會有極大的幫助，真正體會“一葉而知秋”的感覺，從而獲得學習數學的樂趣。幫助他們整理幾種常見有顯著漸近線的情況，有助于他們學習總結。

常見的有指數函數的漸近線是x軸；對數函數的漸近線是y軸；對勾函數的漸近線是x軸、y軸以及y=x；當a<0時冪函數y=xa的漸近線是x軸、y軸；圓錐曲線雙曲線漸近線公式 的漸近線是等情況。

例1：反比例函數變式的漸近線方程是。

分析：由題意可得函數f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，結合圖象求出實數k的取值范圍。

如圖所示：故實數k的取值范圍是。

本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了化歸與轉化、數形結合的數學思想，其中漸近線能否先作出是解題的關鍵。

二、含有漸近線的分式函數型、超越函數型

高中階段很多函數綜合性問題都會考查到數形結合思想，在學生中流傳著這樣一句話“若要題目不難搞，準確作圖不可少”，如果能結合漸近線作出比較精確的函數圖像，特別是對稍微復雜的函數，領會它的各種性質，則在處理綜合性的問題時才能得心應手，游刃有余.比如方程的有解問題等。漸近線像人的脊柱那樣對函數的圖像進行了定位，可謂舉足輕重.有了它，定義域、值域、單調性才能一目了然。

例3：（分式函數型）確定函數的漸近線的方程。

分析：當x趨向于無窮時，趨向于0，圖像就接近于y=ax ；而當x趨向于0時，ax也趨向于0，而趨向于無窮，即y的值趨向于無窮，所以y=ax和y軸是的兩條漸近線

如圖1（a>0，b>0）和圖2（a>0，b<0） 。

容易錯誤的認為。正確的做法應該先確定漸近線x=1，在根據符號法則確定正負作出示意圖，找到正確的單調減區(qū)間為和（1，+∞）。通過以上分析，特別是學習過導數之后，再來處理有漸近線的分式型函數時，先作函數的草圖，能直觀而有效地解決問題。

本文闡述圖象的漸近線的簡單確定方法，及漸近線對函數的單調性、值域的影響。老師要能經常性地培養(yǎng)學生的作圖意識，要經常性地引導學生根據函數的各種性質特別是函數的漸近線來畫出函數的草圖，對迅速找到解決問題的入口，對培養(yǎng)學生形成解決函數問題的大局觀、層次感和養(yǎng)成良好的思維習慣大有裨益。